荊州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

荊州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)作斜率大于的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（在的上方），且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則A. B.C. D.2．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里3．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1084．已知拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（）A. B.C. D.5．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過(guò)定點(diǎn)外還過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.7．命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，8．在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8209．設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為C上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門(mén)隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.12．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.14．過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線的一般式方程為_(kāi)_______15．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿足，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.16．過(guò)點(diǎn)，且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以為始邊，為終邊的角時(shí)，.（1）求的方程（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，求的面積與的面積的比值18．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.19．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線分別與橢圓C交于點(diǎn)，過(guò)作直線的平行線與橢圓交于點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與連線的斜率之積.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程；（2）若是上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù)，（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）若且對(duì)任意，都有，證明：方程有且只有兩個(gè)實(shí)根22．（10分）已知函數(shù)在與處都取得極值.（1）求a，b的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)，則，，故選A.2、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B3、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D4、B【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點(diǎn)，由中垂線的性質(zhì)可得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取最小值，且.故選：B.5、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.6、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過(guò)垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).故選：D.7、D【解析】根據(jù)含一個(gè)量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，直接得到結(jié)果.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：D8、C【解析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，列出數(shù)列的前6項(xiàng)，將其中是數(shù)列的項(xiàng)的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列的項(xiàng)，且，所以數(shù)列中第7項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為.故選：C.9、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)樵陔p曲線中，因?yàn)?，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.10、C【解析】∵“”?“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.11、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：12、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：14、【解析】求出過(guò)切線的半徑所在直線斜率，由垂直關(guān)系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程15、##【解析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，因?yàn)椋瑒t，即，解得.故答案為：.16、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，由線段的中點(diǎn)為圓心，其長(zhǎng)一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即圓心為線段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，得到，由拋物線的定義得到，根據(jù)，求得，設(shè)，得到，進(jìn)而求得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，求得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，拋物線，可得其準(zhǔn)線方程，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)闀r(shí)，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由拋物線，可得，設(shè)，因?yàn)橹本€的直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由拋物線的定義得，設(shè)圓與直線相切于點(diǎn)，因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，所以且，所以，即，解得，設(shè)，則，且，可得，因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點(diǎn)坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.19、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及離心率求出a,b即可；（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用條件化簡(jiǎn)，結(jié)合橢圓方程，求出即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，有，又，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.如圖，聯(lián)立，消有：，韋達(dá)定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直線不過(guò)右端點(diǎn)，所以，則，所以直線過(guò)定點(diǎn).20、（1）；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合已知列式即可作答.(2)設(shè)上任意一點(diǎn)，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再求出以為直徑的圓的方程即可分析作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率分別為：，，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：，所以的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，令是上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)，以MN為直徑的圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q與M，N都不重合時(shí)，，有，當(dāng)點(diǎn)Q與M，N之一重合時(shí)，也成立，因此，以MN為直徑的圓的方程為：，化簡(jiǎn)整理得：，而，即，則以MN為直徑的圓的方程化為：，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，即圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)和，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為直徑兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程是：.21、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，談?wù)搮?shù)的范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得單調(diào)區(qū)間；（2）由已知可解得，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)（1）的結(jié)論，可知函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)椋驗(yàn)?，若，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，若，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】證明：若且對(duì)任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調(diào)性相同，