2025屆福建省泉州市永春縣第一中學數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆福建省泉州市永春縣第一中學數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.102．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或153．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.4．數(shù)列，，，，…，的通項公式可能是（）A. B.C. D.5．公比為的等比數(shù)列，其前項和為，前項積為，滿足，.則下列結論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.6．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.7．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.8．等差數(shù)列前項和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.9．某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.11310．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．若，，且，則（）A. B.C. D.12．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調遞減的為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，向量，，，且，，則___________.14．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________15．設實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為___________.16．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的前2021項和為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的方程為：.（1）求的值，使圓的周長最小；（2）過作直線，使與滿足（1）中條件的圓相切，求的方程，并求切線段的長.18．（12分）已知命題實數(shù)滿足不等式，命題實數(shù)滿足不等式.（1）當時，命題，均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小20．（12分）在平面直角坐標系中，圓C：，直線l：（1）若直線l與圓C相切于點N，求切點N的坐標；（2）若，直線l上有且僅有一點A滿足：過點A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值21．（12分）如圖，C是以為直徑的圓上異于的點，平面平面分別是的中點.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求銳二面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓．離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先由誘導公式及同角函數(shù)關系得到，再根據(jù)誘導公式化簡，最后由二倍角公式化簡求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D2、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.3、C【解析】分別取的中點，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因為正方體的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C4、D【解析】利用數(shù)列前幾項排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項公式可以為，故選：D5、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質，判斷，，由此判斷出選項A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項D錯誤；因為，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項都大于1，從第2022項開始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項A正確由等比數(shù)列的性質，，故選項B不正確；而，由以上分析可知其無最大值，故C錯誤；故選：A6、B【解析】設，由橢圓的定義及，結合勾股定理求參數(shù)m，進而由勾股定理構造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.7、D【解析】由題設，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗證四個選項即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點處與相切，下研究四個選項中函數(shù)在兩點處的切線A：，將0代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為矛盾，故A錯誤B：，將0代入，此時導數(shù)為，不為，故B錯誤；C：，將2代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為3矛盾，故C錯誤；D：，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.8、C【解析】由題意，設等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選9、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.10、C【解析】設出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、A【解析】由于對數(shù)函數(shù)的存在，故需要對進行放縮，結合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進而得解.【詳解】令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，，故，即，當且僅當，等號成立．所以，當且僅當時，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A12、B【解析】A.利用正切函數(shù)的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性質列出方程組，求出，，再由空間向量坐標運算法則求出，由此能求出【詳解】解：設，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案為：14、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.15、2【解析】畫出不等式組對應的可行域，平移動直線后可得目標函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示：將初始直線平移至點時，可取最小值，由可得，故，故答案為：2.16、【解析】根據(jù)題意求出，代入中，再利用裂項相消即可求出答案.【詳解】由是等差數(shù)列且，可知：，故.，數(shù)列的前2021項和為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線方程為或，切線段長度為4【解析】（1）先求圓的標準方程，由半徑最小則周長最??；（2）由，則圓的方程為：，直線和圓相切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進行討論即可得解.進一步，利用圓的幾何性質可求解切線的長度.【小問1詳解】，配方得：，當時，圓的半徑有最小值2，此時圓的周長最小.【小問2詳解】由（1）得，，圓的方程為：.當直線與軸垂直時，，此時直線與圓相切，符合條件；當直線與軸不垂直時，設為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.圓心與點的距離，則切線長度為.18、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關系求解即可.【詳解】實數(shù)滿足不等式，即命題實數(shù)滿足不等式，即（1）當時，命題，均為真命題，則且則實數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點睛】判斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理.19、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數(shù)量積，轉化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F(xiàn)（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得所以，因為0，所以∠PFQ＝90°綜上，∠PFQ＝90°20、（1）或（2）3.【解析】（1）設切點坐標，由切點和圓心連線與切線垂直以及切點在圓上建立關系式，求解切點坐標即可；（2）由圓的方程可得圓心坐標及半徑，由APCQ為正方形，可得|AC|＝可得圓心到直線的距離為，可得m的值【小問1詳解】解：設切點為，則有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切點的坐標為或【小問2詳解】解：圓C：的圓心（1，0），半徑r＝2，設，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得|AC|＝，即，由題意直線l⊥AC，圓C：（x﹣1）2+y2＝4，則圓心（1，0）到直線的距離，可得，m＞0，解得m＝3.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由分別是的中點，得到，在由是圓的直徑，所以，結合面面垂直的性質定理，證得面，即可證得面；（2）以C為坐標原點，為x軸，為y軸，過C垂直于面直線為z軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：在，因為分別是的中點，所以，又因為是圓的直徑，所以，又由平面平面，平面平面，且平面，所以面，因為，所以面.【小問2詳解】解：由（1）知面，所以直線與平面所成角為，由題意知，以C為坐標原點，為x軸，為y軸，過C垂直于面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，，設面的法向量為，則，取，可得，所以，設面的法向量為，則，取，可得，所以，則，所以銳二面角的余弦值為.22、（1）；