（圓夢高考數(shù)學）專題9.7 求軌跡方程（含答案及解析）

專題9.7求軌跡方程題型一直接法題型二定義法題型三相關點法題型四交軌法題型五參數(shù)法題型六點差法題型七利用韋達定理求軌跡方程題型一 直接法例1．（2022秋·高三課時練習）若動點到定點和直線：的距離相等，則動點的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．橢圓 D．拋物線例2．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側的點作，垂足為，且．

(1)求點的軌跡的方程；練習1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校c滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.練習2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）點到定點的距離與到的距離之比為，則點的軌跡方程為____，與連線的斜率分別為，，則的最小值為____.練習3．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知平面內點P與兩定點連線的斜率之積等于．(1)求點P的軌跡連同點所構成的曲線C的方程；練習4．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；練習5．（2022秋·高二課時練習）在直角坐標系xOy中，已知點，直線AM，BM交于點M，且直線AM與直線BM的斜率滿足：.(1)求點M的軌跡C的方程;題型二 定義法例3．（2023秋·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為__________．例4．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學?？寄M預測）如圖，在中，點.圓是的內切圓，且延長線交于點，若.(1)求點的軌跡的方程；練習6．（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程練習7．（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；練習8．（2023·上海·華師大二附中?？寄M預測）已知平面上的點滿足，則__________.練習9．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）（多選）設，圓（為圓心），為圓上任意一點，線段的中點為，過點作線段的垂線與直線相交于點．當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線，點的軌跡為曲線，則下列說法正確的有（

）A．曲線的方程為 B．當點在圓上時，點的橫坐標為C．曲線的方程為 D．與無公共點練習10．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知直線軸，垂足為軸負半軸上的點，點關于坐標原點的對稱點為，且，直線，垂足為，線段的垂直平分線與直線交于點．記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．題型三 相關點法例5．（2023春·上海徐匯·高三上海市徐匯中學校考期中）已知雙曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實數(shù)m的值；(2)過點作直線交雙曲線C于P、Q兩點，求線段的中點M的軌跡方程．例6．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，已知點，動點P滿足：過點作直線的垂線，垂足為，且，則的最小值為______．練習11．（2023·全國·高三專題練習）已知點為圓上一動點，軸于點，若動點滿足,求動點的軌跡的方程；練習12．（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；練習13．（2022秋·山東日照·高二?？茧A段練習）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.練習14．（2022秋·高二?？颊n時練習）設圓的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是_______.練習15．（2023春·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考期中）已知面積為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．題型四 交軌法例7．（2022秋·高三課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

例8．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知為雙曲線的左右焦點，且該雙曲線離心率小于等于，點和是雙曲線上關于軸對稱非重合的兩個動點，為雙曲線左右頂點，恒成立．(1)求該雙曲線的標準方程；(2)設直線和的交點為，求點的軌跡方程．練習16．（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點．(1)證明：；(2)設為拋物線的焦點，直線與直線交于點，直線交拋物線與兩點（在軸的同側），求直線與直線交點的軌跡方程．練習17．（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為_______．練習18．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過三點.(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點，求直線與直線的交點的軌跡方程.練習19．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左?右頂點分別為，動直線過點，當直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點B到直線的距離為(1)求雙曲線的標準方程；(2)當直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為.（i）是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（ii）求直線和交點的軌跡方程.練習20．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為__________.題型五 參數(shù)法例9．（2022·全國·高三專題練習）已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點），求動點的軌跡的方程．例10．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，，，是滿足的一個動點．求垂心的軌跡方程.練習21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線，定點，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程，并指出這個軌跡為那種曲線．練習22．（2021·貴州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，點和點為橢圓上兩點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ），為橢圓上異于點的兩點，若直線與的斜率之和為，求線段中點的軌跡方程.練習23．（2011秋·遼寧·高二統(tǒng)考期中）如圖，過拋物線（＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB．⑴設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標⑵求弦AB中點M的軌跡方程練習24．（2021秋·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知，是拋物線上兩個不同的點，的焦點為．（1）若直線過焦點，且，求的值；（2）已知點，記直線，的斜率分別為，，且，當直線過定點，且定點在軸上時，點在直線上，滿足，求點的軌跡方程．練習25．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的中心作兩條互相垂直的射線，交雙曲線于、兩點，試求：（1）弦的中點的軌跡方程；題型六 點差法例11．（2023春·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？计谥校┮阎p曲線，過點作直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．例12．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若，則直線l的方程為_______________．練習26．（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．練習27．（2023·全國·高三專題練習）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是______．練習28．（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習）過點作拋物線的弦AB，恰被點Q平分，則弦AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．練習29．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線和斜率為的直線l交于A，B兩點，當l變化時，線段AB的中點M的坐標滿足的方程是________.練習30．（2022秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內一點，且被這點平分的弦所在直線的方程是___.題型七 利用韋達定理求軌跡方程例13．（2023秋·高三課時練習）過點的直線與拋物線相交于兩點P，Q，求以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點M的軌跡方程.例14．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為_________．練習31．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：，直線過點.若與交于，兩點，點在線段上，且，求點的軌跡方程.練習32．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.練習33．（2023·全國·高三專題練習）設不同的兩點A，B在橢圓上運動，以線段AB為直徑的圓過坐標原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程.練習34．（2022春·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，左、右頂點分別是A，B，且．(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知M，N是橢圓E上異于A，B的不同兩點，若直線AM與直線AN的斜率之積等于-1，求直線MN的方程練習35．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C的離心率為，其焦點是雙曲線的頂點.(1)寫出橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C有唯一的公共點M，過點M作直線l的垂線分別交x軸?y軸于，兩點，當點M運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

