江蘇省常州市常州中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

江蘇省常州市常州中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積公式，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為，則橢圓的面積公式為，若橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B.或C.或 D.或3．設(shè)是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.484．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里5．已知直線(xiàn)，若直線(xiàn)與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.7．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號(hào)為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個(gè)樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開(kāi)始由左向右讀取，則選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3258．已知，若是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，則的值為()A.0 B.C.1 D.9．已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為（）mm/min.A. B.C.20 D.40010．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（）A.4 B.C. D.912．若，則的虛部為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)____________14．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的通項(xiàng)公式______15．若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程___________.16．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）現(xiàn)由數(shù)列與按照下列方式構(gòu)造成新的數(shù)列①將數(shù)列中的項(xiàng)去掉數(shù)列中的項(xiàng)，按原來(lái)的順序構(gòu)成新數(shù)列；②數(shù)列與中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列;在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)做為已知條件，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.18．（12分）已知圓.（1）求過(guò)點(diǎn)M（2，1）的圓的切線(xiàn)方程；（2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線(xiàn)的方程；（3）已知圓的圓心在直線(xiàn)y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19．（12分）求滿(mǎn)足下列條件的圓錐曲線(xiàn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)的橢圓；（2）與雙曲線(xiàn)－＝1有相同的漸近線(xiàn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn).20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，4），直線(xiàn)l：，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線(xiàn)l上，圓心也在直線(xiàn)上.（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程.21．（12分）已知函數(shù)（1）求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程（2）求直線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，，（1）求橢圓C的方程；（2）不過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.2、B【解析】根據(jù)題意列出的關(guān)系式，即可求得，再分焦點(diǎn)在軸與軸兩種情況寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】根據(jù)題意，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：B3、C【解析】雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線(xiàn)的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了焦點(diǎn)三角形以及橢圓的定義運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B5、D【解析】由直線(xiàn)與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D6、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B7、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個(gè)讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為148.故選：A.8、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.9、B【解析】對(duì)題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時(shí)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為mm/min.故選：B10、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D11、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=當(dāng)且僅當(dāng)，即m=2,n=4時(shí)，等號(hào)成立故的最小值等于.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是常量代換的技巧，所謂常量代換，就是把一個(gè)常數(shù)用代數(shù)式來(lái)代替，如，再把常數(shù)6代換成已知中的m+n,即.常量代換是基本不等式里常用的一個(gè)技巧，可以?xún)?yōu)化解題，提高解題效率.12、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】因?yàn)椋缘奶摬繛?，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由下圖可得在處取得最大值，即.考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃.【方法點(diǎn)晴】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，靈活性較強(qiáng)，屬于較難題型.考生應(yīng)注總結(jié)解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟（1）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域；（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為；（3）作平行線(xiàn)：將直線(xiàn)平移，使直線(xiàn)與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可行域中使最大（或最小）時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）求出最優(yōu)解：將（3）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出的最大（?。┲?14、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，從而可寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，當(dāng)公差為0時(shí)，；公差為1時(shí)，；…故答案為：3（答案為唯一）15、【解析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故答案為：.16、【解析】由題意寫(xiě)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】設(shè)，則直線(xiàn)的方程為由，得所以所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由題意可直接得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；求出等差數(shù)列的公差，即可得到其通項(xiàng)公式；（2）若選①，則可確定由數(shù)列前33項(xiàng)的和減去，即可得答案；若選②，則可確定由數(shù)列前27項(xiàng)的和加上，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，所以.又因，所以，又，則，故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，而若選①因?yàn)樵跀?shù)列前30項(xiàng)內(nèi)，不在在數(shù)列前30項(xiàng)內(nèi).，則數(shù)列前30項(xiàng)和為：=1632.若選②因?yàn)樵跀?shù)列前30項(xiàng)內(nèi)，不在在數(shù)列前30項(xiàng)內(nèi).，則數(shù)列前30項(xiàng)和為：=1203.18、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圖形即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)題意可知直線(xiàn)過(guò)圓心，利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程計(jì)算即可得出結(jié)果；(3)設(shè)圓E的圓心E（a，1），根據(jù)題意可得圓E的半徑為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系和兩點(diǎn)距離公式計(jì)算求出，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】圓，即，其圓心為，半徑為1.因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）在圓上，如圖，所以切線(xiàn)方程為y=1；【小問(wèn)2詳解】由題意得，圓的直徑為2，所以直線(xiàn)過(guò)圓心，由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，得，即直線(xiàn)的方程為x+y-2=0；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)閳AE的圓心在直線(xiàn)y=1上，設(shè)圓E的圓心E（a，1），由圓E與y軸相切，得R=a()又圓E與圓相外切，所以，由兩點(diǎn)距離公式得，所以，解得，所以圓心，，所以圓E的方程為.19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）由題意設(shè)雙曲線(xiàn)的共漸近線(xiàn)方程為,再將的坐標(biāo)代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線(xiàn)方程【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸上的端點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)的方程為,代入點(diǎn)，解得m=2,所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為20、（1）（2）或【解析】（1）直接求出圓心的坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在進(jìn)行分類(lèi)討論，利用幾何法列方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由圓心C在直線(xiàn)l：上可設(shè)：點(diǎn)，又C也在直線(xiàn)上，∴，∴又圓C的半徑為1，∴圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)垂直于x軸時(shí)，與圓C相切，此時(shí)直線(xiàn)方程為.當(dāng)直線(xiàn)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，即，則，解得.此時(shí)切線(xiàn)方程，.綜上所述，所求切線(xiàn)為或21、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程；（2）首先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分及微積分基本定理計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，所以切線(xiàn)的斜率，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，切線(xiàn)的方程為，即【小問(wèn)2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線(xiàn)與曲線(xiàn)于則所求圖形的面積22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，(－5,0).【解析】(1)寫(xiě)出A、B、F的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)