2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.5全稱(chēng)量詞與存在量詞1教案新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.5全稱(chēng)量詞與存在量詞1.5.1全稱(chēng)量詞與存在量詞1.5.2全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定本課是中學(xué)數(shù)學(xué)第一章第5節(jié)，學(xué)生對(duì)于命題的理解還是停留在初中所學(xué)學(xué)問(wèn)的基礎(chǔ)上，理解起來(lái)可能不是很好理解。否定詞是學(xué)生簡(jiǎn)潔忽視的，應(yīng)提示學(xué)生。以學(xué)生探究為主學(xué)習(xí)全稱(chēng)量詞命題的否定與存在量詞命題的否定，全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的否定的本節(jié)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，在否定的過(guò)程中應(yīng)留意全稱(chēng)量詞與存在量詞之間的相互轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)是在意義上理解命題的否定。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的含義，熟識(shí)常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞和存在量詞．B.了解含有量詞的全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及推斷其命題的真假性．C.會(huì)寫(xiě)全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定。D.使學(xué)生體會(huì)從詳細(xì)到一般的認(rèn)知過(guò)程，培育學(xué)生抽象、概括、轉(zhuǎn)化的實(shí)力．1.數(shù)學(xué)抽象：全稱(chēng)量詞與存在量詞的含義；2.邏輯推理：全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假；3..直觀想象：全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定。1.教學(xué)重點(diǎn)：推斷全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假，全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定；2.教學(xué)難點(diǎn)：推斷全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假。多媒體教學(xué)過(guò)程落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)情景引入，溫故知新情景1：德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“隨意取一個(gè)奇數(shù)，可以把它寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和，比如77,77=53+17+7”,同年歐拉首先確定了哥德巴赫猜想的正確，并且認(rèn)為：每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，雖然通過(guò)大量檢驗(yàn)這個(gè)命題是正確的，但是不須要證明．這就是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)才證明白“1+2”即：凡是比某一個(gè)正整數(shù)大的任何偶數(shù)，都能表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘，或者表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上一個(gè)質(zhì)數(shù)．從陳景潤(rùn)的“1+2”到“1+1”好像僅一步之遙，但它是一個(gè)迄今為止仍舊沒(méi)有得到正面證明也沒(méi)有被推翻的命題．要想正面證明就須要證明“隨意一個(gè)”“每一個(gè)”“都”這種命題成立，要想推翻它只需“存在一個(gè)”反例．情景2：我們學(xué)校為了迎接10月28號(hào)的秋季田徑運(yùn)動(dòng)會(huì),正在排練由1000名學(xué)生參與的開(kāi)幕式團(tuán)體操表演.這1000名學(xué)生符合下列條件：（1）全部學(xué)生都來(lái)自高二年級(jí)；（2）至少有30名學(xué)生來(lái)自高二.一班；（3）每一個(gè)學(xué)生都有固定表演路途.結(jié)合圖片及上述文字，引出“全部”，“至少有”，“每一個(gè)”等短語(yǔ)，在邏輯上稱(chēng)為量詞.二、探究新知探究一全稱(chēng)量詞命題的含義1.思索:下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)x>3(2)2x+1是整數(shù)(3)對(duì)全部的xR,x>3(4)對(duì)隨意一個(gè)xZ,2x+1是整數(shù)【答案】（1）不是(2)不是(3)是（4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用量詞“全部的”對(duì)變量x進(jìn)行限定;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)”對(duì)隨意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定.2、歸納新知（1）全稱(chēng)量詞及表示:定義：短語(yǔ)“對(duì)全部的”、“對(duì)隨意一個(gè)”、“對(duì)一切”、“對(duì)每一個(gè)”、“任給”、“全部的”在邏輯中通常叫全稱(chēng)量詞。表示：用符號(hào)“”表示。（2）全稱(chēng)量詞命題及表示:定義：含有全稱(chēng)量詞的命題，叫全稱(chēng)量詞命題。表示：全稱(chēng)命題“對(duì)M中隨意一個(gè)x，有含變量x的語(yǔ)句p(x）成立”表示為:。讀作:“對(duì)隨意x屬于Ｍ，有p(x)成立”。例如:命題(1)對(duì)隨意的nZ,2n+1是奇數(shù);(2)全部的正方形都是矩形。都是存在量詞命題。3.練習(xí)：用量詞“”表達(dá)下列命題:(1)實(shí)數(shù)都能寫(xiě)成小數(shù)形式;(2)凸多邊形的外角和等于2；（3）任一個(gè)實(shí)數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù)。【解析】（1）x能寫(xiě)成小數(shù)形式;x{x|x是凸n邊形},x的外角和等于;(3)x·(-1)=-x.例1.