中考數(shù)學(xué)幾何圖形專項(xiàng)訓(xùn)練：圓（含答案與解析）

中考恁枯&-(8

解題方法

1、圓中常見相似三角形

不含切線

△PACs^PDB

△ABDMAEC

△ACDs^CBD—AABC

2.在圓中解三角形或四邊形的常用思路

畫出特殊圖形:如圓中的特殊三角形、特殊四邊形等,在已知條件下，以結(jié)果為導(dǎo)向,在這些特殊圖

形中求出一些中間量。

題型歸納

題型1:圓與三角形綜合

題型2：圓與四邊形綜合

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題???

題型4:圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

題型5:以實(shí)際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

題型6：最值問題

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

題型8：定值問題

題型9:在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題型J：圓與三角形綜合

（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知，AD.BC為。O兩條弦，AD±BC于點(diǎn)E,連接OE,AE=CE.

⑴如圖1,連接OE,求NAEO的度數(shù)：

（2）如圖2,連接AC,延長EO交AC于點(diǎn)N,點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，連接E尸，在E尸上方作等腰直角三角形

EFG,且4EGF=90°,連接NG,求證：NG〃BC；

⑶在⑵的條件下，連接AB,CD,當(dāng)點(diǎn)G落在線段4B上時，過點(diǎn)O做04_LOE,交CD于點(diǎn)入，交CE于

點(diǎn)T,若OE=675,EG=2CL,求。O半徑的長.

題目。（2024?黑龍江哈爾濱?一模）己知：AB為。。的直徑，點(diǎn)。為卷上一點(diǎn)，連接AC,點(diǎn)。為與心上一

點(diǎn)，連接AD,過點(diǎn)。作AB的垂線，垂足為點(diǎn)尸，交。O于點(diǎn)E,連接CE,分別交AD和AB于點(diǎn)H和點(diǎn)K,

且NAHE=90".

（1）如圖1,求證：ACAD=ABAD,

（2）如圖2,連接加\過點(diǎn)H作*'的垂線交AB于點(diǎn)T,求證：AB=2RT；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BC交AD于點(diǎn)G,延長CD交AB的延長線于點(diǎn)M,若CM=AG,FT=5,

求CG的長.

題目可（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖1,在0O中，直徑AB垂直弦8于點(diǎn)G,連接AD,過點(diǎn)C作CFJ_

AD于F,交AB于點(diǎn)H,交O。于點(diǎn)E,連接。E.

題目國〕（2024.浙江.模擬預(yù)測）如圖1,AABC內(nèi)接于。O,作ADJ_B。于點(diǎn)。.

圖1圖2圖3

（1）連結(jié)AO,BO.求證：NAOB+2ND4C=180°；

⑵如圖2,若點(diǎn)E為弧AC上一點(diǎn)，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)尸，若NBAD=2NCAD,ADBF+4ZCAD=90°,

連結(jié)。尸,求證：OF平分NAFR；

（3）在（2）的條件下，如圖3,點(diǎn)G為BC上一點(diǎn),連結(jié)EG，4BGE=2ZC.若凡0=C,班+及7=3,求

。尸的長.

題型2：圓與四邊形綜合

題目⑸（2024.浙江杭州.模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為。O的直徑，DELAC于點(diǎn)F

交于點(diǎn)￡.

圖1圖2

（1）設(shè)a,試用含a的代數(shù)式表示NADE；

（2）如圖2,若BE=3CE,求黑的值；

（3）在（2）的條件下，若AC,BD交于點(diǎn)G,設(shè)景=。，cosZBDE=y.

Ci*

①求夕關(guān)于力的函數(shù)表達(dá)式.

②若BC=B。，求g的值.

題目回（2024?廣東珠海?一模）如圖1,尸為正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，連接AF,在AF上取一點(diǎn)O,以

04為半徑作圓，恰好使得。O經(jīng)過點(diǎn)8且與CD相切于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）若正方形的邊長為4時，求G）。的半徑；

（2）如圖2,將AF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，其所在直線與。O交于點(diǎn)G,與邊CD交于點(diǎn)H,連接DG,

BG.

①求NADG的度數(shù)；

②求證：ABBF+AGFG=BG2.

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題

題目0（2024.廣東?一模）綜合探究：

如圖，已知AB=10,以AB為直徑作半圓O,半徑OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到OC,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為C,當(dāng)

點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時停止.連接BC并延長到點(diǎn)使得CD=BC,過點(diǎn)。作DE_LAB于點(diǎn)E,連接AD,

AC.

