統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學一輪復習第二章2.7函數(shù)的圖象學案理含解析

PAGE第七節(jié)函數(shù)的圖象【學問重溫】一、必記2個學問點1．列表描點法作圖其基本步驟是列表、描點、連線，首先：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)解析式；探討函數(shù)的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性)；其次：列表(尤其留意特別點、零點、最大值、最小值、與坐標軸的交點)，描點，連線．2．圖象變換法作圖(1)平移變換(2)對稱變換(ⅰ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝①________；(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝②________；(ⅲ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝③________；(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關于y＝x對稱))y＝④________.(3)翻折變換(ⅰ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝⑤________.(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關于y軸對稱的圖象))y＝⑥________.(4)伸縮變換y＝⑦________.(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變))y＝⑧________.二、必明2個易誤點1．圖象變換的根本是點的變換，如函數(shù)y＝f(2x)的圖象到函數(shù)y＝f(2x＋2)的平移變換，是點(x，y)到對應點(x＋1，y)，而不是到點(x＋2，y)或其他．2．明確一個函數(shù)的圖象本身關于y軸對稱與兩個函數(shù)的圖象關于y軸對稱的不同，前者是自身對稱，后者是兩個不同的函數(shù)的對稱關系．【小題熱身】一、推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．()(2)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(x＋1)＝f(x－1)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．()(3)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f(|x|)的圖象與y＝|f(x)|的圖象相同．()(4)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個單位得到．()二、教材改編2．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的圖象關于()A．y軸對稱B．x軸對稱C．原點對稱D．直線y＝x對稱3．下列圖象是函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的圖象的是()三、易錯易混4．函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是()5．將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)________的圖象．四、走進高考6．[2024·天津卷]函數(shù)y＝eq\f(4x,x2＋1)的圖象大致為()eq\x(考點一)作函數(shù)的圖象[自主練透型]分別畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1).悟·技法圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)嫻熟駕馭幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函數(shù)．(2)若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要留意變換依次.考點二函數(shù)圖象的辨識[互動講練型][例1](1)[2024·浙江卷]函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]上的圖象可能是()(2)[2024·唐山市高三年級摸底考試]函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－1,|x|)的圖象大致為()悟·技法識圖3種常用的方法[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2024·長沙市四校高三年級模擬考試]函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)的圖象大致為()2．[2024·廣東省七校聯(lián)考試題]函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)的部分圖象大致是()考點三函數(shù)圖象的應用[分層深化型]考向一：探討函數(shù)的性質[例2][2024·山西大同模擬]函數(shù)f(x)＝|lg(2－x)|在下列區(qū)間中為增函數(shù)的是()A．(－∞，1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))D．[1,2)考向二：求參數(shù)的值或取值范圍[例3]在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為________．考向三：求不等式的解集[例4]已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)悟·技法函數(shù)圖象應用的常見題型與求解策略(1)探討函數(shù)性質：①依據(jù)已知或作出的函數(shù)圖象，從最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值．②從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性．③從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調性、周期性．④從圖象與x軸的交點狀況，分析函數(shù)的零點等．(2)探討方程根的個數(shù)或由方程根的個數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構造函數(shù)，轉化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結合求解．(3)探討不等式的解：當不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應函數(shù)的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而利用數(shù)形結合求解.[變式練]——(著眼于舉一反三)3．已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)4．[2024·北京八中月考]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x>0，,x2－2x，x≤0，))若f(x)≥ax，則實數(shù)a的取值范圍是________．第七節(jié)函數(shù)的圖象【學問重溫】①－f(x)②f(－x)③－f(－x)④logax⑤|f(x)|⑥f(|x|)⑦f(ax)⑧af(x)【小題熱身】1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故選C.答案：C3．解析：其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的部分組成．答案：C4．解析：依題意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，即函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，故解除C.因為函數(shù)f(x)過定點(0,0)，解除B，D，故選A.答案：A5．解析：y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位長度，是將f(－x)中的x變成x－1.答案：y＝f(－x＋1)6．解析：解法一令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，明顯f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，解除C，D，由f(1)>0，解除B，故選A.解法二(特別點法)令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，由f(1)>0，f(－1)<0，故選A.答案：A課堂考點突破考點一解析：(1)首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖象，如圖①所示(實線部分)．(2)將y＝2x的圖象向左平移1個單位，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖②所示．(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)的圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖③所示．考點二例1解析：(1)令f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，解除C，D，又f(π)＝－π<0，解除B，故選A.(2)因為f(x)＝eq\f(x2－1,|x|)的定義域為{x|x≠0}，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，解除選項B，C.當x>0時，f(x)＝eq\f(x2－1,x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調遞增，解除選項A.故選D.答案：(1)A(2)D變式練1．解析：通解函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝eq\f(sin－x,－x2＋1)＝eq\f(－sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關于原點對稱，故解除選項C，D；當0<x<π時，f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)>0，故解除選項B.所以選A.優(yōu)解由f(0)＝0，解除選項C，D；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>0，解除選項B.所以選A.答案：A2．解析：因為f(－x)＝eq\f(e－x－ex,x2＋|x|－2)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，當x∈(0,1)時，f(x)＝eq\f(ex－e－x,|x|＋2|x|－1)<0，當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0.故選D.答案：D

考點三例2解析：將y＝lgx的圖象關于y軸對稱得到y(tǒng)＝lg(－x)的圖象，再向右平移兩個單位長度，得到y(tǒng)＝lg[－(x－2)]的圖象，將得到的圖象在x軸下方的部分翻折上來，就可以得到f(x)＝|lg(2－x)|的圖象如圖所示，由圖象知，在選項中的區(qū)間上，滿意f(x)是增函數(shù)的明顯只有D項．故選D項．答案：D例3解析：函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象如圖所示，因為直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，故2a＝－1，解得a＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)例4解析：在同一平面直角坐標系中畫出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的圖象如圖．由圖象得交點坐標為(0,1)和(1,2)．又f(x)>0等價于2x>x＋1，結合圖象，可得x<0或x>1.故f(x)>0的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)．故選D.答案：D變式練3．解析：將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉肯定值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖，視察圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調遞減．答案：C4．解析：作出函數(shù)f(x