（圓夢高考數(shù)學）專題3.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)（含答案及解析）

專題3.4二次函數(shù)與冪函數(shù)題型一二次函數(shù)的圖象題型二二次函數(shù)的單調(diào)性題型三二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題題型四二次函數(shù)恒成立問題題型五冪函數(shù)的定義題型六判斷冪函數(shù)的圖象題型七根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小題型八根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型九根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式題型一 二次函數(shù)的圖象例1．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習）已知a，b，c成等比數(shù)列，則二次函數(shù)的圖像與x軸的交點個數(shù)是___________.例2．（2021秋·上海徐匯·高三上海市第二中學?？茧A段練習）二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是____．（1）異號；（2）當和時，函數(shù)值相等；（3）；（4）當時，的取值只能為0.練習1．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習）若二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一元二次不等式的解集為（

）A． B． C． D．練習2．（2022秋·四川遂寧·高三遂寧中學?？计谥校┤艉瘮?shù)恒滿足對稱，則實數(shù)m的取值為______練習3．（2022秋·江蘇宿遷·高三校考階段練習）（多選）二次函數(shù)的圖像恒在軸上方的一個必要條件是（

）A． B． C． D．練習4．（2020秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習）已知，且是方程的兩根，則大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．練習5．（2022秋·安徽合肥·高三中國科技大學附屬中學校考階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．6 C． D．3題型二 二次函數(shù)的單調(diào)性例3．（2021秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例4．（2022秋·江西宜春·高一校考階段練習）設(shè)是定義在上偶函數(shù)，則在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減函數(shù) D．與，有關(guān)，不能確定練習6．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為__．練習7．（2022秋·海南·高三嘉積中學?？计谥校┮阎谏蠟闇p函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高級中學?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．練習9．（2022秋·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．是上的偶函數(shù) B．是上的偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．當時，的最大值是4練習10．（2023春·廣西南寧·高三校考開學考試）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______；題型三 二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題例5．（2022·高三單元測試）已知函數(shù)R)．當時，設(shè)的最大值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．求的解析式；練習11．（2023秋·河北承德·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最大值為0，關(guān)于的不等式的解集為，則______，的值為______.練習12．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知函數(shù)則（

）A．為偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的最大值為 D．的最小值為練習13．（2021秋·廣東云浮·高三統(tǒng)考期末）（多選）若函數(shù)滿足，，則（

）A． B．C．圖像的對稱軸是直線 D．的最小值為練習14．（2023秋·江蘇淮安·高三淮陰中學?？计谀┮阎瘮?shù)的值域為，則函數(shù)定義域可能為（

）A． B． C． D．練習15．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當取最小值時，（

）A．0 B．1 C． D．題型四 二次函數(shù)恒成立問題例7．（2019秋·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）若命題“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例8．（2022秋·廣東廣州·高三廣東實驗中學越秀學校?？计谥校┮阎}“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習16．（2023·全國·高三專題練習）p：，為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．練習17．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習）“，”是真命題，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．練習18．（2023秋·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）命題p：，的否定為___________；使命題p成立的一個x的值為___________．練習19．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）若命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習20．（2023·全國·高三專題練習）若“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______．題型五 冪函數(shù)的定義例9．（2021秋·高三課時練習）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例10．（2023春·遼寧本溪·高三?？茧A段練習）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或練習21．（2022秋·高三單元測試）（多選）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實數(shù)的可能性取值為（

）A．1 B．-2 C．3 D．-4練習22．（2023春·湖北宜昌·高三校聯(lián)考期中）已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．練習23．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，且，則的取值范圍是______.練習24．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為___________．練習25．（2022秋·黑龍江大慶·高三大慶中學?？计谥校┖瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C．或 D．或題型六 判斷冪函數(shù)的圖象例11．（2023·山東臨沂·高三校考期末）下面給出4個冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對應的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④例12．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考期末）（多選）下列關(guān)于冪函數(shù)說法不正確的是（