題目回（2024.浙江湖州?一模）如圖，在OABCD中，NB是銳角，AB=6，^,BC=10,在射線BA上取一點(diǎn)

P,過P作PE_LBC于點(diǎn)E,過P,E,C三點(diǎn)作。O.

???

題型4：圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

題目應(yīng)（2021福建龍巖.一模）如圖,拋物線y=-/+3方+4與。軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C.

⑴直接寫出力、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）如圖（1）,P是拋物線上異于A,B的一點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)45°得到點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好在直線

AP上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

（3）如圖（2）,AW是拋物線上異于的兩個動點(diǎn)，直線BN與直線CA/交于點(diǎn)T,若直線AGV經(jīng)過定點(diǎn)

（1,3）,求證:點(diǎn)T的運(yùn)動軌跡是一條定直線.

題目口口（2024.江蘇常州.模擬預(yù)測）定義:在平面直角坐標(biāo)系。Oy中，尸、Q為平面內(nèi)不重合的兩個點(diǎn)，其中

「（。1,統(tǒng)）?（磔統(tǒng)）.若：的+夕1=02+紡，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“等和點(diǎn)”.

（1）如圖1,已知點(diǎn)尸（2,1）,求點(diǎn)尸在直線y=o+1上''等和點(diǎn)'’的坐標(biāo)；

（2）如圖2,。A的半徑為1,圓心4坐標(biāo)為（2,0）.若點(diǎn)P（0,m）在◎A上有且只有一個“等和點(diǎn)”,求m的

值；

（3）若函數(shù)y=—。2+23<m）的圖像記為IR,將其沿直線。=小翻折后的圖像記為T4.當(dāng)TR,1%兩部分

組成的圖像上恰有點(diǎn)P（0,m）的兩個“等和點(diǎn)”，請直接寫出m的取值范圍.

??

題目巨〕（.江蘇宿遷.一模）如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線加與°軸分別相交于

220241,y=2+k+3

A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,己知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）.

???

題目匡〕（2024?江蘇宿遷?二模）中國象棋棋盤上雙方的分界處稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻雙方對壘

的分界線.在平面直角坐標(biāo)系中，為了對兩個圖形進(jìn)行分界，對''楚河漢界線”給出如下定義:點(diǎn)尸（。1,幼）是

圖形Gi上的任意一點(diǎn),點(diǎn)。（啊,紡）是圖形G上的任意一點(diǎn)，若存在直線l：y=kx+b（k^O）滿足yWkX1

+b且終》上+d則直線y=K+b（A：#O）就是圖形G與G2的“楚河漢界線例如:如圖1,直線Z：y=F

一4是函數(shù)？=旦（。＜0）的圖像與正方形OABC的一條“楚河漢界線”.

X

題型5:以實(shí)際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

If。（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

（1）如圖1,已知在邊長為5的等邊中，點(diǎn)D在邊3。上，=3,連接AD,則△ACD的面積為」

【問題探究】

⑵如圖2,已知在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且/EAF=45°,若EF=

5,求△AEF的面積；

【問題解決】

（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在AB=4米，AD=4四米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開

挖一個△AEF的工作面，其中分別在B。、CD邊上（不與B、重合），且/EAF=60°,為了減少對

該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF?若存在，請求出△入￡?

面積的最小值;若不存在,請說明理由.

???

量目區(qū)（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

⑴如圖1,點(diǎn)。為4ABC的邊BC上一點(diǎn),連接AD,ABDA=ZBAC,^=,若AABD的面積為4,則

A.IDo

△ACD的面積為；

【問題探究】

（2）如圖2,在矩形ABCD中，AB=6,6。=5,在射線BC和射線CD上分別取點(diǎn)E、F,使得祟=2,連接

CF5

AE.BF相交于點(diǎn)P,連接CP,求CP的最小值；

【問題解決】

（3）如圖3,菱形ABCD是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測量，AB=120米，乙4BC=60°.社區(qū)管委會計(jì)劃對該空

地進(jìn)行重新規(guī)劃利用，在射線AD上取一點(diǎn)E,沿BE、CE修兩條小路，并在小路BE上取點(diǎn)H,將CH段鋪

設(shè)成某種具有較高觀賞價值的休閑通道（通道寬度忽略不計(jì)），根據(jù)設(shè)計(jì)要求，2BHC=/BCE,為了節(jié)省鋪

設(shè)成本，要求休閑通道CH的長度盡可能小，問CH的長度是否存在最小值？若存在，求出S長度的最小

值;若不存在,請說明理由.

