（圓夢高考數(shù)學）專題9.2 圓的方程（含答案及解析）

專題9.2圓的方程題型一求圓的方程題型二二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系題型三點與圓的位置關(guān)系題型四圓的對稱的應(yīng)用題型五直線與圓的位置關(guān)系題型六圓與圓的位置關(guān)系題型七圓的（公共）弦長問題題型八圓的（公）切線與切線長題型九距離的最值問題題型一 求圓的方程例1．（2022選修第一冊北京名校同步練習冊）圓的半徑為（

）A．2 B．4 C．8 D．16例2．（2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題）已知圓過點，，，則圓的方程為___．練習1．（2022·高三單元測試）已知為圓的直徑，點的坐標為，則點的坐標為______．練習2．（2021春·河北·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）若圓C：的半徑為1，則實數(shù)（

）A． B． C． D．練習3．（2023·全國·高三對口高考）經(jīng)過三點的圓的方程為________．練習4．（2022秋·高三?？颊n時練習）已知圓心的坐標為（2，-3），一條直徑的兩個端點恰好在兩個坐標軸上，則這個圓的一般方程為________.練習5．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．(1)求直線的方程；(2)求圓的標準方程．題型二 二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系例3．（2022-2023學年高二同步練習）設(shè)方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及圓心的軌跡方程.例4．（2023屆甘肅省定西市高三下學期高考模擬考試文科數(shù)學試題）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習6．（2023秋·甘肅天水·高三統(tǒng)考期末）若方程表示圓，則的取值范圍是________．練習7．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件練習8．（2022秋·江蘇揚州·高三?？茧A段練習）已知點為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．練習9．（2022秋·河南許昌·高三禹州市高級中學?？茧A段練習）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．練習10．（2022秋·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）方程表示的幾何圖形是（

）A．一點和一圓 B．兩點 C．一圓 D．兩圓題型三 點與圓的位置關(guān)系例5．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知圓的方程為，以下各點在圓內(nèi)的是（

）A． B． C． D．例6．（2022秋·高二校考課時練習）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．練習11．（2023·高三課時練習）直線與的交點在曲線上，則______．練習12．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考期中）若不同的四點共圓，則實數(shù)__________．練習13．（2022秋·高三單元測試）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不確定練習14．（2023·全國·高三專題練習）點與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不能確定練習15．（2023·浙江·高三專題練習）（多選）已知圓的方程為，對任意的，該圓（

）A．圓心在一條直線上 B．與坐標軸相切C．與直線不相交 D．不過點題型四 圓的對稱的應(yīng)用例7．（2022-2023學年廣東省深圳中學高三上學期期中數(shù)學試題）已知圓關(guān)于直線對稱，為圓C上一點，則的最大值為__________．例8．（2023屆江西省新八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．練習16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀ǘ噙x）已知圓，則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱練習17．（2022·全國·高二專題練習）若圓關(guān)于直線和直線都對稱，則D＋E的值為_________．練習18．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知A，B是圓的一條直徑上的兩個端點，則（）A．0 B．19 C． D．1練習19．（2022秋·廣東廣州·高三?？计谀┮阎獔A關(guān)于直線對稱，則___________.練習20．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）點M、N在圓上，且M、N兩點關(guān)于直線對稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為題型五 直線與圓的位置關(guān)系例9．（2023屆北京名校高三一輪總復(fù)習）若直線與圓相交，則點（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能例10．（2022北京名校同步練習冊）為圓內(nèi)異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交練習21．（2023春·北京海淀·高三北理工附中?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定練習22．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的取值范圍______________．練習23．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍為__________.練習24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則的真子集個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習25．（2023·江蘇南通·三模）（多選）直線與圓交于兩點，為圓上任意一點，則(

