數學學案：“且”與“或”

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數學人教B選修1-1第一章1.2。1“且”與“或”1．了解“且"與“或”的含義．2．能判斷由“且”與“或"組成的新命題的真假．1．“且”的含義及由“且”構成的新命題（1）“且"的含義：邏輯聯(lián)結詞“____”與自然語言中的“______”“____”“____”相當．(2)由“且”構成的新命題:一般地，用聯(lián)結詞“____”把命題p和q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作:p____q，讀作“p且q"．(3)“p且q"的真假：如果當p,q______真命題時,則命題p∧q是____的;如果p，q中，_______有一個是假命題時,則命題p∧q是假的．注：在數理邏輯的書中，通常把如何判定p∧q真假的幾種情況總結如下表：pqp∧q真____真真____假____真假假假_____【做一做1】用“且”聯(lián)結命題p,q構成新命題，并判斷新命題的真假:p：16是2的倍數;q：16是8的倍數．判斷“且”命題的真假時，首先判斷所給兩個命題的真假，再利用“且”命題的真值表進行判定．2．“或”的含義及由“或”構成的新命題(1)“或”的含義:邏輯聯(lián)結詞“或"的意義和日常語言中的“______”是相當的．（2)由“或”構成的命題：一般地，用聯(lián)結詞“____"把命題p，q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作：p____q,讀作“p或q”．（3）“p或q”的真假：當兩個命題p,q中，至少有一個是________時，p∨q就為真命題；只有當兩個命題都為____時，p∨q為假．注：在數理邏輯的書中,通常把如何判定p∨q真假的幾種情況總結如下表:pqp∨q真真________假真假____真假____假【做一做2】用“或"聯(lián)結命題p,q構成新命題,并判斷新命題的真假：p：菱形的對角線互相平分；q:菱形的對角線相等．判斷“或”命題的真假時,首先判斷所給兩個命題的真假，再利用“或”命題的真值表進行判定．1．如何理解聯(lián)結詞“且”？剖析：“且”與集合中“交集"的概念有關，與A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B｝中的“且"意義相同，即“x∈A"與“x∈B"這兩個條件都要滿足．舉一個與“且"有關的例子：電子保險門在“鑰匙插入”且“密碼正確”兩個條件都滿足時,才會開啟，相應的電路就叫與門電路．2．如何理解聯(lián)結詞“或”？剖析：“或”與集合中“并集"的概念有關，與A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B｝中的“或"意義相同，它是指“x∈A"與“x∈B”中至少有一個是成立的，既可以是x∈A且x?B，也可以是x∈B且x?A,也可以是x∈A且x∈B．這與生活中的含義不完全相同,例如：“你去圖書館或去游泳館”，兩者不可能同時發(fā)生，再如，日常生活中，我們認為“蘋果是長在樹上或長在地里”這句話是不正確的．“且”與“或”只有用來聯(lián)結兩個命題時,才稱其為邏輯聯(lián)結詞．如，命題“方程|x｜＝1的解是x＝1或x＝－1”中的“或”就不是邏輯聯(lián)結詞．題型一“p∧q”形式的命題及其真假的判定【例1】分別寫出由下列各組命題構成的“p∧q"形式的新命題，并判斷它們的真假：(1）p：30是5的倍數；q：30是8的倍數．(2)p：矩形的對角線互相平分;q：矩形的對角線相等．（3)p：x＝1是方程x－1＝0的根;q：x＝1是x＋1＝0的根．分析：用邏輯聯(lián)結詞“且”把命題p，q聯(lián)結起來構成“p∧q”形式的命題；利用命題“p∧q”的真值表判斷其真假．反思：（1）寫“且”命題時，若兩個命題有公共的主語，寫成“且”命題時,后一個命題可省略主語．(2)判斷“且"命題真假的方法和步驟：①先判斷每一個命題的真假；②利用真值表判斷“且”命題的真假．題型二“p∨q”形式的命題及其真假的判定【例2】分別寫出由下列各組命題構成的“p∨q”形式的命題,并判斷它們的真假：（1)p：正多邊形各邊相等；q：正多邊形各內角相等．