圖1圖2圖3

???

題型6：最值問題

題目正（2024?湖南長沙?三模）如圖1,A,B,C為0O上不重合的三點(diǎn),GC為0O的切線，yZG+ZA=

90°.

圖1圖2

—

題目叵（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖,在直角△ABC中，90°.點(diǎn)。為△4BC內(nèi)一點(diǎn)，且/ADB=

60°,E為線段BO的中點(diǎn)，連接AE.

???

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

:題目叵（2024?福建泉州?一模）如圖1,在OABCD中，BE平分/ABC交AO于點(diǎn)E,尸是CD上一點(diǎn)，且

DF=DE.

圖1圖2

???

題型8：定值問題

［題目叵（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖1,E點(diǎn)為2軸正半軸上一點(diǎn)，。右交必軸于4B兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BC

上一個動點(diǎn)，且4—l,0）、E（l,0）.

—

題型9:在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題目為（2024?湖南長沙?一模）如圖1,在電△ABC中，乙45。=90°,47=30°,反7=4如;。是的中

點(diǎn).經(jīng)過A,B,。三點(diǎn)的。。交AC于點(diǎn)E,連接BE.

⑴求AE和BE的長；

（2）如圖2,兩動點(diǎn)P、Q分別同時從點(diǎn)A和點(diǎn)。出發(fā)勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E時，點(diǎn)Q恰好運(yùn)動到點(diǎn)

B,P、Q停止運(yùn)動，連接PQ.

①記AP=2,當(dāng)饃。。的面積最大時，求c的值；

②如圖3，連接BP并延長交OO于點(diǎn)F,連接AF、FE.當(dāng)BE平分AFBC時,求sinZABF的值.

—

遮目包］（2024?上海楊浦?一模）已知以AB為直徑的半圓。上有一點(diǎn)C,CD_L04垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)E是半

徑OC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。、C重合），作EFLOC交弧BC于點(diǎn)F,連接OF.

（1）如圖1,當(dāng)FE的延長線經(jīng)過點(diǎn)A時，求

（2）如圖2,作FG,AB,垂足為點(diǎn)G,連接EG.

①試判斷EG與CD的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論；

②當(dāng)4EFG是等腰三角形,且sinZCOZ）=”,求染的值.

5OD

—

中考人枯殿-圓

解題方法

1、圓中常見相似三角形

不含切線含切線（4。是。。的切線）

B4cs"08

LABD^LAEC

2.在圓中解三角形或四邊形的常用思路

畫出特殊圖形:如圓中的特殊三角形、特殊四邊形等,在已知條件下，以結(jié)果為導(dǎo)向,在這些特殊圖

形中求出一些中間量。

題型歸納

題型1：圓與三角形綜合

題型2：圓與四邊形綜合

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題

題型4：圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

題型5:以實(shí)際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

題型6：最值問題

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

題型8：定值問題

題型9:在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題型1：圓與三角形綜合

,題日①（2024.黑龍江哈爾濱.一模）已知，為③。兩條弦，40,8。于點(diǎn)后,連接?！辏?AE=CE.

（1）如圖1,連接OE,求AAEO的度數(shù)；

（2）如圖2,連接AC,延長EO交AC于點(diǎn)N,點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，連接EF,在EF上方作等腰直角三角形

EFG,且NEGF=90°,連接NG,求證:NG〃BC；

（3）在（2）的條件下，連接AB,CD,當(dāng)點(diǎn)G落在線段AB上時，過點(diǎn)。做交CD于點(diǎn)乙，交CE于

點(diǎn)T,若OE=6叵EG=2CL,求30半徑的長.

【答案】（1）45。

（2）見詳解

（3）675

【分析】本題考查了圓與三角形的綜合，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線成比

例，勾股定理，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練靈活運(yùn)用知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

（1）連接OAOC,證明△AEO經(jīng)△CEO即可；

（2）過點(diǎn)G作GR_LGN交EN于點(diǎn)A,先證明△GER24GFN，得GR=GN,

所以/GNR=/GRN=45°,得到4GNR=4NEC,故GN//BC.

