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文檔簡介
第九講函數(shù)與方程A組基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.若函數(shù)f(x)的唯一零點同時在區(qū)間(0,4),(0,2),(1,2),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))內(nèi),則與f(0)符號相同的是(C)A.f(4) B.f(2)C.f(1) D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))[解析]本題實質(zhì)考查二分法.由題意知f(x)的零點在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))內(nèi),可知f(0)與f(1)符號相同.2.已知函數(shù)f(x)=eq\f(6,x)-log2x,則f(x)的零點所在的區(qū)間是(C)A.(0,1) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,+∞)[解析]易知f(x)是單調(diào)函數(shù),f(3)=2-log23>0,f(4)=eq\f(3,2)-log24=eq\f(3,2)-2=-eq\f(1,2)<0,故f(x)的零點所在的區(qū)間是(3,4).3.下列函數(shù)中,在(-1,1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞減的是(A)A.y=logeq\s\do7(\f(1,2))(x+1) B.y=2x-1C.y=x2-eq\f(1,2) D.y=x3[解析]函數(shù)y=logeq\s\do7(\f(1,2))(x+1)在定義域上單調(diào)遞減,且x=0時y=0,y=x2-eq\f(1,2)在(-1,1)上不是單調(diào)函數(shù),y=x3在定義域上單調(diào)遞增,且x=0時y=0.對于y=2x-1,當(dāng)x=0∈(-1,1)時,y=0且y=2x-1在R上單調(diào)遞增.故選A、D.4.若函數(shù)f(x)=ax+b的零點是2,則函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點可以是(C)A.0 B.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2)或0 D.2[解析]2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=0,得x=0或-eq\f(1,2),故選C.5.函數(shù)f(x)=x·cos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點的個數(shù)為(D)A.2 B.3C.4 D.5[解析]借助余弦函數(shù)的圖象求解,f(x)=x·cos2x=0?x=0或cos2x=0,又cos2x=0在[0,2π]上有eq\f(π,4),eq\f(3π,4),eq\f(5π,4),eq\f(7π,4),共4個根,故原函數(shù)有5個零點.6.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,則f(x)在(1,2)上零點的個數(shù)為(C)A.至多有一個 B.有一個或兩個C.有且僅有一個 D.—個也沒有[解析]因為f(1)>0,f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上必有零點,又因為函數(shù)為二次函數(shù),所以有且僅有一個零點.故選C.7.(2024·山東青島模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2x-logeq\s\do7(\f(1,2))x的零點,若0<x0<a,則f(x0)的值滿意(C)A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)≤0[解析]在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=logeq\s\do7(\f(1,2))x的圖象,由圖象可知,當(dāng)0<x0<a時,有2x0<logeq\s\do7(\f(1,2))x0,即f(x0)<0.8.(2024·湖南永州模擬)若函數(shù)f(x)=2|x|-k存在零點,則k的取值范圍是(D)A.(-∞,0) B.[0,+∞)C.(-∞,1) D.[1,+∞)[解析]由函數(shù)f(x)=2|x|-k存在零點,得2|x|=k有解,作出函數(shù)y=2|x|的圖象如圖所示,則由圖象可知,要使函數(shù)f(x)=2|x|-k存在零點,只需y=2|x|與y=k的圖象有交點,則k≥1,故選D.9.(2024·廣西宜州聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點個數(shù)是(B)A.5 B.4C.3 D.2[解析]∵偶函數(shù)f(x)滿意f(x+2)=f(x),∴函數(shù)的周期為2.當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,故當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)=-x.函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點的個數(shù)等于函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象的交點個數(shù).在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象,如圖所示明顯函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象有4個交點,故選B.10.(理)(2024·宣城二模)已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d.若f(x)=2021+(x-a)(x-b)的零點為c,d,則下列不等式正確的是(A)A.a(chǎn)>c>d>b B.a(chǎn)>b>c>dC.c>d>a>b D.c>a>b>d(文)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù),在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(-3)·f(6)<0,那么下列結(jié)論中正確的是(C)A.f(x)可能有兩個零點 B.f(3)·f(-4)≥0C.f(-4)<f(6) D.f(0)<f(-6)[解析](理)依據(jù)題意,設(shè)g(x)=(x-a)(x-b),則f(x)=g(x)+2021,若g(x)=0,則x=a或x=b,即函數(shù)g(x)的圖象與x軸的交點為(a,0)和(b,0).f(x)=2021+(x-a)(x-b)=0即g(x)=-2021,若f(x)=2021+(x-a)(x-b)的零點為c,d,則g(x)的圖象與直線y=-2021的交點坐標(biāo)為(c,-2021)和(d,-2021),由圖象知a>c>d>b,故選A.(文)本題考查函數(shù)的性質(zhì)和零點問題,因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù),又f(-3)·f(6)<0,所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有一個零點,且f(3)<0,f(6)>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有兩個零點.