).A．線段最短長度為 B．的面積最大值為C．無論為何值，與圓相交 D．不存在，使取得最大值題型六 圓與圓的位置關(guān)系例11．（2022北京名校同步練習冊）當為何值時，兩圓和.(1)外切；(2)相交；(3)外離.例12．（2022屆深圳中學高三下學期）已知圓C過點且與圓切于點，則圓C的方程為__________.練習26．（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為__________.練習27．（2023秋·高三課時練習）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或練習28．（2022秋·貴州遵義·高三習水縣第五中學校聯(lián)考期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習29．（2023春·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切練習30．（2023·全國·高三對口高考）已知動圓P過點，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為______.題型七 圓的（公共）弦長問題例13．（2023屆安徽省定遠中學高三下學期考前押題數(shù)學試卷）已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．例14．（2023屆東莞定遠中學高三下學期）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（

）A．B．C．或D．或練習31．（2023·廣東深圳·校考二模）過點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為___________.練習32．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為___________.練習33．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為______．練習34．（2023·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學?？既＃ǘ噙x）已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長為D．若分別是圓上的動點，則練習35．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓與圓交于A，B兩點，若直線AB的傾斜角為，則___________．題型八 圓的（公）切線與切線長例15．（2023屆四川省成都市樹德中學高三適應(yīng)性考試文科數(shù)學試題）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．5例16．（2023屆北京市師大附屬中學高三適應(yīng)性練習數(shù)學試題）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2練習36．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則______.練習37．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB方程是________.練習38．（2023春·貴州·高三遵義一中校聯(lián)考階段練習）已知圓，點A是直線上的一個動點，過點A作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點__________.練習39．（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.練習40．（2023秋·高三課時練習）在直角坐標系中，以原點O為圓心的圓與直線相切(1)求圓O的方程；(2)若已知點，過點P作圓O的切線，求切線的方程．題型九 距離的最值問題例17．（2023屆廣西邕衡金卷高三第三次適應(yīng)性考試數(shù)學（理）試題）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（

）A． B． C． D．例18．（2022-2023學年陜西省西安市長安區(qū)第一中學高三上學期期末文科數(shù)學試題）已知直線與圓，則圓上的點到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．練習41．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最大值為______.練習42．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預(yù)測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是___________.練習43．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預(yù)測）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為______．練習44．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學校考階段練習）已知圓，過直線上一點向圓作切線，切點為，則的面積最小值為（

）A．3 B． C． D．練習45．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習）已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．

