自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用2.1-1

第二節(jié)拉氏變換解線性微分方程一、拉氏變換的定義二、常用函數(shù)的拉氏變換三、拉氏變換的定理上一目錄第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型四、拉氏反變換五、用拉氏變換解線性微分方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

工程實(shí)踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時(shí)域t拉氏變換代數(shù)方程復(fù)數(shù)域s代數(shù)方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程一、拉氏變換的定義如果有一函數(shù)滿足下列條件：(1)t

<0時(shí)

f(t)=0(2)t≥0時(shí)

f(t)是分段連續(xù)的

0(3)∫

f(t)e<∞-st∞f(t)的拉氏變換為：記作

F(s)=L[f(t)]拉氏反變換為：f(t)=L-1[F(s)]f(t)e-stdt0F(s)=

∞∫二、常用函數(shù)的拉氏變換第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程1.單位階躍函數(shù)I(t)f(t)t01=s12.單位脈沖函數(shù)δ(t)f(t)t0=1I(t)e-stdt0F(s)=

∞∫δ(t)e-stdt0F(s)=

∞∫3.單位斜坡函數(shù)tf(t)t0=s21te-stdt0F(s)=

∞∫4.正弦函數(shù)sinωtt0f(t)ωte-stdt0F(s)=

∞∫sin

=s2+ωω25.余弦函數(shù)cosωt=s2+sω2ωte-stdt0F(s)=

∞∫cos

第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程6.指數(shù)函數(shù)e-atf(t)t01=1s+ae-ate-stdt0F(s)=

∞∫7.拋物函數(shù)t212f(t)t0=s3112t2e-stdt0F(s)=

∞∫三、拉氏變換的定理1.線性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函數(shù)f(t)=sinωt的拉氏變換．解：=s2+ω2ω2jesinωtωt=jωt-j-eL[sin2j1s-j[1-]s+j1ωt]=ωω第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程2.微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)L[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)例求階躍函數(shù)f(t)=I(t)的拉氏變換．解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1s第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程3.積分定理=1sF(s)+f-1(0)s4.延遲定理L[∫f(t)dt]L[f(t-τ)]-=eF(s)τs解：f(t)t0tτt-τ例求f(t)=t-

τ的拉氏變換。F(s)=L[t]e-τs=s21e-τs5.位移定理L[e-atf(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=esinωt的拉氏變換．-at6.初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→07.終值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0F(s)=(s+a)2+ωω2第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

求下列函數(shù)的拉氏變換cos12tf(t)=e-4tf(t)=t2+3t+2課堂練習(xí)題：作業(yè)習(xí)題：2-2(1,4)第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程四、拉氏反變換象函數(shù)的一般表達(dá)式：F(s)=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+an因式分解K(s-z1)(s-z2)···(s-zm)(s-p1)(s-p2)···(s-pn)=零點(diǎn)極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+待定系數(shù)求解過(guò)程部分分式法求拉氏反變換第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程部分分式法待定系數(shù)的確定F(s)=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAnA1=F(s)(s-p1)

s-=p1(s-p1)

s=p1(

)

(s-p1)

s=p1s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn(s-p1)

(s-p1)

(s-p1)

=[

]

s=p1則1.不相等實(shí)數(shù)極點(diǎn)同理A2=F(s)(s-p2)

s=p2An=F(s)(s-pn)

s=pn┇A(s)(s-p1)(s-p2)···(s-pn)F(s)=分解為第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程解：例求拉氏反變換．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2(s+1)(s+3)F(s)=s2+5s+521=21=s=-1A1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)s=-3A2=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21f(t)=e-t+21δ(t)+e-3t第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程=

(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAn2.復(fù)數(shù)極點(diǎn)s=p1[

]

s=p1p1,p2

共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)分解為F(s)(s-p1)(s-p2)(s-p1)(s-p2)得F(s)(s-p1)(s-p2)

=(A1s+A2)

s=p1s=p1復(fù)數(shù)方程可求得待定系數(shù)A1,A2

。A(s)(s-p1)(s

-p2)···(s-pn)F(s)=第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程例求拉氏反變換．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=

-19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=sin3t91cos3t+ss+1=A1s+A2s=j3s=j3j3j3+1=j3A1+A2j3+1=-9A1+j3A2第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

求下列函數(shù)的拉氏反變換F(s)=s(s+1)1F(s)=s(s2+4)s+6課堂練習(xí)題：第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程3.

重極點(diǎn)A(s)(s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn)F(s)=有r個(gè)重極點(diǎn)分解為=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面舉例說(shuō)明第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程例求拉氏反變換．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實(shí)數(shù)極點(diǎn)確定A1,A3,A4

得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數(shù)代入上式得：第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程作業(yè)習(xí)題：2-3(1,2)五．用拉氏變換解線性微分方程例求微分方程的解r(t)=201(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(2)解代數(shù)方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20(3)求拉氏反變換s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例已知系統(tǒng)微分方程，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。r(t)=δ(t)+2c(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=c'(0)=0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(