寧夏銀川市西夏區(qū)育才中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

寧夏銀川市西夏區(qū)育才中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A. B.C. D.2．定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，則=A.0 B.C. D.13．若，是第二象限角，則（）A. B.3C.5 D.4．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C D.5．已知是第三象限角，，則A. B.C. D.6．已知角α的終邊過點P(4，－3)，則sinα＋cosα的值是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.8．設(shè)若，，，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則正數(shù)A值為（）A. B.C. D.10．設(shè)則的值為A. B.C.2 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知偶函數(shù)是區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的取值集合是__________12．若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是：_____________.13．計算：__________．14．若，則的值為______15．已知符號函數(shù)sgn（x），則函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零點構(gòu)成的集合為_____16．已知是定義在上的偶函數(shù)，并滿足：，當(dāng)，，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點是中點（）求證：平面（）求直線與平面所成角的正切值18．已知扇形的周長為30（1）若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長及面積;（2）求該扇形面積的最大值及此時扇形的半徑.19．已知圓M與x軸相切于點（a，0），與y軸相切于點（0，a），且圓心M在直線上.過點P（2，1）直線與圓M交于兩點，點C是圓M上的動點.（1）求圓M的方程；（2）若直線AB的斜率不存在，求△ABC面積的最大值；（3）是否存在弦AB被點P平分？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由.20．已知函數(shù)過點（1）求的解析式；（2）求的值；（3）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明21．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，方程恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，求的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】當(dāng)時，令，故，符合；當(dāng)時，令，故，符合，所以的零點有2個，選B.2、C【解析】本題考查學(xué)生的推理能力、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、分類討論等知識如圖，由函數(shù)的圖象可知，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，當(dāng)時，方程只有一根為2；當(dāng)時，方程有兩不等實根（），從而方程，共有四個根，且這四個根關(guān)于直線對稱分布，故其和為8.從而，，選C【點評】本題需要學(xué)生具備扎實的基本功，難度較大3、C【解析】由題知，再根據(jù)誘導(dǎo)公式與半角公式計算即可得答案.【詳解】解：因為，是第二象限角，所以，所以.故選：C4、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；【詳解】解：對于A：因為，，，故A錯誤；對于B：因為在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，又，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為在上單調(diào)遞減，因為，所以，又，所以，故C錯誤；對于D：因為在上單調(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯誤；故選：B5、D【解析】利用條件以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得sinα的值【詳解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，得sinα，故選D【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】由三角函數(shù)的定義可求得sinα與cosα，從而可得sinα+cosα的值【詳解】∵知角α的終邊經(jīng)過點P（4，-3），∴sinα，cosα，∴sinα+cosα故選：A7、B【解析】由于，進而得，即函數(shù)的值域是【詳解】解：因為,所以所以函數(shù)的值域是故選：B8、A【解析】將分別與比較大小，即可判斷得三者的大小關(guān)系.【詳解】因為，，，所以可得的大小關(guān)系為.故選：A9、B【解析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的周期，從而可求，再根據(jù)對稱軸可求，結(jié)合圖象過可求.【詳解】由圖象可得，故，而時，函數(shù)取最小值，故，故，而，故，因為圖象過，故，故，故選：B.10、D【解析】由題意可先求f（2），然后代入f（f（2））＝f（﹣1）可得結(jié)果.【詳解】解：∵∴f（2）∴f（f（2））＝f（﹣1）＝故選D【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，解題的關(guān)鍵是需要判斷不同的x所對應(yīng)的函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)試題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】因為為偶函數(shù)，所以等價于，又是區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.