湖南省郴州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

湖南省郴州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項(xiàng) B.數(shù)列的第5項(xiàng)C.數(shù)列的前4項(xiàng)的和 D.數(shù)列的前5項(xiàng)的和2．不等式解集為（）A. B.C. D.3．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.4．中，三邊長(zhǎng)之比為，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形5．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.46．已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.9．焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y10．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或411．的展開式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.12．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.14．一條光線經(jīng)過點(diǎn)射到直線上，被反射后經(jīng)過點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為___________.15．與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程是______16．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點(diǎn)為此拋物線上的一點(diǎn)，.直線l與拋物線交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.（1）求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.19．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.20．（12分）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點(diǎn)，AD=AA1=2，AB=（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在線段A1D1上是否存在點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由21．（12分）已知點(diǎn)F是拋物線和橢圓的公共焦點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點(diǎn)，與橢圓交于，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.求的最大值及相應(yīng)的.22．（10分）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）證明：AC∥平面BEF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)，直到滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解：模擬程序的運(yùn)行,可得:

A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項(xiàng).所以B選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的A,i的值,當(dāng)i=6時(shí)滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.2、C【解析】化簡(jiǎn)一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.3、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.4、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角為鈍角.【詳解】設(shè)三邊分別為，，，中的最大角為，，為鈍角，為鈍角三角形.故選：C.5、D【解析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即所求最小值.故選：D6、B【解析】根據(jù)拋物線和寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用題干中的坐標(biāo)相等，解出，結(jié)合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.7、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時(shí)，在上；由時(shí)，在上遞減，值域?yàn)椋涣钋?，則，當(dāng)時(shí)，，即遞增，值域?yàn)?，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上，即遞減，在上，即遞增，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)，即時(shí)存在，而在中，此時(shí)，不合題設(shè)；所以，此時(shí)要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.8、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)9、B【解析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），得，即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，故選：A.11、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選：D12、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、992【解析】列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項(xiàng)共有個(gè)，因?yàn)?，所以是中的?項(xiàng)，所以.故答案為：992.14、【解析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線即為所求.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，又點(diǎn)，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡(jiǎn)得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.15、【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.16、4【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可求解.【詳解】由題可知.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析，定點(diǎn)【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，其焦點(diǎn)為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因?yàn)椋?，所?【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，（，）.所以所以，即整理得，此時(shí)恒成立，此時(shí)直線l的方程為，可化為，從而直線過定點(diǎn).18、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問2詳解】解：由（1）知：，設(shè)直線方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴四邊形面積的最小值為2.19、（1）證明見解析（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識(shí)和余弦定理得到及各邊長(zhǎng)度，利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.【小問1詳解】證明：在梯形中，因?yàn)?，，又因?yàn)?，所?，所以，即，解得，，所以，即.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，而平面平面，所以平?因?yàn)椋云矫?【小問2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，又是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.20、（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；理由見解析【解析】（1）連接AD1，A1D，交于點(diǎn)O，所以點(diǎn)O是A1D的中點(diǎn)，連接FO，根據(jù)判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形，進(jìn)而得到線面平行；（2）建立坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，求得兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的夾角的余弦值；（3）假設(shè)在線段A1D1上存在一點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由第二問得到平面EFD的一個(gè)法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點(diǎn)M.【詳解】（1）證明：連接AD1，A1D，交于點(diǎn)O，所以點(diǎn)O是A1D的中點(diǎn)，連接FO因?yàn)镕是A1C的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以O(shè)F∥AE，OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因?yàn)镋F?平面ADD1A1，AO?平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點(diǎn)，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F(xiàn)所以=，=(0，1，1)設(shè)平面EFD的法向量為，則即令y=1，則z=-1，x=2所以，由題知，平面DEC的一個(gè)法向量為m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是（3）假設(shè)在線段A1D1上存在一點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，t，2)(0≤t≤2)，則=(，t，2)因?yàn)槠矫鍱FD的一個(gè)法向量為，而與不平行，所以在線段A1D1上不存在點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD21、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計(jì)算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計(jì)算，然后計(jì)算點(diǎn)到的距離，計(jì)算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點(diǎn)到的距離為..令，則，.此時(shí)，即【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對(duì)問題分析能力以及計(jì)算能力，屬難題.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出平面BEF的法向量，然后證明線面平行；（2）算出在向量方向上的投影，進(jìn)而求得答案.