）A．一定是單調(diào)函數(shù) B．可能是非奇非偶函數(shù)C．圖像必過點 D．圖像不會位于第三象限練習26．（2019·全國·高三專題練習）對于函數(shù)y＝x2，y＝x有下列說法：①兩個函數(shù)都是冪函數(shù)；②兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；③它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱；④兩個函數(shù)都是偶函數(shù)；⑤兩個函數(shù)都經(jīng)過點(0,0)、(1,1)；⑥兩個函數(shù)的圖像都是拋物線型．其中正確的有________．練習27．（2023秋·上海徐匯·高三統(tǒng)考期末）當時，函數(shù)的圖象恒過定點A，則點A的坐標為________．練習28．（2021秋·青?！じ叨y(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，①②③④為選項中的四個冪函數(shù)的圖象，其中①對應的冪函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．練習29．（2022春·浙江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）（多選）圖象經(jīng)過第三象限的函數(shù)是（

）A． B． C． D．練習30．（2021秋·新疆巴音郭楞·高三?？茧A段練習）（多選）下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則解析式為B．所有冪函數(shù)的圖象均過點C．冪函數(shù)一定具有奇偶性D．任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限題型七 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例13．（2021春·陜西延安·高二?？计谀┮阎?，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．例14．（2023·浙江·高三專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．練習31．（2021秋·上海黃浦·高三上海市大同中學?？计谥校┤簦瑒t下列不等關(guān)系中，不能成立的是（

）A． B． C． D．練習32．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高三校考階段練習）若，則下列不等式①，②，③，④中，正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個練習33．（2022秋·廣東佛山·高三佛山市榮山中學?？计谥校ǘ噙x）若，則（

）A． B． C． D．練習34．（2022秋·福建龍巖·高三上杭一中?？计谀┰O(shè)，，，則（

）A． B． C． D．練習35．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．題型八 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例15．（2022秋·廣東河源·高三校考階段練習）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的值為______.例16．（2023秋·遼寧鞍山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷練習36．（2023春·湖北孝感·高三統(tǒng)考開學考試）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上是嚴格減函數(shù)，則取值的集合是______．練習37．（2022秋·上海長寧·高三上海市延安中學?？计谀﹥绾瘮?shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，則__________．練習38．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)的值為______．練習39．（2023秋·四川內(nèi)江·高三統(tǒng)考期末）已知在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍為______.練習40．（2023秋·廣東深圳·高三?？计谀啊笔恰昂瘮?shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型九 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式例17．已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.例18．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達式的解集為__________.練習41．（2015·吉林·高一吉林毓文中學校考期中）對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意且，給出下列結(jié)論：（1）（2）（3）（4）其中正確結(jié)論為：__．練習42．（2020秋·北京豐臺·高三統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的解析式為____________；不等式的解集為____________.練習43．（2022秋·湖南郴州·高三安仁縣第一中學校考階段練習）若，則的取值范圍是__________．練習44．（2023春·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？奸_學考試）已知冪函數(shù)經(jīng)過點，則不等式的解集為___________．練習45．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.