專題9.2圓的方程題型一求圓的方程題型二二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系題型三點與圓的位置關(guān)系題型四圓的對稱的應(yīng)用題型五直線與圓的位置關(guān)系題型六圓與圓的位置關(guān)系題型七圓的（公共）弦長問題題型八圓的（公）切線與切線長題型九距離的最值問題題型一 求圓的方程例1．（2022選修第一冊北京名校同步練習冊）圓的半徑為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】將圓的方程配成標準式，即可判斷.【詳解】圓，即，所以半徑.故選：B例2．（2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題）已知圓過點，，，則圓的方程為___．【答案】【分析】設(shè)圓的一般方程，然后將點代入組成方程組解出即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為又由圓過點，，，則有，解可得，，，即圓的方程為：，故答案為：.練習1．（2022·高三單元測試）已知為圓的直徑，點的坐標為，則點的坐標為______．【答案】【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標，設(shè)，再利用中點坐標公式得到方程組，解得即可.【詳解】解：圓即，所以圓心坐標為，設(shè)，又因為，所以由中點坐標公式得，解得，所以點的坐標為．故答案為：練習2．（2021春·河北·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）若圓C：的半徑為1，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標準方程即可求解.【詳解】由，得，所以圓C的圓心為，半徑為，因為圓C：的半徑為1，所以，解得，故實數(shù).故選：D.練習3．（2023·全國·高三對口高考）經(jīng)過三點的圓的方程為________．【答案】【分析】設(shè)圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，∴圓的方程為：.故答案為：練習4．（2022秋·高三?？颊n時練習）已知圓心的坐標為（2，-3），一條直徑的兩個端點恰好在兩個坐標軸上，則這個圓的一般方程為________.【答案】x2+y2-4x+6y=0【分析】依題意可判斷出圓恰好過原點，從而可求出圓的半徑，圓的標準方程，再化為一般方程即可.【詳解】因為直徑所對的圓周角是直角，所以圓恰好過原點，故半徑為，所以圓的標準方程為，化為一般方程為x2+y2-4x+6y=0.故答案為：x2+y2-4x+6y=0練習5．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．(1)求直線的方程；(2)求圓的標準方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)，代入得出直線的方程；（2）設(shè)圓心，根據(jù)得出圓的標準方程.【詳解】（1）由題設(shè)，代入得，于是的方程為.（2）設(shè)圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標準方程為.題型二 二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系例3．（2022-2023學年高二同步練習）設(shè)方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及圓心的軌跡方程.【答案】，.【分析】將方程配方，利用圓的方程建立不等式，即可求出實數(shù)m的取值范圍；然后根據(jù)圓的圓心坐標，再消去參數(shù)，根據(jù)實數(shù)m的取值范圍，可求得圓心的軌跡方程．【詳解】配方得，若該方程表示圓，則有，得.由標準方程知圓心的軌跡方程為，消去m，得.由，得.故所求的軌跡方程是，.例4．（2023屆甘肅省定西市高三下學期高考模擬考試文科數(shù)學試題）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圓的條件和點和圓的位置關(guān)系進行計算.【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點在圓的外部可知：，得.故.故選：C練習6．（2023秋·甘肅天水·高三統(tǒng)考期末）若方程表示圓，則的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)圓的一般方程的形式，列出關(guān)于不等式，即可求解.【詳解】由方程表示圓，則滿足，整理得，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.練習7．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.【詳解】，即，∴曲線是圓，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：A.練習8．（2022秋·江蘇揚州·高三?？茧A段練習）已知點為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合點在圓外條件，及表示圓的方程可得答案.【詳解】因在圓外，則，得.又表示圓，則，得.綜上：.故選：D練習9．（2022秋·河南許昌·高三禹州市高級中學校考階段練習）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【分析】先把整理成圓的標準形式，滿足右邊關(guān)于的表達式大于零.【詳解】由，可得，所以，解得或，選項中只有符合題意.故選：D.練習10．（2022秋·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）方程表示的幾何圖形是（

）A．一點和一圓 B．兩點 C．一圓 D．兩圓【答案】A【分析】分，討論，結(jié)合條件及圓的方程即得.【詳解】由可得，當時，，即表示以為圓心，以為半徑的圓，當時，，即，表示點，綜上，方程表示的幾何圖形是一點和一圓.故選：A.題型三 點與圓的位置關(guān)系例5．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知圓的方程為，以下各點在圓內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用代入驗證法確定正確答案.【詳解】，A選項正確.，B選項錯誤，，C選項正確.，D選項錯誤.故選：AC例6．（2022秋·高二?？颊n時練習）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將點的坐標代入圓的方程計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D練習11．（2023·高三課時練習）直線與的交點在曲線上，則______．【答案】【分析】先聯(lián)立方程求出兩直線的交點坐標，再代入曲線的方程進行求解.【詳解】聯(lián)立，得，即直線與的交點為，因為兩直線的交點在曲線上，所以，解得.故答案為：.練習12．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考期中）若不同的四點共圓，則實數(shù)__________．【答案】-1或5【分析】先由A、B、C三點確定其外接圓，再計算即可.【詳解】易知圓心在線段的垂直平分線上，該直線方程為，設(shè)圓心坐標為，半徑為，所以，解得，所以所求圓的方程為，點在圓上，所以，解得或．故答案為：-1或5練習13．（2022秋·高三單元測試）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不確定【答案】A【分析】易得直線過定點，判斷出點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】由直線，得，令，則，所以直線過定點，因為，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.練習14．（2023·全國·高三專題練習）點與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】由點到原點距離與圓半徑大小比較，即可判斷點、圓位置關(guān)系.【詳解】因為，所以點在圓外．故選：C練習15．（2023·浙江·高三專題練習）（多選）已知圓的方程為，對任意的，該圓（