（3）過G作GA_LGN交NE的延長線于點(diǎn)R,連接。D,OC,作OK_LCD于點(diǎn)、K,OH_LCE于點(diǎn)先證

明^\ABE咨ACDE,：.EG=卷CD，設(shè)CL=a,EG=2a,AB=。。=4a,DL=3a,則。。=OG=2V2a,

OK=OK=2a,KL=a■，證出AKOL=AOCT,則tan/KOL=tanZOCT,

最后在AtZXOCH中運(yùn)用勾股定理求OC=

【解析】（1）連接040。，

???OAOC為。O半徑，

：.OA^OC,

,:EA=ECQE=OE,

：.△AEOn△CEO,

NAEO=/CEO,

?：AD±BC,圖1

ZAEC=90°,???

??.AAEO=ZCEO=yZAEC=45°;

(2)證明：過點(diǎn)G作GR_LGN交EN于點(diǎn)A,

??.ZRGN=90°,

???4RGN=Z.EGF,

???ARGN-4RGF=AEGF-ARGF,

??.AEGR=AFGN,AE=CE,/AEN=Z.CEN,

:?EN工AC,AN=CN,

??.ZENC=90°,

：.AENC=90°=AEGF,

："GEN=NGFN,圖2

叉??,GE=GF,

???/\GER^/\GFN,

:.GR=GN,

：.AGNR=ZGRN=45°,

：.4GNR=/NEC,

??.GN//BC.

⑶過G作GALGN交NE的延長線于點(diǎn)兒連接QD,O。,作OK,CO于點(diǎn)K,OH_LCE于點(diǎn)、H,

由(2)得/\GFN注AGER,得GN〃BC,

.ANAG

"CZV-BGJ

???AN=CN,

??.AG=BG,AAEB=90°,

：.EG=AB,ABAD=/BCD,AE=CE,/AEB=ACED,

???AABE名/\CDE,

:,AB=CD,

；.EG=fcD,

設(shè)CL=a,EG=2Q,AB=CD=4a,DL=3Q,ZEAC=90°—/AEN=45°,

??.Z￡>OC=90°,

???4DOK=/COK=45°,

???4ODC=4OCD=45°,

則OD—OC—2〃5a,OK—DK—2a,KL—a,

在Rt/XOKL中，tan/LOK=

?：OL_LOEf

：.NEOL=90°,

???/OED=/OTE=45°,

???AKOL+ZLOC=45°,/OCT+ZLOC=45°,

???/KOL=/OCT,

：.tanZATOL=tanZOCT,

OE=6A/2,OH=6,HC=12,

在Rt/\OCH中，OEOH\HC2,

:.OC—6A/5.???

題目區(qū)（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知：AB為。。的直徑，點(diǎn)。為卷上一點(diǎn)，連接AC,點(diǎn)。為后心上一

點(diǎn)，連接AO,過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F,交OO于點(diǎn)E,連接CE,分別交AD和AB于點(diǎn)H和點(diǎn)K,

且/AHE=90°.

⑴如圖1,求證：ACADABAD

⑵如圖2,連接成，過點(diǎn)H作上田的垂線交AB于點(diǎn)T,求證：AB=2FT；

⑶如圖3,在⑵的條件下,連接B。交AO于點(diǎn)G,延長CD交AB的延長線于點(diǎn)M，若CM=AG,FT=5,

求CG的長.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

⑶寺

O

【分析】（1）證明4AHC?△AFD,即可得出結(jié)論；

（2）連接證明AAH"^AHK（ASA）,得至［CH=KH,ZACH=乙4KH,證明ATKHs/\FDH,得到

Z.HTK=AHFD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出毋,得到NTHK=ZACH,推

出AC//TH,證明4AKC?ZYTKH,得到第=等==2,再證明4ABC?/\TFH,即可證明結(jié)

1HHKHK

論；

⑶連接GK,過點(diǎn)M作CB的垂線，垂足為點(diǎn)N,證明4AHC^^AHK（ASA）,得到CH=KH,AC=AK,

進(jìn)而推出/4。3=乙4的,證明434?＜篤^^0?/（＞145＜）,得到＞1。=＞17＜=。^,進(jìn)而推出GK=MN=

CG,1正明△GBKW4MBN（AAS）,得至UBK=BN,設(shè)BK=BN=a,則AK=AC=CN=10-a,CB=10

—2a,求出BK=2,47=8,BC=6,設(shè)CG=GK=M，則GB=6—利用勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：??,AB_LDE,