但是f(0)的值沒有確定,所以函數(shù)f(x)可能有三個零點,故A不正確;又f(-4)=f(4),4∈(3,6),所以f(-4)的符號不確定,故B不正確;C項明顯正確;由于f(0)的值沒有確定,所以f(0)與f(-6)的大小關(guān)系不確定,所以D不正確,故選C.二、填空題11.已知函數(shù)f(x)=eq\f(2,3x+1)+a的零點為1,則實數(shù)a的值為-eq\f(1,2).[解析]由已知得f(1)=0,即eq\f(2,31+1)+a=0,解得a=-eq\f(1,2).12.若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-a,x≤0,,lnx,x>0))有兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是__(0,1]__.[解析]當(dāng)x>0時,由f(x)=lnx=0,得x=1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,則當(dāng)x≤0時,函數(shù)f(x)=2x-a有一個零點.令f(x)=0,得a=2x,因為0<2x≤20=1,所以0<a≤1,所以實數(shù)a的取值范圍是(0,1].13.(2024·河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)f(x)=3x-7+lnx的零點位于區(qū)間(n,n+1)(n∈N)內(nèi),則n=__2__.[解析]因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=-1+ln2<0,f(3)=2+ln3>0,所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi),故n=2.14.(2024·江蘇淮安聯(lián)考)函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+x))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-x)),并且方程f(x)=0有三個實根,則這三個實根的和為eq\f(3,2).[解析]因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=eq\f(1,2)對稱,所以方程f(x)=0有三個實根時,肯定有一個根是eq\f(1,2),另外兩個根的和為1,故方程f(x)=0的三個實根的和為eq\f(3,2).15.(2024·廣東陽江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-1,x<1,,logeq\s\do7(\f(1,2)x,x≥1,))若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是__(-1,0)__.[解析]關(guān)于x的方程f(x)=k有三個不同的實根,等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=k的圖象有三個不同的交點,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖可知實數(shù)k的取值范圍是(-1,0).B組實力提升1.y=f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線,相應(yīng)的x值與y的值如下表:x123456y0.5-3-234-4則y=f(x)在區(qū)間(1,6)上零點個數(shù)為(D)A.3個 B.奇數(shù)C.偶數(shù) D.至少3個[解析]由表可知,在(1,2),(3,4),(5,6)三個區(qū)間內(nèi),y=f(x)各至少有一個零點,故在(1,6)內(nèi)至少有3個零點.2.函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為(C)A.2 B.3C.4 D.6[解析]函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點個數(shù),即方程|lgx2|=-x2+2|x|的根的個數(shù),考慮g(x)=|lgx2|,h(x)=-x2+2|x|,定義在(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函數(shù),當(dāng)x>0時,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出函數(shù)圖象:兩個函數(shù)一共有兩個交點,即當(dāng)x>0時,|lgx2|=-x2+2|x|有兩根,依據(jù)對稱性可得:當(dāng)x<0時|lgx2|=-x2+2|x|有兩根,所以|lgx2|=-x2+2|x|一共4個根,即函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為4.故選C.3.設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1,g(x)=4x+2x-2的零點為x2,若|x1-x2|≤0.25,則f(x)可以是(A)A.f(x)=(2x-1)2 B.f(x)=ex-1C.f(x)=lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))2 D.f(x)=4x+1[解析]選項A,x1=eq\f(1,2);選項B,x1=0;選項C,x1=eq\f(3,2)或-eq\f(1,2);選項D,x1=-eq\f(1,4).因為g(1)=4+2-2>0,geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=2+1-2>0,geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))=eq\r(2)+eq\f(1,2)-2<0,g(0)=1-2<0,則x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,2))).選項中,x1=eq\f(1,2)滿意|x1-x2|≤0.25.故選A.4.已知e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點為a,函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點為b,則下列不等式中成立的是(A)A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1)C.f(1)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(1)<f(a)[解析]由題意,知f′(x)=ex+1>0在x∈R上恒成立,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點a∈(0,1);由題意,知g′(x)=eq\f(1,x)+1>0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函數(shù)g(x)的零點b∈(1,2).綜上,可得0<a<1<b<2.因為f(x)在R上是單調(diào)遞增的,所以f(a)<f(1)<f(b).故選A.5.(2024·天津部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查)已知函數(shù)f(x)=eq
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