）A．圓心在一條直線上 B．與坐標軸相切C．與直線不相交 D．不過點【答案】ABC【分析】對A：顯然圓心在上；對B：用圓心到坐標軸的距離判斷；對C：用圓心到直線的距離判斷；對D：將點代入圓方程看是否有解.【詳解】對于：顯然圓心在故A對；對于B：圓心到坐標軸的距離均為，等于圓的半徑，故該圓與坐標軸相切，B正確；對于C：圓心到直線距離，故相離，C對；對于D：將點代入圓方程得，顯然，故有解，所以可能過點錯；故選：ABC．題型四 圓的對稱的應(yīng)用例7．（2022-2023學年廣東省深圳中學高三上學期期中數(shù)學試題）已知圓關(guān)于直線對稱，為圓C上一點，則的最大值為__________．【答案】20【分析】由圓關(guān)于直線對稱列方程求，由此確定圓的圓心坐標和半徑，設(shè)，由直線與圓有公共點，列不等式求的范圍及最大值.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以，所以，令，則，所以，所以，所以的最大值為20，故答案為：20.例8．（2023屆江西省新八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用特殊值“1”將化成積為定值的形式，再用基本不等式即可求解.【詳解】解：由題意可知，圓心在直線上，則，又因為，，所以，當且僅當且即，時取等號，此時取得最小值．故選：D．練習16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀ǘ噙x）已知圓，則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】ABC【分析】求得圓心，結(jié)合對稱性確定正確答案.【詳解】圓即，所以圓心為，A選項，為圓心，所以圓關(guān)于點對稱，A正確.直線，直線過圓心，所以圓關(guān)于直線、直線對稱，BC選項正確.直線不過圓心，所以D選項錯誤.故選：ABC練習17．（2022·全國·高二專題練習）若圓關(guān)于直線和直線都對稱，則D＋E的值為_________．【答案】4【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線和直線都對稱，由圓心在直線上，也在直線上求解.【詳解】圓的圓心為，因為圓關(guān)于直線和直線都對稱，所以圓心在直線上，也在直線上，所以，解得，所以，故答案為：4練習18．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知A，B是圓的一條直徑上的兩個端點，則（）A．0 B．19 C． D．1【答案】B【分析】設(shè)，則，利用數(shù)量積公式以及圓的方程得出答案.【詳解】圓心坐標為，設(shè)，則，.故選：B練習19．（2022秋·廣東廣州·高三校考期末）已知圓關(guān)于直線對稱，則___________.【答案】/【分析】由圓的方程可確定圓心，根據(jù)直線過圓心可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓方程知：圓心；圓關(guān)于直線對稱，直線過圓的圓心，，解得：.故答案為：.練習20．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）點M、N在圓上，且M、N兩點關(guān)于直線對稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得出圓心坐標和半徑的表達式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，所以圓心為，半徑為，由題意可得直線經(jīng)過圓心，故有，即，所以半徑為，當時，圓C的半徑的最小值為.故選：C.題型五 直線與圓的位置關(guān)系例9．（2023屆北京名校高三一輪總復(fù)習）若直線與圓相交，則點（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】B【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：，即，據(jù)此可得：點與圓的位置關(guān)系是點在圓外.故選：B.例10．（2022北京名校同步練習冊）為圓內(nèi)異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【答案】C【分析】由題意可得，結(jié)合圓心到直線的距離判斷與半徑的大小關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意知為圓內(nèi)異于圓心的一點，則，而圓：的圓心到直線的距離為，故直線與該圓的位置關(guān)系為相離，故選：C練習21．（2023春·北京海淀·高三北理工附中?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】C【分析】求出直線恒過的定點，判斷定點與圓的位置關(guān)系.【詳解】由題知，圓心坐標，半徑，將直線化為點斜式得，知該直線過定點，又，故該定點在圓內(nèi)，所以該直線與圓必相交.故選：C練習22．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的取值范圍______________．【答案】【分析】令，利用圓心到直線距離小于等于半徑可解.【詳解】將化為，表示以為圓心，為半徑的圓，令，即，由題可知，直線和圓有公共點，所以，即，解得.即的取值范圍為.故答案為：練習23．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為圓上的點與定點之間的連線的斜率，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，且可得表示點與點連線的斜率，其中點為圓上的點，如圖所示，在直角中，可得，可得直線的斜率為；在直角中，可得，可得直線的斜率為，所以的范圍為.故答案為：.