解得.答案為：.點睛：本題屬于對函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的考查，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時有；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.本題中可以利用對稱性數(shù)形結(jié)合即可.12、【解析】根據(jù)題意，有在R上恒成立，則，即可得解.【詳解】若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則在R上恒成立，則，解得：，故答案為：.13、4【解析】故答案為414、0【解析】由，得到∴sin∴2sin+4兩邊都除以，得：2tan故答案為015、【解析】根據(jù)的取值進行分類討論，得到等價函數(shù)后分別求出其零點，然后可得所求集合【詳解】①當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）的零點是；②當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）=0，故函數(shù)f（x）的零點是0；③當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）的零點是綜上可得函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣x的零點的集合為：故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)的解析式，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是基礎(chǔ)題16、5【解析】根據(jù)可得周期，再結(jié)合偶函數(shù)，可將中的轉(zhuǎn)化到內(nèi)，可得的值.【詳解】因為，所以，所以，即函數(shù)的一個周期為4，所以，又因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，因當(dāng)，，所以，所以.故答案為：2.5.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解析】（1）設(shè)BC1與CB1交于點O，連接OD，利用三角形中位線性質(zhì)，證明OD∥AC1，利用線面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1（2）過D作DE⊥BC，連結(jié)B1E，則DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E為直線DB1與平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，計算tan∠DB1E【詳解】（1）證明：設(shè)BC1與CB1交于點O，則O為BC1的中點在△ABC1中，連接OD，∵D，O分別為AB，BC1的中點，∴OD為△ABC1的中位線，∴OD∥AC1，又AC1?平面CDB1，OD?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1（2）過D作DE⊥BC，連結(jié)B1E，則DE⊥平面BCC1B1，∴∠DB1E為直線DB1與平面BCC1B1所成的角∵D是AB的中點，∴DE，BE，∴B1E∴tan∠DB1E【點晴】本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題18、（1），，；（2），.【解析】（1）利用弧長公式，扇形面積公式即得；（2）由題可得，然后利用基本不等式即求.【小問1詳解】由題知扇形的半徑，扇形的周長為30，∴，∴，，.【小問2詳解】設(shè)扇形的圓心角，弧長，半徑為，則，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以該扇形面積的最大值為，此時扇形的半徑為.19、（1）（2）（3）存在，方程為【解析】（1）根據(jù)圓與坐標軸相切表示出圓心坐標，結(jié)合已知可解；（2）注意到當(dāng)點C到直線AB距離最大值為圓心到直線距離加半徑，然后可解;（3）根據(jù)圓心與弦的中點的連線垂直弦，或利用點差法可得.【小問1詳解】∵圓M與x軸相切于點（a，0），與y軸相切于點（0，a），∴圓M的圓心為M（a，a），半徑.又圓心M在直線上，∴，解得.∴圓M的方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為，∴由，解得.∴.易知圓心M到直線AB的距離，∴點C到直線AB的最大距離為.∴△ABC面積的最大值為.【小問3詳解】方法一：假設(shè)存在弦AB被點P平分，即P為AB的中點.又∵，∴.又∵直線MP的斜率為，∴直線AB的斜率為-.∴.∴存在直線AB的方程為時，弦AB被點P平分.方法二：由（2）易知當(dāng)直線AB的斜率不存在時，，∴此時點P不平分AB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，，假設(shè)點P平分弦AB.∵點A、B是圓M上的點，設(shè)，.∴由點差法得.由點P是弦AB的中點，可得，∴.∴∴存在直線AB的方程為時，弦AB被點P平分.20、（1）（2）（3）在區(qū)間上單調(diào)遞增；證明見解析【解析】（1）直接將點的坐標代入函數(shù)中求出，從而可求出函數(shù)解析式，（2）直接利用解析求解即可，（3）利用單調(diào)性的定義直接證明即可【小問1詳解】∵函數(shù)∫過點，∴，∴，得的解析式為：【小問2詳解】【小問3詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增證明：，且，有∵，∴∴，即∴在區(qū)間上單調(diào)遞增21、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由余弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，，即可求出；（2）利用函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合在時的單調(diào)性與最值，可得實數(shù)的取值范圍；（3）先求出的解析式，然