（2)p：線段中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等；q：角平分線上的點到角的兩邊的距離不相等．（3）p：正六邊形的對角線都相等；q：偶數都是4的倍數．分析:用邏輯聯(lián)結詞“或”把命題p，q聯(lián)結起來構成“p∨q”形式的命題；利用命題“p∨q"的真值表判斷其真假．反思：（1）寫“或”命題時，若兩個命題有公共的主語，寫成“或”命題時，后一個命題可省略主語．（2）判斷“或”命題真假的方法和步驟：①先判斷每一個命題的真假；②利用真值表判斷“或”命題的真假．題型三易錯題型【例3】（1）命題“等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊”是由“或”或“且”構成的新命題嗎？若是，指出是哪種形式；若不是，說明理由．(2）命題“不等式x2＞1的解集是｛x｜x＞1，或x＜－1｝”的構成形式是“p∨q”嗎？為什么？(1）錯解：不是由“或"或“且"構成的新命題．理由:因為命題中不含有邏輯聯(lián)結詞“或”或“且”．錯因分析：沒有注意到該命題是省略聯(lián)結詞“且”的命題．(2）錯解：是；因為該命題中含有邏輯聯(lián)結詞“或”．錯因分析：沒有注意到“或”聯(lián)結的不是兩個命題．1下列命題的構成是“p∨q”形式的是(）A．5既是奇數又是質數B．6≤7C．π不是有理數D．2是4的約數并且是7的約數2下列命題的構成不是“p∧q”形式的是()A．x＋1既是x2－1的因式，也是x3＋1的因式B．方程x2＝1的一個解是x＝1，另一個解是x＝－1C．＋2和－2是方程x2－4＝0的根D．函數f(x)＝0既是奇函數又是偶函數3命題“方程｜x｜＝2的解是x＝±2”中，使用邏輯聯(lián)結詞的情況是()A．使用了邏輯聯(lián)結詞“或”B．使用了邏輯聯(lián)結詞“且”C．使用了邏輯聯(lián)結詞“或”與“且"D．沒有使用邏輯聯(lián)結詞4下列命題中既是“p∧q"形式的命題,又是真命題的是(）A．15或20是5的倍數B．1和2是方程x2－3x＋2＝0的根C．方程x2＋2＝0有實數根D．有一個角大于90°的三角形是鈍角三角形5命題“集合A是集合A∪B的子集或是集合A∩B的子集”是__________命題(填“真”或“假"）．答案：基礎知識·梳理1．（1)且并且及和（2）且∧（3）都是真至少真假假假【做一做1】分析：由“且”命題的定義寫出新命題：16是2的倍數且是8的倍數;因命題p,q都是真命題，故新命題是真命題．解：p∧q：16是2的倍數且是8的倍數，新命題是真命題．2．(1)或者（2）或∨（3)真命題假真真真假【做一做2】分析:由“或"命題的定義寫出新命題：菱形的對角線相等或互相平分;因命題p是真命題，q是假命題,故新命題是真命題．解:p∨q：菱形的對角線相等或互相平分，新命題是真命題．典型例題·領悟【例1】解：(1)p∧q：30是5的倍數且是8的倍數．由于命題p是真命題，命題q是假命題，故命題p∧q是假命題．(2）p∧q：矩形的對角線互相平分且相等．由于命題p和q都是真命題，故命題p∧q是真命題．（3）p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．由于命題p是真命題，命題q是假命題,故命題p∧q是假命題．【例2】解：(1)p∨q：正多邊形各邊相等或各內角相等．由于命題p是真命題,命題q是真命題，故命題p∨q是真命題．(2)p∨q：線段中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等或角平分線上的點到角的兩邊的距離不相等．由于命題p是真命題，命題q是假命題,故命題p∨q是真命題．(3）p∨q：正六邊形的對角線都相等或偶數都是4的倍數．由于命題p是假命題，命題q是假命題，故命題p∨q是假命題．【例3】（1)正解：所給命題可改寫為“等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊”，也就是“等腰三角形頂角的平分線垂直底邊且等腰三角形頂角的平分線平分底邊”，故該命題是由“且”構成的新命題．構成形式：p∧q。(2)正解：該命題的構成形式不是“p∨q"，因為“或”聯(lián)結的不是兩個命題．隨堂練習·鞏固1．B2．B3．D命題“方程｜x|＝2的解是x＝±2"可以寫成“方程|