練習24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則的真子集個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出再求真子集個數(shù)即可．【詳解】依題意表示直線與圓的交點的集合，則，所以的真子集個數(shù)為個．故選：C．練習25．（2023·江蘇南通·三模）（多選）直線與圓交于兩點，為圓上任意一點，則(

).A．線段最短長度為 B．的面積最大值為C．無論為何值，與圓相交 D．不存在，使取得最大值【答案】CD【分析】求出直線經(jīng)過的定點，也可知直線斜率一定存在，結(jié)合弦長的幾何求法可判斷A；結(jié)合三角形面積公式以及l(fā)的位置可判斷B；根據(jù)定點在圓內(nèi)可判斷C，結(jié)合圓周角和弧長之間的關(guān)系可判斷D.【詳解】由直線可知，該直線過定點,且直線斜率一定存在，當時，弦的弦心距最長，則長最短為，此時的斜率不存在，與題意矛盾，故A錯誤；的面積為,若的面積取到最大值，則為直角，由于,此時，與題意矛盾，B錯誤；由于直線過定點,在內(nèi)，故無論為何值，與圓相交，C正確；為圓上任意一點，假設(shè)當與x軸垂直時，如圖中虛線位置，此時劣弧最短，最大，但由于直線l斜率存在，故直線取不到圖中虛線位置，即不存在，使取得最大值，D正確，故選：CD題型六 圓與圓的位置關(guān)系例11．（2022北京名校同步練習冊）當為何值時，兩圓和.(1)外切；(2)相交；(3)外離.【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】（1）化兩圓的方程為標準方程，求得圓心坐標與半徑，再求出兩圓的圓心距，由列式，即可求解.（2）由列不等式組，即可求出的范圍.（3）由列不等式，即可求出的范圍.【詳解】（1）設(shè)圓，半徑為，得，圓心，.，半徑為，得，圓心，.圓心距，因為兩圓外切，則，所以，解得或.（2）因為兩圓相交，則，即，所以，解得或.（3）因為兩圓外離，則，即，所以，解得或.例12．（2022屆深圳中學高三下學期）已知圓C過點且與圓切于點，則圓C的方程為__________.【答案】【分析】根據(jù)條件求出圓心坐標和半徑，進而寫出圓的方程.【詳解】因為圓C過點且與圓切于點，可知圓C與的公切線為，且圓C過點，過點作切線的垂線，即為軸，可知圓心C在此垂線上，即圓心C在軸上，設(shè)圓C，又圓C過點，且圓C過點，由圓心到圓上任一點距離相等，且為半徑，所以，可得，從而半徑，所以圓C的方程為.故答案為：.練習26．（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為__________.【答案】【分析】由兩圓外切，兩圓心所在直線與圓中弦的垂直平分線交點即為，再求出半徑，即可得圓的方程.【詳解】如圖所示：過點和的直線方程為，以點和點為端點的線段的垂直平分線為.由得，則圓的半徑，所以圓的方程為.故答案為：練習27．（2023秋·高三課時練習）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】圓與圓相交，則圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，解不等式．【詳解】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B練習28．（2022秋·貴州遵義·高三習水縣第五中學校聯(lián)考期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為5；圓的圓心坐標為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.練習29．（2023春·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】先將兩圓化為標準方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定即可.【詳解】兩圓化為標準形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.練習30．（2023·全國·高三對口高考）已知動圓P過點，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為______.【答案】，【分析】設(shè)動圓的半徑為，則有，再由兩圓外切得到，進而得到，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】定圓的圓心為，與關(guān)于原點對稱，設(shè)動圓的半徑為，則有，因為與圓外切，所以，即，所以點的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，題型七 圓的（公共）弦長問題例13．（2023屆安徽省定遠中學高三下學期考前押題數(shù)學試卷）已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結(jié)合圓圓心與半徑表達式可得答案.【詳解】與兩式相減得，即公共弦所在直線方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長為，則有，解得或（舍），此時故選：.例14．（2023屆東莞定遠中學高三下學期）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓心位置以及與y軸相切可設(shè)出圓心坐標和半徑，再根據(jù)弦長為即可求得圓的方程.【詳解】由圓心在直線上，可設(shè)圓心坐標為，又因為與y軸相切，所以半徑，易知圓心到直線的距離為，根據(jù)直線被圓截得的弦長公式可得，直線被截得的弦長為，所以，解得；當時，該圓是以為圓心，為半徑的圓，圓方程為；當時，該圓是以為圓心，為半徑的圓，圓方程為.故選：C練習31．（2023·廣東深圳·?？级＃┻^點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為___________.【答案】【分析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，由弦長求出圓心到直線的距離，分析可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式求出，即可得解.