2025屆安徽省皖南八校高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆安徽省皖南八校高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或2．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.13．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.4．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則：①．圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為②．圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為③．若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是④．若圓M與圓有公共點(diǎn)，則上述結(jié)論中正確的有（）個(gè)A.1 B.2C.3 D.46．對(duì)于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為7．如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．”假設(shè)內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個(gè)不能被5整除9．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.內(nèi)含C.相切 D.相交10．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.11．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線12．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線間的距離為___________.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n的值為__.15．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______16．函數(shù)在處的切線方程為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點(diǎn)，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.18．（12分）為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護(hù)宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動(dòng)，再從這名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者做環(huán)境保護(hù)知識(shí)宣講，求這名環(huán)境保護(hù)知識(shí)宣講志愿者中至少有名年齡在內(nèi)的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護(hù)知識(shí)宣講的志愿者，給甲、乙各隨機(jī)派發(fā)價(jià)值元、元、元的紀(jì)念品一件，求甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價(jià)值高的概率.19．（12分）已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點(diǎn)，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物錢C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.2、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為由，可得：又，則有：則故選：A3、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.4、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.5、A【解析】由題意求出的垂直平分線可得△的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點(diǎn)的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率判斷C；由兩個(gè)圓有公共點(diǎn)可得圓心距與兩個(gè)半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍判斷D【詳解】由題意，△的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的垂直平分線方程為，即由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故①錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故②正確；的幾何意義：圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過與圓相切的直線方程為，即，由，解得，的最小值是，故③錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，，，解得，故④錯(cuò)誤故選：A6、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯(cuò)位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.7、A【解析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.8、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點(diǎn)：反證法9、D【解析】先由圓的方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心間的距離與兩半徑之和與差比較可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為圓的圓心為，半徑為兩圓心間的距離為由，所以兩圓相交.故選：D10、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B11、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，最小，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，最大，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)綜上：的最大值為20故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.14、5【解析】明確程序運(yùn)行的順序，寫出每次循環(huán)的m,n的值，直到判斷符合條件時(shí)結(jié)束，即可得到結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，m＝3，n＝2；第二次循環(huán)，m＝6，n＝3；第三次循環(huán)，m＝9，n＝4；第四次循環(huán)，m＝12，n＝5，此時(shí)m+n＞15，跳出循環(huán)，故答案為：5.15、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得不是正整數(shù)，故答案為：16、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出面與面的法向量，再計(jì)算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間坐標(biāo)系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.18、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進(jìn)行編號(hào)，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀(jì)念品價(jià)值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：因?yàn)橹驹刚吣挲g在、、內(nèi)的頻率分別為、、，所以用分層抽樣的方法抽取的名志愿者年齡在、、內(nèi)的人數(shù)分別為、、.記年齡在內(nèi)的名志愿者分別記為、、，年齡在的名志愿者分別記為、，年齡在內(nèi)的名志愿者記為，則從中抽取名志愿者的情況有、、、、、、、、、、、、、、，共種可能；而至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的情況有、、、、、、、、，共種可能.所以至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：甲、乙獲得紀(jì)念品價(jià)值的情況有、、、、、、、、，共種可能；而甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價(jià)值高的情況有、、、、、，共種可能.故甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價(jià)值高的概率為.19、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范圍；（2）由p是q的充分條件，轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由p：為真，解得.（2）q：，若p是q的充分條件，則是的子集所以.即.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須且，可得，此時(shí)，又由，當(dāng)時(shí)，由(1)有，取時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、（1）證明見解析（2）【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（1）計(jì)算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因?yàn)?，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小問2詳解】解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設(shè)平面PCD的