專題3.4二次函數(shù)與冪函數(shù)題型一二次函數(shù)的圖象題型二二次函數(shù)的單調(diào)性題型三二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題題型四二次函數(shù)恒成立問題題型五冪函數(shù)的定義題型六判斷冪函數(shù)的圖象題型七根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小題型八根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型九根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式題型一 二次函數(shù)的圖象例1．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習）已知a，b，c成等比數(shù)列，則二次函數(shù)的圖像與x軸的交點個數(shù)是___________.【答案】1【分析】根據(jù)題意有，再借助二次函數(shù)的判別式判斷交點個數(shù)【詳解】a，b，c成等比數(shù)列,則，，則二次函數(shù)的圖像與x軸有1個交點，故答案為：1.例2．（2021秋·上海徐匯·高三上海市第二中學?？茧A段練習）二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是____．（1）異號；（2）當和時，函數(shù)值相等；（3）；（4）當時，的取值只能為0.【答案】3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到對稱軸即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】根據(jù)圖象可知：是二次函數(shù)與的兩個交點，所以可得對稱軸方程為，故對稱軸為，故異號且，（1）（3）正確；因為對稱軸為，故當和時，函數(shù)值相等，當時，的取值為0和4，故（2）正確，（4）錯誤；故正確的個數(shù)是3.故答案為：3.練習1．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習）若二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一元二次不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像求得，進而求得一元二次不等式的解集.【詳解】由圖像可得當時，，所以二次函數(shù)，由于二次函數(shù)圖像過點，所以，解得，所以一元二次不等式，即的解集為.故選：C練習2．（2022秋·四川遂寧·高三遂寧中學?？计谥校┤艉瘮?shù)恒滿足對稱，則實數(shù)m的取值為______【答案】【詳解】根據(jù)確定函數(shù)圖象的對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)對稱軸方程即可求得答案.函數(shù)恒滿足對稱，則圖象關(guān)于直線對稱，則，故答案為：練習3．（2022秋·江蘇宿遷·高三校考階段練習）（多選）二次函數(shù)的圖像恒在軸上方的一個必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由二次函數(shù)圖象性質(zhì)得出圖像恒在軸上方的充要條件，再根據(jù)必要條件定義即可求.【詳解】二次函數(shù)的圖像恒在軸上方的充要條件為，又，所以必要條件為、.故選：BD練習4．（2020秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習）已知，且是方程的兩根，則大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可得答案.【詳解】，由題意得，，而，借助圖象可知，的大小關(guān)系可能是，故選：D.練習5．（2022秋·安徽合肥·高三中國科技大學附屬中學校考階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．6 C． D．3【答案】C【分析】由圖可得方程的兩根為2和4，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合列式求得的值，則答案可求.【詳解】由直線，，知，又由二次函數(shù)的對稱性和圖象知頂點為，所以，解得，由得，，則．故選：C.題型二 二次函數(shù)的單調(diào)性例3．（2021秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分、兩種情況討論，在時，直接驗證即可；在時，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，合乎題意；當時，則二次函數(shù)圖象的對稱軸方程為，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.例4．（2022秋·江西宜春·高一?？茧A段練習）設(shè)是定義在上偶函數(shù)，則在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減函數(shù) D．與，有關(guān)，不能確定【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的特點解出，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】是定義在上偶函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點對稱，即，∴，則，由，即，解得，∴，函數(shù)圖像拋物線開口向下，對稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．故選：B．練習6．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為__．【答案】【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合條件，可知，然后求出的取值范圍即可.【詳解】易知二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，即，解得.故答案為：.練習7．（2022秋·海南·高三嘉積中學?？计谥校┮阎谏蠟闇p函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由在上遞減，要使在R上遞減，所以，可得.故選：B練習8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高級中學校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得或，解出即可得出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】函數(shù)的對稱軸為.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則應有，所以；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則應有，所以.綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是或.故選：C.練習9．（2022秋·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．是上的偶函數(shù) B．是上的偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．當時，的最大值是4【答案】BCD【分析】由條件求出函數(shù)的解析式，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷C，求函數(shù)在上的值域，判斷D，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性.【詳解】因為，將變換為可得，因為，，，所以函數(shù)不是上的偶函數(shù)，A錯誤；因為，由二次函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；由，可得，所以，所以當時，，所以函數(shù)在上的最大值是4，D正確，設(shè)，則，所以，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，B正確；故選：BCD.練習10．（2023春·廣西南寧·高三校考開學考試）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______；【答案】【分析】先求解原函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性分析求解即可.【詳解】解：令，則可以看作是由與復合而成的函數(shù).令，得或.易知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，而在上是增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.題型三 二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題例5．（2022·高三單元測試）已知函數(shù)R)．當時，設(shè)的最大值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)在上遞增，在上遞減，討論m與區(qū)間的位置關(guān)系求的最大值，進而判斷最大值的最小值.【詳解】由，故在上遞增，在上遞減，當，則上遞減，故最大值，當，則最大值，當，則上遞增，故最大值，綜上，的最小值為.故選：C例6．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．求的解析式；【答案】【分析】首先求函數(shù)的對稱軸，再討論對稱軸和定義域端點的關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】當，即時，在區(qū)間上為增函數(shù)，當，即時，；當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，綜上所述，.練習11．（2023秋·河北承德·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最大值為0，關(guān)于的不等式的解集為，則______，的值為______.【答案】【分析】由題知，根據(jù)二次函數(shù)在對稱軸處取得最大值即可化簡求出；根據(jù)不等式的解集為，可得的解集為，然后利用韋達定理表示出，再利用即可出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的最大值為0，所以當時，函數(shù)有最大值，即，化簡得出.不等式的解集為，即的解集為，設(shè)方程的兩根為，則，所以，即，即，所以.故答案為：；.練習12．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知函數(shù)則（