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若弦長，則圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.故答案為：練習32．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為___________.【答案】12【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長公式確定弦長及圓心到直線得距離，即可求的面積.【詳解】圓：，得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因此，所以.故答案為：.練習33．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為______．【答案】【分析】兩式相減，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.【詳解】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：練習34．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學校考三模）（多選）已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長為D．若分別是圓上的動點，則【答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個數(shù)；如果兩圓相交，進行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長；兩圓上的點的最長距離為圓心距和兩半徑之和，逐項分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長為，故C錯誤；若分別是圓上的動點，則，故D正確.故選：BD練習35．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓與圓交于A，B兩點，若直線AB的傾斜角為，則___________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件兩圓方程作差可得直線方程，然后再求得圓心到直線的距離，再由勾股定理即可得到結(jié)果.【詳解】因為圓與圓交于A，B兩點，則兩圓方程相減可得，即直線方程為，又因為直線AB的傾斜角為，則斜率，又因為，即，則，所以直線方程為，圓心到直線的距離為，所以.故答案為：.題型八 圓的（公）切線與切線長例15．（2023屆四川省成都市樹德中學高三適應(yīng)性考試文科數(shù)學試題）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由條件可得，然后設(shè)，由三角函數(shù)的知識可得答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因為直線，與相切，所以，即，所以可設(shè)，所以，其中，故選：B例16．（2023屆北京市師大附屬中學高三適應(yīng)性練習數(shù)學試題）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先得出切線長的表達式，再以二次函數(shù)求值域的方法解之即可.【詳解】圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，則,當時，，故選：C練習36．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則______.【答案】/0.75【分析】由圓心到切線的距離等于半徑求解．【詳解】由題意圓心為，半徑為2，所以，解得．故答案為：．練習37．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB方程是________.【答案】【分析】求出以為直徑的圓的方程,將兩圓的方程相減,即可求解.【詳解】圓的圓心為,半徑為2，以為直徑的圓的方程為,將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程.故答案為:.練習38．（2023春·貴州·高三遵義一中校聯(lián)考階段練習）已知圓，點A是直線上的一個動點，過點A作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點__________.【答案】【分析】第一空，，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)推出，即可知當垂直于直線時，d最小，即可求得答案；第二空，設(shè)，表示出以為直徑的圓的方程，和圓的方程相減，可得直線的方程，分離參數(shù)，即可求得直線所過的定點坐標.【詳解】由題意過點A作圓的兩條切線，切點分別為，連接,則,設(shè)，則,故,當垂直于直線時，d最小，所以，所以；由于點A是直線上的一個動點，設(shè)點，線段的中點設(shè)為P，則，且，所以以線段為直徑為圓的方程為，即，將方程與作差可得，即直線的方程為，可得，由于,故，因此，直線恒過定點，故答案為：；練習39．（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】或或（三條中任寫一條即可）【分析】根據(jù)兩圓公切線的知識求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設(shè)，設(shè)兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫一條即可）練習40．（2023秋·高三課時練習）在直角坐標系中，以原點O為圓心的圓與直線相切(1)求圓O的方程；(2)若已知點，過點P作圓O的切線，求切線的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)圓與直線相切，可得圓心到直線的距離為半徑，即可求得半徑，可得答案