2025屆江蘇省南京市田家炳中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆江蘇省南京市田家炳中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.2．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則3．高中生在假期參加志愿者活動(dòng)，既能服務(wù)社會(huì)又能鍛煉能力．某同學(xué)計(jì)劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個(gè)單位參加志愿者活動(dòng)，則參加圖書館活動(dòng)的概率為（）A. B.C. D.4．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，（）A.11 B.20C.33 D.356．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.327．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.8．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.39．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.910．已知，，若，則（）A.6 B.11C.12 D.2211．已知函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.12．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石14．如圖是用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.15．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.16．若命題“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求四棱錐的體積.18．（12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍19．（12分）已知拋物線：上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo).20．（12分）已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱；（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求異面直線與所成角的大小21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在正方體中，分別為，的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：A.2、D【解析】根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)不滿足，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；綜上，可知選項(xiàng)D正確.故選：D.3、D【解析】對(duì)4個(gè)單位分別編號(hào)，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個(gè)單位中任選兩個(gè)的試驗(yàn)有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個(gè)基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動(dòng)的事件有AC，BC，CD，共3個(gè)基本事件，所以參加圖書館活動(dòng)的概率.故選：D4、C【解析】根據(jù)直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C5、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.7、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項(xiàng)公式，則可求出，得數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D8、B【解析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.9、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.10、C【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，則，，，故選：C.11、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解，然后求解切線的斜率即可【詳解】解：函數(shù)，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為故選：A12、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、168石【解析】由題意，得這批米內(nèi)夾谷約為石考點(diǎn)：用樣本估計(jì)總體14、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進(jìn)而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.15、【解析】求導(dǎo)，得到，寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故答案為：16、(-1，0]【解析】將題意的命題轉(zhuǎn)化條件為“，”為真命題，結(jié)合一元二次不等式恒成立即可得解.【詳解】因?yàn)槊}“，使得”是假命題，所以其否定“，”為真命題，即在R上恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式為，符合題意；當(dāng)時(shí)，則需滿足，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）存在，為的中點(diǎn)，證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，證明，由線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即可證明面，在中，利用面積公式求出即為四棱錐的高，再由棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）線段上存在點(diǎn)使得平面，為的中點(diǎn).證明如下：如圖取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且因?yàn)榍?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，因?yàn)槊?，面，所以平面；?）過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，面，所以平面面，因?yàn)?，面，平面面，所以面，因?yàn)?，，所以，，所以，即，所以，即為四棱錐的高，所以.18、（1）；（2）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，即得雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而易求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得的取值范圍，設(shè)，由韋達(dá)定理得則代入可求得的范圍【詳解】(1)設(shè)雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為(2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得①設(shè)則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應(yīng)注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍19、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積列方程，求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程，依拋物線的性質(zhì)得，解得.∴拋物線的方程為.【小問2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或.20、（1）（2）【解析】（1）利用表面積公式直接計(jì)算得到答案.（2）連接和，，故即為異面直線與所成角，證明，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系得到答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖所示：連接和，，故即為異面直線與所成角，，，，故平面，平面，故，，故，直角中，，，，故異面直線與所成角的大小為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點(diǎn)，分別以，為軸、軸，過作軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，的中點(diǎn)，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由正方體性質(zhì)易得，根據(jù)線面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定證明結(jié)論；（2）建立空間直角