數(shù)學(xué)學(xué)案：本章整合第一章常用邏輯用語

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷給出兩個(gè)命題，其中一真一假，求參數(shù)的取值范圍．設(shè)其中一個(gè)為p,另一個(gè)為q，若p與q一真一假，那么p真q假，或p假q真,可以借助于集合的觀點(diǎn)處理．設(shè)p為真，對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值范圍的集合為A，則p為假的集合為RA。設(shè)q為真，對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值范圍的集合為B，則q為假的集合為RB。從而p與q一真一假的參數(shù)的取值范圍的集合為(A∩RB)∪（B∩RA）．【例1】已知命題p：2∈{2,3,4｝，q：{矩形}∩{菱形｝＝{正方形}，寫出命題“p∨q”“p∧q"“p”，并判斷其真假．思路分析：根據(jù)“且”“或"“非”命題的定義寫出命題;先判斷每個(gè)命題的真假，然后利用真值表判斷由“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)成的新命題的真假．解：p∨q：2∈｛2,3，4}∨｛矩形｝∩｛菱形}＝｛正方形｝;p∧q：2∈｛2，3，4}∧｛矩形｝∩{菱形}＝{正方形｝；p:2｛2，3，4}，由已知得命題p，q都是真命題，故p∨q，p∧q都是真命題，p是假命題．專題二、充分條件、必要條件的判定及其應(yīng)用處理充分、必要條件問題時(shí),首先要分清條件與結(jié)論，然后才能進(jìn)行推理和判斷．不僅要深刻理解充分、必要條件的概念，而且要熟知問題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)和有關(guān)概念．確定條件為不充分或不必要的條件時(shí)，常用構(gòu)造反例的方法來說明．等價(jià)變換是判斷充分、必要條件的重要手段之一，特別是對(duì)于否定的命題，常通過它的等價(jià)命題，即逆否命題來考查條件與結(jié)論間的充分、必要關(guān)系．對(duì)于充要條件的證明題,既要證明充分性,又要證明必要性，從命題角度出發(fā)，證原命題為真,逆命題也為真；求結(jié)論成立的充要條件可以從結(jié)論等價(jià)變形（換）而得到,也可以從結(jié)論推導(dǎo)必要條件，再說明具有充分性．對(duì)一個(gè)命題而言，使結(jié)論成立的充分條件可能不只一個(gè)，必要條件也可能不只一個(gè)．【例2】已知p：eq\b\lc\|\rc\｜（eq\a\vs4\al\co1(1－eq\f(x－1,3））)≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0）,且p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．思路分析：化簡p，q中x的取值范圍，實(shí)行等價(jià)轉(zhuǎn)化:p是q的必要不充分條件p是q的充分不必要條件，然后列出關(guān)于m的不等式組求解．解：p為真時(shí),由eq\b\lc\|\rc\｜(eq\a\vs4\al\co1（1－eq\f（x－1，3）))≤2得－2≤x≤10,q為真時(shí),由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)得1－m≤x≤1＋m（m＞0）,因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以p是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10,)）兩等號(hào)不能同時(shí)成立,解得m≥9，所以m的取值范圍為［9，＋∞）．專題三、四種命題及其關(guān)系關(guān)于逆命題、否命題、逆否命題,也可以有如下表述：第一：交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為逆命題;第二：同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為否命題；第三:交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時(shí)否定，所得的命題為逆否命題．原命題與其逆否命題等價(jià)，原命題的逆命題與原命題的否命題等價(jià)，即互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià)（同真或同假）．互為逆命題或互為否命題的兩個(gè)命題不等價(jià)．【例3】命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)"的逆命題是（）A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)"D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負(fù)數(shù)"解析：因?yàn)橐粋€(gè)命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，因此逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”．答案：B【例4】求證：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不可能都是奇數(shù)．證明：若a，b，c都是奇數(shù)，設(shè)a＝2m－1，b＝2n－1,c＝2p－1,m，n，p∈Z則a2＋b2＝（2m－1)2＋(2n－1）＝2（2m2＋2n2－2m－2而c2＝（2p－1)2＝4p2－4p＋1＝4（p2－p）＋1，為