ZAFL＞=90°

乙4HE=90°,4c=2D

：.AAHC-4AFD

:"CAD=2DAB;

⑵解:如圖2:連接BC,

由（1）知/。＞1D=/_DAB,

?/AAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

：.AAHC^/XAHK^ASA）,

CH=KH,AACH=/LAKH,

?：ABAD+Z.AKH=ABAD+ZADF=90°,圖2

ZADF=Z.AKH,

?：TH±FH,

：.ZTHK+Z.FHK=AFHK+ZFHD=90°,

：.4THK=4FHD,

???

??.NTKH~/\FDH,

：.4HTK=4HFD,

??,點(diǎn)F是。石的中點(diǎn)，/EHD=90°,

：.HF=DF,

：.乙FHD=ZFDH,

：.NTHK=4TKH,

?：4TKH=/ACH,

???4THK=4ACH,

：.ACIITH,

???dAKC?dTKH

.AC=CK=2HK=

HK~

???ACIITH

：.4CAB=/HTB,

???4ACB=/THF=90°

???/\ABC?/\TFH

.=J4C=9

?,TFTH

??.AB=2FT;

⑶解:如圖3,連接GK,過點(diǎn)M作CB的垂線，垂足為點(diǎn)N,

???ACAD=/BAD,/AHC=4AHK=90°,AH=AH

：.△AHC空△AHK(4S4)

:?CH=KH,AC=AK

??.ZACK=AAKC

：.CG=GK

??.ZGCK=AGKC

：.AACK+AGCK=AAKC+AGKC

：.4ACG=4AKG

???AB是。O直徑

???AACB=AAKG=AGKB=90°

???4AKG=4CNM=90°,4GAK=/MCN,AG=CM

???AGAK藝/\MCN(AAS)

??.AC=AK=CN

:?GK=MN=CG

??,AGKB=AMNB=90°,/GBK=AMBN

：./\GBK^/XMBN^AAS)

:?BK=BN

VTF=5,AB=2FTf

：.AB=109OA=OB=5f

設(shè)BK=BN=Q,則AK=AC=C7V=10—a,CB=10—2。

在Rt/\ABC中,AC2+BC2=AB2

即(10—a)2+(10—2a)2=102

a=2或a=10(舍去)

：.BK=2,AC=8,BC=6

設(shè)CG=GK=M，則GB=6—m,—

在Rt/\GKB中,GK2+BK2=GB1

即m2+22=(6—m)2

.8

..m——

o

.?.CG=*

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形全等的判定和性

質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，全等三角

形.

，題白Q(2024.黑龍江哈爾濱.一模)如圖1,在。。中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)G,連接AD,過點(diǎn)。作CF，

40于F,交AB于點(diǎn)H,交⑷。于點(diǎn)E,連接OE.

圖1圖2圖3

—

:,乙CHG=AADC,

又???ZADC=ZBf

：.ZCHG=ZBf

:?CH=CB,

由⑴知：NE=2NECD,

：.CD=2DE,

?：CD=2BC,

：.DE=BCf

:?DE=BC=CH?,

⑶連接OC,AE,則：ZABB=90°,

?：OH=2OG9

設(shè)OG=力，則OH=2x,

：.HG=OH+OG=3x,

由⑵知，BC=CH,

???ABVCD,

:.BG—GH—3力,

:.OB—BG+OG—4x,

OC—4x,AB—8x,AH—2x,

???ZCfffi=NAHE,ACBH=Z.CEA,且ACHB=ACBH,

???4AHE=/CEA,

:.AE—AH—2x,

/.Rt/\ABE中，BE=-JAB2—AE2=2V15x,

RtAOGC中，CG=VOC2-OG2=V15a;,

Rt^HGC中，CH=y/CG2+GH2=2娓x,

?：DE=BC=BD,

/BAD=NDCE,

sinZ.BAD—sin/DCE,即：?=?,

A.HOH

?VW=3z：

"2x~2V6X'

?/些

.?力3’

BE—2V152：=20,BG=3c=2VlK,AB—8x—,

o

???/ABE=4GBN,/BGN=ZAEB=9Q°,

：?/\BGN?/\BEA,

.BN=BG

,?布―南，

.BN=BGYB=2E中

BE20'

:.EN=BE—BN=\2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、角之間的關(guān)系，解直角三角形，相

似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會結(jié)合題意靈活運(yùn)用勾股定理和方程思

想，會借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

:題目回（2024.浙江.模擬預(yù)測）如圖1,△48。內(nèi)接于。。，作AD，于點(diǎn)D???