）A．為偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】作出在區(qū)間上的圖象逐項判斷.【詳解】解：作出在區(qū)間上的大致圖象如圖所示：的定義域不關(guān)于原點對稱，不是偶函數(shù)，故A錯誤；由圖象可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；當或時，，當時，，故正確.故選：BCD練習13．（2021秋·廣東云浮·高三統(tǒng)考期末）（多選）若函數(shù)滿足，，則（

）A． B．C．圖像的對稱軸是直線 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)已知求出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷得解.【詳解】由題得，即，解得，所以.對于A項，因為，故A正確；對于B項，因為，故B正確；對于C項，因為的對稱軸為，故C項錯誤；對于D項，因為，所以的最小值為，故D項正確.故選：ABD.練習14．（2023秋·江蘇淮安·高三淮陰中學?？计谀┮阎瘮?shù)的值域為，則函數(shù)定義域可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用函數(shù)的奇偶性，以及單調(diào)性，分別判斷每個選項，可得答案.【詳解】由于為偶函數(shù)，其圖象如圖示：故當時，，則；當時，此時遞增，則；當時，此時遞減，，當時，，故函數(shù)的值域為，則函數(shù)定義域可能為，，故選：練習15．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當取最小值時，（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用基本不等式即得.【詳解】在上有最大值，且當時，的最大值為，即且，當且僅當時，即時，有最小值2，故選：A．題型四 二次函數(shù)恒成立問題例7．（2019秋·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）若命題“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，結(jié)合基本不等式求解最值即可得解.【詳解】若命題“，”是真命題，則，，即恒成立，，當且僅當時等號成立，∴，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C．【點睛】此題考查根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)的取值范圍，利用分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值求解范圍，需要注意等價變形.例8．（2022秋·廣東廣州·高三廣東實驗中學越秀學校?？计谥校┮阎}“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，分和兩種情況討論，結(jié)合參變量分離法可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，命題“，”是真命題.當時，則有，不合乎題意；當時，由，可得，則有，，當且僅當時，等號成立，所以，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.練習16．（2023·全國·高三專題練習）p：，為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)命題為真，結(jié)合不等式恒成立求參數(shù)a的范圍，再由充分、必要性的定義確定充分不必要條件.【詳解】由題設(shè)命題為真，即在上恒成立，所以，故A為充分不必要條件，B為充要條件，CD必要不充分條件.故選：A練習17．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）“，”是真命題，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意確定，根據(jù)全稱命題的真假，可得，即可求得答案.【詳解】由題意知，，故“，”是真命題，則，則，故選：A練習18．（2023秋·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）命題p：，的否定為___________；使命題p成立的一個x的值為___________．【答案】，【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗證時，命題p成立，即得第二空答案.【詳解】解：因為命題p：，，所以命題p：，；當時，成立，所以命題p成立的一個x的值為1.故答案為：，，1.練習19．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）若命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，寫出全稱命題的否定，根據(jù)其真假性以及一元二次方程的性質(zhì)，可得答案.【詳解】命題“”為假命題，”是真命題，方程有實數(shù)根，則，解得，故選：A.練習20．（2023·全國·高三專題練習）若“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】求出給定命題的否定，再由所得命題為真命題，求解作答.【詳解】命題“，”的否定是：，，依題意，命題“，”為真命題，當時，成立，則，當時，不等式恒成立，則，解得，綜上得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型五 冪函數(shù)的定義例9．（2021秋·高三課時練習）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知：是冪函數(shù)，，和的系數(shù)不為1，故不是冪函數(shù)，故選：D例10．（2023春·遼寧本溪·高三?？茧A段練習）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，由，得或，當時，，滿足題意；當時，足，不符合題意.綜上.故選：A.練習21．（2022秋·高三單元測試）（多選）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實數(shù)的可能性取值為（