推斷下列全稱(chēng)量詞命題的真假(1)全部的素?cái)?shù)都是奇數(shù);(2),|x|+1≥1(3)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù)【解析】（1）∵2是素?cái)?shù),但不是奇數(shù),∴全稱(chēng)命題(1)是假命題;(2)∵,|x|≥0,從而|x|+1≥1,∴全稱(chēng)命題(2)是真命題;（3）∵是無(wú)理數(shù),但是有理數(shù)，,∴全稱(chēng)命題(3)是假命題;4、思索：如何推斷全稱(chēng)量詞命題的真假？【解析】若判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是真命題,必需對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;若判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0,使得P(x)不成馬上可。探究二存在量詞命題的含義1.思索：下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一個(gè)x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一個(gè)x∈Z,x能被2和3整除.【解析】(1)不是（2）不是（3）是（4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,使(3)變成了可以推斷真假的語(yǔ)句;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,從而使(4)變成了可以推斷真假的語(yǔ)句.2.存在量詞命題的定義（1）存在量詞及表示:定義：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某個(gè)”、“有的”在邏輯中通常叫做存在量詞。表示：用符號(hào)“?”表示。（2）存在量詞命題及表示：定義：含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.表示：存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x).讀作:“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.3.練習(xí)：下列命題是不是存在量詞命題？（1）有的平行四邊形是菱形;（2）有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)【答案】都是存在量詞命題。4.練習(xí)：設(shè)q(x):x2=x,運(yùn)用不同的表達(dá)方法寫(xiě)出存在量詞命題“?x∈R,q(x)”【解析】存在實(shí)數(shù)x,使x2=x成立；至少有一個(gè)x∈R,使x2=x成立；對(duì)有些實(shí)數(shù)x,使x2=x成立；有一個(gè)x∈R,使x2=x成立；對(duì)某個(gè)x∈R,使x2=x成立。例2下列語(yǔ)句是不是全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題。(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a，a不能取倒數(shù)；(2)全部不等式的解集A,都是A?R；(3)有的四邊形不是平行四邊形?！窘馕觥浚?）存在量詞命題（2）全稱(chēng)量詞命題（3）存在量詞命題例3推斷下列存在量詞命題的真假(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線(xiàn)垂直于同一條直線(xiàn);(3)有些平行四邊形是菱形.【解析】(1)由于，,因此使x2+2x+3=0的實(shí)數(shù)x不存在.所以,存在量詞命題(1)是假命題.(2)由于平面內(nèi)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)是相互平行的,因此不存在兩個(gè)相交的直線(xiàn)垂直于同一條直線(xiàn).所以,存在量詞命題(2)是假命題。（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題。5.思索：如何推斷存在量詞命題的真假【答案】要推斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成馬上可.假如在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在量詞命題是假命題.探究三全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定1.定義：一般地，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱(chēng)為原命題的否定。牛刀小試：說(shuō)出下列命題的否定。（1）56是7的倍數(shù)；（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；【解析】（1）否定：56不是7的倍數(shù)；（2）否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集。2.思索：（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；?！窘馕觥?2)存在一個(gè)素?cái)?shù)表示奇數(shù)；。從形式看，全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題。【結(jié)論】含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)量詞命題的否定,有下面的結(jié)論：全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題。（2）p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上【解析】（1）否定：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).（2）否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上；（3）否定：的個(gè)位數(shù)字等于3.3.思索：（2）某些平行四邊形是菱形；?！敬鸢浮糠穸?（1）全部實(shí)數(shù)的確定值都不是正數(shù);（2）每一個(gè)平行四邊形都不是菱形;（3）從命題形式看,這三個(gè)存在量詞命題的否定都變成了全稱(chēng)量詞命題.【結(jié)論】存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題。（3）有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).【解析】（2）該命題的否定：全部三角形都不是等邊三角形（3）該命題的否定：隨意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)例6寫(xiě)出下列命題的否定，并推斷真假；（1）隨意兩個(gè)等邊三角形都相像；【解析】（1）該命題的否定：存在兩個(gè)對(duì)邊三角形，它們不相像。