DG7C

（1）連結(jié)A。，BO.求證：ZAOB+2ZDAC=180°；

（2）如圖2,若點(diǎn)E為弧AC上一點(diǎn),連結(jié)BE交AD于點(diǎn)、F,若ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAD=90°,

連結(jié)。F,求證：O尸平分/AFB；

⑶在⑵的條件下，如圖3,點(diǎn)G為BC上一點(diǎn)，連結(jié)EG,4BGE=2"若AO=?,BD+EG=3,求

DF的長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】

⑴根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，且結(jié)合AD±BC,即可作答；

（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得NABF=ABAD=2a,等角對等邊，得BF=AF,即可證明ZV/lOF篤

△BOF（SSS）,結(jié)合全等三角形的對應(yīng)角相等，即可作答；

（3）根據(jù)同弧所對的圓周角是相等，得=90°-a,由三角形的內(nèi)角和，得=90°—a,等角對等

邊，得AB=BE,進(jìn)而證明△ABDZ4BEM（AAS）,得ME=BD,等角對等邊，得EG=EN,故MN=ME

+EN=3,因?yàn)锳MBE=NMNB,BMN=NBMN=90°,證明4BME?/XNMB，得手=嚶^，解得ME=

2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】（1）證明：：ADYBC,

：.ZADC=90°,

：./C+/ZMC=90°,

??.2/C+2/DAC=180°,

ZAOB=2/C,

AAOB+2/D4C=180°;

（2）證明：設(shè)/CAD=a,

?/ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAD=90°,

ABAD=2a,AFBD=90°-4a,

/BFD=4a,

：.4ABF=/RAD=2w,

：.BF=AFf

,：OB—OA,OF—OF,

???/XAOF^ABOF（SSS）,

???/BFO=/AFO,

???O尸平分乙4尸B;

（3）解:連接4E,過點(diǎn)后作磯f_LAB于點(diǎn)“交BC的延長線于點(diǎn)N,???

由(2)得，乙4cB=90°—a,

??.AAEB=9Q°—a,

???/ABF=/BAD=2a,

/./ABE=2a,

???ABGE=2NC,且/。=90°—a,

???/BAE=180°-/LABE-AAEB=90°-a,ABGE=180°—2。,

???/.BEA=/BAE,ZEGC=2a,

/.AB—BE,

???/.BAD=/ABE,ABME=AADB=90°,

???/\ABDn相EM(AAS),

??.ME=BD,AD=MB=?AMEB=/DBA=90°-2a,

???AEBN=90°—4a,

??.NN=2a,

???AEGC=/ENG,

??.EG=EN,

?；BD+EG=3,

：,MN=ME+EN=3,

???4MBE=4MNB,BMN=乙BMN=90°,

,MBME?ANMB,

.BM=ME

"NM~^B9

.正=ME

?〒一詞’

:.ME=2,

：.ME=BD=2,

?：BD2+DF2=BF2,

：.2\DF2=(V6-OF)2,

??.DF=乎.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了圓綜合，涉及圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理等綜合內(nèi)容，難度較大，綜合性較強(qiáng)，學(xué)會靈活運(yùn)用等角對等邊以及作出正確的輔助線是

解題的關(guān)鍵.

題型2：圓與四邊形綜合

:題目回(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為。。的直徑，DELAC于點(diǎn)F

交BC于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)設(shè)/DBC=a,試用含a的代數(shù)式表示NADE：???

⑵如圖2,若BE=3CE,求黑的值；

UB/

⑶在⑵的條件下，若47,_8。交于點(diǎn)G,設(shè)^^=x,cosABDE=y.

CJT

①求沙關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式.

②若求"的值.