）A．1 B．-2 C．3 D．-4【答案】AD【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義得到方程，求出實數(shù)，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當時，，當時，，均滿足要求.故選：AD練習22．（2023春·湖北宜昌·高三校聯(lián)考期中）已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出a，將已知點的坐標代入解析式即可求解.【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，即點在冪函數(shù)的圖象上，2，即，故.故選：D.練習23．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，且，則的取值范圍是______.【答案】【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點代入求出的值，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，，因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以，的定義域為，且在上單調(diào)遞減，因為，所以，解得，故答案為：練習24．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為___________．【答案】【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點計算，從而得函數(shù)解析式，再代入計算即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由題意，，解得，所以冪函數(shù)解析式為，所以.故答案為：練習25．（2022秋·黑龍江大慶·高三大慶中學?？计谥校┖瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)得出解析式，再求函數(shù)值.【詳解】由題意可知，，解得，.故選：B題型六 判斷冪函數(shù)的圖象例11．（2023·山東臨沂·高三?？计谀┫旅娼o出4個冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對應的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖像特征，對照四個選項一一驗證，即可得到答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且定義域為R，該函數(shù)圖像應與①對應；函數(shù)，且該函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，該函數(shù)圖像應與②對應；的定義域、值域都是，該函數(shù)圖像應與③對應；，其圖像應與④對應．故選：A．例12．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考期末）（多選）下列關(guān)于冪函數(shù)說法不正確的是（