因?yàn)殡S意兩個(gè)等邊三角形的三邊成比例，所以隨意兩個(gè)等邊三角形都相像。因此這是一個(gè)假命題。（2）該命題的否定：.所以這是一個(gè)假命題。通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生感知、了解全稱(chēng)量詞、存在量詞。讓學(xué)生了解量詞對(duì)實(shí)際生活和數(shù)學(xué)的作用，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式思索并解決問(wèn)題的實(shí)力。通過(guò)思索，理解全稱(chēng)量詞、全稱(chēng)量詞命題的含義，教會(huì)學(xué)生解決和探討問(wèn)題。通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固全稱(chēng)量詞的含義，提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)力。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固全稱(chēng)量詞命題的含義，學(xué)會(huì)推斷全稱(chēng)量詞命題的真假，提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)力。通過(guò)思索，總結(jié)方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題的實(shí)力。通過(guò)思索，理解存在量詞、存在量詞命題的含義，教會(huì)學(xué)生解決和探討問(wèn)題。通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固存在量詞命題的含義，提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)力。通過(guò)例題，使學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)分全稱(chēng)量詞命題及存在量詞命題，提高學(xué)生的抽象概括實(shí)力。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固存在量詞命題的含義，學(xué)會(huì)推斷存在量詞命題的真假，提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)力。通過(guò)思索，總結(jié)推斷命題真假的方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題的實(shí)力。介紹新定義，為進(jìn)一步講解全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定打基礎(chǔ)。通過(guò)思索，總結(jié)寫(xiě)全稱(chēng)量詞命題否定的方法，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的實(shí)力。去體驗(yàn)學(xué)問(wèn)方法。發(fā)覺(jué)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)。通過(guò)例題進(jìn)一步理解怎么寫(xiě)全稱(chēng)量詞命題的否定。通過(guò)思索，總結(jié)寫(xiě)存在量詞命題的否定的方法，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的實(shí)力。去體驗(yàn)學(xué)問(wèn)方法。發(fā)覺(jué)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固怎么寫(xiě)全稱(chēng)量詞命題的否定，提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)力。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是()①存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使－2xeq\o\al(2,0)＋x0－4＝0；②全部的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被5和7整除．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①方程－2x2＋x－4＝0無(wú)實(shí)根；②2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)；③正確．故選B.【答案】B2．設(shè)命題p：?n∈N，n2＞2n，則命題p的否定為()A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n【解析】因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，?p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.【答案】C3．推斷下列命題是全稱(chēng)量詞命題還是存在量詞命題，并寫(xiě)出這些命題的否定．(1)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除；(2)?x∈Z，x2與3的和不等于0；(3)有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°；(4)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角；(5)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．【解】(1)是存在量詞命題，否定為：每一個(gè)奇數(shù)都能被3整除．(2)是全稱(chēng)量詞命題，否定為：?x0∈Z，xeq\o\al(2,0)與3的和等于0.(3)是存在量詞命題，否定為：隨意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都為60°.(4)是全稱(chēng)量詞命題，否定為：存在一個(gè)三角形至多有一個(gè)銳角．(5)是全稱(chēng)量詞命題，省略了全稱(chēng)量詞“隨意”，即“隨意一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)”，否定為：存在一條與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)不是圓的切線(xiàn)．通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)學(xué)問(wèn)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增加學(xué)生的應(yīng)