【答案】⑴90°—a

（2）2

2

⑶①V=

6+1

【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，即可得解；

⑵圓周角定理得到乙4。。=90°=乙4FD,進(jìn)而得到/D4C=/CDF,推出△DCE?△BCD,得到黑=

L）E

綜=察，設(shè)CE=a，求出CD的長，即可得出結(jié)果；

CDCE

（3）①過點(diǎn)G作GH//DE,得到△CEF?△SG,ABHG?ABED，進(jìn)而得到需=桀=第,黑=

CHCGGHDE

需=暮,根據(jù)等=g8￡=33；,推出。3=^BD,DF=產(chǎn)、?DE,利用"=cosABDE=熹

r>n/r>U（^ro3（/+1）DG

結(jié)合黑=2進(jìn)行求解即可；

DE

②作EW_LB_D于W,根據(jù)已知條件推出BD=4CE,DE=2CE,設(shè)CE=a,DW=M,勾股定理求出巾=

日a,再根據(jù)y=cosZBDE=*善求解即可.

oUE/

【解析】（1）解：??,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

???/DAC=/CBD=a,

?：DE±AC,

：.ZAFD=90°f

：.NADE=90°-ZDAC=90°-a;

（2）V4。為。。的直徑，

??.ZADC=90°=ZAFD,

??.ZDAC=ZCDF=90°-AADF,

???ZDBC=/DAC,

：.ADBC=乙CDF,

???4DCE=/BCD,

.-.△nCE-ABCD,

.BD=BC=CD

''^E~~CD~~CE"

?：BE=3CE,

：.設(shè)CE=a，則：BE=3a,

???BC=4a,

???CD?：石。?五=4Q.Q=402,

??.CD=2Q（負(fù)值舍去）；

,BD=BC=4a=2.

"DE-CD-2^-；

（3）①過點(diǎn)G作GH7/DE,

則：/\CEF?4cHG,/\BHG~4BED,

.CE=CF=EFGH=BH=BG

一~CH~~CG~~GH^^E~~BE~~BD

77=a:,BE=3CE,

Ur

：.EF=^--GHCH=(x+l)CE

x-rlff

：.BH=BC-CH=^CE-O+1)CE=(3—c)CE,

?：BE=3CE,

.BG__GH_BH_3—x

"BDDEBE3，

3-7Q9_3-CD7~)

???KJll——3un,,-oCr3BD，

??.DG=:BD—BG=弓RD斤—1「口―DE，

o/+1'3(^+1)

:?DF=DE—EF=產(chǎn)、?DE,

3(z+l)

n/?_3(3.DE

??,〃y，一5ccG/anz?—ui

DGfBD

由（2）知：萼=2,

UrL/

4x

3Q+1)2

3/

②如圖，作EW±BD于W,

???BC=BD,BD=2DE,BC=4CE,

:?BD=4CE,DE=2CE,

設(shè)CE=a,DW:BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BD—DW—^a—m,

???EW2=DE2-DW2=BE2-BW2,

4a2—m2=9a2—(4a—m)2,

解得：m—耳a,

o

DW_晉。_11

y=cos/BDE=

DE2a16

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及到圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求函數(shù)解析

式，勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，掌握圓周角定理，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形和相似三

角形，是解題的關(guān)鍵，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.

題目回（2024.廣東珠海?一模）如圖1,F為正方形4BCD邊上一點(diǎn)，連接AF,在AF上取一點(diǎn)O,以

OA為半徑作圓，恰好使得。。經(jīng)過點(diǎn)B且與CD相切于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）若正方形的邊長為4時，求。O的半徑；

（2）如圖2,將AF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，其所在直線與。O交于點(diǎn)G,與邊CD交于點(diǎn)連接DG,

BG.

①求/ADG的度數(shù)；

②求證：ABBF+AGFG=BG2.

【答案】⑴

（2）①45°;②證明見解析

【分析】（1）連接OB、OE,如圖所示,先證明AF是。。的直徑，再證明OE是梯形的中位線，設(shè)。。的半徑

為r,由梯形中位線性質(zhì)及正方形性質(zhì)得到FC=2r-4,BF=8-2r,AF=2T,在RtAABF中，由勾股定理

列方程求解即可得到答案；

（2）①連接BD交。。于如圖所示，利用正方形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及圓周角定理得到BG與重合，即可

得到答案;②過點(diǎn)G作GM_LBC于河，GN_LAB于N,如圖所示，得到四邊形BMGN是矩形，進(jìn)而結(jié)合等

腰直角三角形的判定、全等的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)得到相應(yīng)邊的關(guān)系，設(shè)正方形的邊長

為a,AN=b,則AB=BN+AN=a+b,BF=BM-FM=a-b,在RtLGMF中，由勾股定理可得

GF?=及，在RtdGMB中，由勾股定理可得GB?=2a2,即可得到所證等式成立.