）A．一定是單調(diào)函數(shù) B．可能是非奇非偶函數(shù)C．圖像必過點 D．圖像不會位于第三象限【答案】AD【分析】根據(jù)冪函數(shù)隨著變化的圖像與性質(zhì)，即可判斷正誤.【詳解】冪函數(shù)的解析式為.當時，，此函數(shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，則都是單調(diào)函數(shù)不成立，A選項錯誤；當時，，定義域為，此函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，定義域為，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以可能是非奇非偶函數(shù)，B選項正確；當時，無論取何值，都有，圖像必過點，C選項正確；當時，圖像經(jīng)過一三象限，D選項錯誤.故選：AD.練習26．（2019·全國·高三專題練習）對于函數(shù)y＝x2，y＝x有下列說法：①兩個函數(shù)都是冪函數(shù)；②兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；③它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱；④兩個函數(shù)都是偶函數(shù)；⑤兩個函數(shù)都經(jīng)過點(0,0)、(1,1)；⑥兩個函數(shù)的圖像都是拋物線型．其中正確的有________．【答案】①②⑤⑥【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)可以得到①②⑤⑥都是正確的，因為的函數(shù)圖像關(guān)于對稱后得到的圖形的方程是，所以該圖形不是函數(shù)的圖像，而且也不是偶函數(shù)，故可得正確結(jié)論的序號．【詳解】冪函數(shù)的一般的形式是，故和都是冪函數(shù)，且它們在是增函數(shù)，所以①②正確．的圖像關(guān)于對稱后的圖形不是函數(shù)的圖像，故③錯．的定義域為，故該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故④錯．當時，，當時，所以兩個函數(shù)的圖像都經(jīng)過，故⑤正確．從圖像的形狀上看，的圖像是拋物線的一部分，故而⑥正確，所以填①②⑤⑥．【點睛】研究冪函數(shù)的性質(zhì)，一般是先研究其在上的性質(zhì)，然后利用函數(shù)的奇偶性討論其在上的性質(zhì)．注意當時，在是減函數(shù)，當時，在是增函數(shù)．練習27．（2023秋·上海徐匯·高三統(tǒng)考期末）當時，函數(shù)的圖象恒過定點A，則點A的坐標為________．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)恒過定點即可求解.【詳解】由于對任意的，恒經(jīng)過點，所以函數(shù)的圖象恒過定點,故答案為：練習28．（2021秋·青?！じ叨y(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，①②③④為選項中的四個冪函數(shù)的圖象，其中①對應的冪函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由冪函數(shù)的圖像性質(zhì)可得①對應的冪函數(shù)可能是.【詳解】由冪函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，選項中的四個冪函數(shù)的圖象①②③④分別對應的解析式依次為：，，，.則其中①對應的冪函數(shù)可能是.故選：B練習29．（2022春·浙江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）（多選）圖象經(jīng)過第三象限的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合常見的冪函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】由冪函數(shù)的圖象可知，A中，過第一、二象限；B中，過第一、三象限；C中，且定義域為R，過第一、二象限；D中，過第一、三象限.故選：BD練習30．（2021秋·新疆巴音郭楞·高三?？茧A段練習）（多選）下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則解析式為B．所有冪函數(shù)的圖象均過點C．冪函數(shù)一定具有奇偶性D．任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限【答案】AD【解析】根據(jù)冪函數(shù)的解析式，研究冪函數(shù)的性質(zhì)，依次分析，得到結(jié)果.【詳解】若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為，所以A正確；函數(shù)的圖象不經(jīng)過點，所以B不正確；為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，所以冪函數(shù)不一定具有奇偶性，所以C不正確；因為對于冪函數(shù)，當時，一定成立，所以任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限，所以D正確；故選：AD.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關(guān)冪函數(shù)的問題，解題方法如下：（1）明確冪函數(shù)的解析式的形式，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，對命題判斷正誤；（2）明確隨著冪指數(shù)的變化，圖象走向以及函數(shù)的定義域要明確，進而清楚函數(shù)的奇偶性以及圖象所過的象限，從而判斷命題的正誤.題型七 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例13．（2021春·陜西延安·高二?？计谀┮阎铝胁坏仁揭欢ǔ闪⒌氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】若，則，A錯誤；因為，所以，所以，B錯誤；若，則，C錯誤；因為冪函數(shù)在單調(diào)遞增，所以時一定有，D正確，故選:D.例14．（2023·浙江·高三專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中間值比較a,b的大小，再讓b，c與中間值比較，判斷b,c的大小，即可得解.【詳解】，又因為通過計算知，所以，即，又，所以，所以.故選：B練習31．（2021秋·上海黃浦·高三上海市大同中學校考期中）若，則下列不等關(guān)系中，不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用作差法可判斷AD;舉反練習可判斷B;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C【詳解】對于選項：因為，則，所以，故選項正確；對于選項：取，滿足，但，故選項錯誤；對于選項：因為函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以時，，故選項正確；對于選項：因為，所以，故選項正確．故選：．練習32．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高三?？茧A段練習）若，則下列不等式①，②，③，④中，正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由判斷出①正確；結(jié)合的單調(diào)性得到②錯誤；作差法得出③正確；由的單調(diào)性得到④錯誤.【詳解】因為，所以，故，①正確；因為在R上單調(diào)遞增，且，所以，②錯誤；因為，所以，且，故，③正確；當時，在上單調(diào)遞減，所以，④錯誤.故選：B練習33．（2022秋·廣東佛山·高三佛山市榮山中學?？计谥校ǘ噙x）若，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)一一判定即可.【詳解】對于A項，由在上單調(diào)遞增可得時，即A正確；對于B項，因為，所以，即B正確；對于C項，由于的正負不確定，故時有，即C錯誤；對于D項，若時，此時D錯誤.故選：AB練習34．（2022秋·福建龍巖·高三上杭一中?？计谀┰O(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由指數(shù)運算得出，再由冪函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因為，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：B練習35．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式以及單調(diào)性的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、構(gòu)造函數(shù)研究自變量大小關(guān)系即可．【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；構(gòu)造，易知在單調(diào)遞增，且，，，所以，故，又因為在上遞增，所以.故選：D.題型八 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例15．（2022秋·廣東河源·高三?？茧A段練習）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的值為______.【答案】1【詳解】利用冪函數(shù)的定義求出實數(shù)m，然后利用單調(diào)性進行取舍【分析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以實數(shù)m的值為1.故答案為：1例16．（2023秋·遼寧鞍山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】A【分析】確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)冪函數(shù)得到或，驗證單調(diào)性得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】對任意的，且，滿足，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，是冪函數(shù)，可得，解得或，當時，；當時，，不滿足單調(diào)性，排除，故，．，，故恒成立．故選：A練習36．（2023春·湖北孝感·高三統(tǒng)考開學考試）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上是嚴格減函數(shù)，則取值的集合是______．【答案】【分析】由冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，得到是奇數(shù)，且，由此能求出的值．【詳解】∵，冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，∴是奇數(shù)，且，∴．故答案為：練習37．（2022秋·上海長寧·高三上海市延安中學校考期末）冪函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及其圖像與性質(zhì)，求的值即可.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當時，，滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴格減函數(shù)，當時，，不滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴格減函數(shù)，所以.故答案為：2.練習38．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)的值為______．【答案】1【分析】先由冪函數(shù)的定義可得，求出的值，再由在上是增函數(shù)，可得答案.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，又因為在上是增函數(shù)，所以，所以.故