【解析】⑴解:連接OB、OE,如圖所示：

----、D

OA=OB,OE±DC,

：.ABAC=AOBA,OE//ADIIBC,

在正方形ABCD中，NABF=90°,則ZBAC+/APB=90°,AOBA+AOBF=90°,

NOBF=/OF5,則05=OF,即OA=OB=OF,

.?.O為4F的中點(diǎn)，

?：OE//AD//BC,

.??嫖=黑=1,即E是。。中點(diǎn)，

：.OE是梯形的中位線，則OE=5（4。+FC）,

設(shè)。O的半徑為r,則FC=2r-4,

:.BF=4—FC=8—2T,AF=2r,

在RtAABF中，由勾股定理可得AB2+BF2=AF2,即42+（8-2r）（2吟,,解得r=*

（2）解:①連接BD交OO于/，如圖所示：,4^D

在正方形ABCD中，NABD=45°,/IV

?.?力P是OO的直徑，且將AF繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)45°到AH,I

AFAH=45°,AAGF=90°,I/\E

?w—,

???AG=AG,*----------

乙4BG=/AFG=45°,

ABG與重合，則AADG=45°;

②過點(diǎn)G作GAf_LBC于W,GN_LAB于N,如圖所示:

四邊形BMGN是矩形,

由①知AABG=45°,則AGBF=45°,

二△BMG是等腰直角三角形，即MG=MB,

四邊形BMGW是正方形，

GN=GM,

由①知△AGF是等腰直角三角形，即GA=GF,

：.Rt^GNA空Rt4GMF(HL),

AN=FM,

設(shè)正方形BMGN的邊長為a,AN=FM=b,則AB=BN+AN=a+b,BF=BM-FM=a-b,

在RtAGMF中，由勾股定理可得GF2=GMAFM三a2+62,

在Rt^GMB中，由勾股定理可得Gpz=GM2+BM2^a2+a2^2a2,

AB-BF+AG-FG

=ABBF+FGFG

=(a+b)(a—b)+(o2+b2)

=2a2

=BG2,

：.ABBF+AG-FG=BG2.

【點(diǎn)睛】本題難度較大，綜合性強(qiáng)，涉及圓周角定理、梯形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、圓周角

定理、矩形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,

熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定，根據(jù)問題作出相應(yīng)輔助線求解是解決問題的關(guān)鍵.

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題

〔題目〔7〕(2024.廣東.一模)綜合探究：

如圖，已知48=10,以AB為直徑作半圓O,半徑。入繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)得到OC,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為。，當(dāng)

點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時停止.連接BC并延長到點(diǎn)D，使得CD=8。,過點(diǎn)。作。E，于點(diǎn)E,連接AD,

AC.

—

（3）PC_LAO.理由見解析

【分析】⑴由圓周角定理得到AC_LBC,結(jié)合已知條件CD=BC和等腰三角形“三線合一”性質(zhì)推知AD

=AB=10,再由等腰“三線合一”性質(zhì)得到AD=BD,即可得到結(jié)論；

⑵分類討論：點(diǎn)E在線段AO和線段OB上，借助勾股定理求得BC的長度；

⑶由三角形中位線定理知OC7/AD,又由切線的性質(zhì)知PC_LOC,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案.

【解析】是等邊三角形，理由如下：

如圖1,?.?48是圓。的直徑，

AC±BC,

丸?：CD=BC,口

：.AD=AB=10,/K

E?.?點(diǎn)ES與點(diǎn)。重合，T

Ao（玲E

-：AD=AB,3

圖1

AD=AB=DB,

：.△ABD是等邊三角形；

（2）VAB=10,

/.AO=BO=5,

當(dāng)點(diǎn)E在？IO上時，

則AE=AO—OE=4,BE=BO+OE=6,

,/AD=W,DE±AO,

：.在Rt/\ADE和RtABDE中，

由勾股定理得AD2-AE2=BD2-BE2,

即102—42=802—62,

解得BD=2西，

.-.BC=yBD=VSO;

22

當(dāng)點(diǎn)E在OB上時，同理可得1。2-62=B￡>-4,

解得=后，

：.BC=^-BD=2V5-,

綜上所述，BC的長為百或2遍