專題9.7求軌跡方程題型一直接法題型二定義法題型三相關點法題型四交軌法題型五參數(shù)法題型六點差法題型七利用韋達定理求軌跡方程題型一 直接法例1．（2022秋·高三課時練習）若動點到定點和直線：的距離相等，則動點的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．橢圓 D．拋物線【答案】B【分析】設動點的坐標為，由條件列方程化簡可得點的軌跡方程，由方程確定軌跡.【詳解】設動點的坐標為，則．化簡得．故動點P的軌跡是直線．故選：B.例2．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側的點作，垂足為，且．

(1)求點的軌跡的方程；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)提意思，設，得到，結合，利用距離公式化簡，即可求解曲線的方程；【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點，過右側的點作，可得，設，則，因為，可得，即，整理得.練習1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標系中，點滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.【答案】【分析】設出，由題意列出方程組，化簡即可得到點的軌跡方程；【詳解】設，由題意可得，整理得，故動點的運動軌跡方程為，如圖所示，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點在圓內部，所以，當且僅當在線段上時等號成立，所以的最小值為，故答案為：；練習2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）點到定點的距離與到的距離之比為，則點的軌跡方程為____，與連線的斜率分別為，，則的最小值為____.【答案】【分析】設出點坐標，依據(jù)題意列出方程，化簡即可得出答案；利用兩點的斜率公式寫出，再利用的軌跡方程進行化簡，最后利用重要不等式求出的最小值.【詳解】設點的坐標為,由題意可知，到的距離為，由題意得，化簡得，所以的軌跡方程為.又由題意，，則，又因為P在曲線上，所以，化簡得，代入得，.又因為，所以的最小值為.故答案為：，練習3．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知平面內點P與兩定點連線的斜率之積等于．(1)求點P的軌跡連同點所構成的曲線C的方程；【答案】(1)點的軌跡方程為，曲線的方程為.【分析】（1）由求軌跡的方程的步驟結合兩點間的斜率公式，即可求得，通過基本不等式，求得的最大值.【詳解】（1）設點為軌跡上任意一點，由題意得，則，，，故點的軌跡方程為，

所以點P的軌跡連同點所構成的曲線C的方程為.練習4．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；【答案】(1)【分析】（1）設，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；【詳解】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.練習5．（2022秋·高二課時練習）在直角坐標系xOy中，已知點，直線AM，BM交于點M，且直線AM與直線BM的斜率滿足：.(1)求點M的軌跡C的方程;【答案】(1)【分析】（1）設出，表達出AM與BM的斜率，得到方程，求出軌跡方程；【詳解】（1）設，又，則，整理得，可得點M滿足方程，則M的軌跡C的方程為.題型二 定義法例3．（2023秋·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為__________．【答案】【分析】由的三邊a，b，c成等差數(shù)列，可得點B的軌跡滿足橢圓的定義，可求出橢圓方程，再結合和B、A、C三點構成，可得頂點B的軌跡是此橢圓的部分，可得其軌跡方程.【詳解】因為的三邊a，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標分別為，所以，即，所以點B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為，因為，所以，所以，又因為B、A、C三點構成，所以B、A、C三點不能在一條直線上，所以，所以頂點B的軌跡方程為.故答案為：例4．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）如圖，在中，點.圓是的內切圓，且延長線交于點，若.(1)求點的軌跡的方程；【答案】(1)【分析】（1）抓住內切圓的性質找到等量關系，再由定義法即可求結果；【詳解】（1）解：據(jù)題意，，從而可得，由橢圓定義知道，的軌跡為以為焦點的橢圓，所以所求的橢圓的方程為.練習6．（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】因為圓C與圓A、圓B外切，設C點坐標，圓C半徑為，則，，所以，所以點的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.練習7．（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；【答案】(1)【分析】（1）利用橢圓定義即可求得動點的軌跡的方程；【詳解】（1）由題意：，動點是以為焦點，長軸長為的橢圓.設橢圓標準方程為，則，動點的軌跡的方程為.練習8．（2023·上?！とA師大二附中?？寄M預測）已知平面上的點滿足，則__________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的定義，求出所在曲線的的方程，聯(lián)立方程組，求出的橫坐標，再利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求解.【詳解】以中點為原點，為軸正方向，建立平面直角坐標系，則，因為，，所以點?分別在以，為焦點的雙曲線的右支和左支上，且，，所以，，所以雙曲線方程為；因為，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，即點在圓上，因為，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，即點在圓上，聯(lián)立，因為，可求，聯(lián)立，因為，可求，因為，，故.故答案為：.

練習9．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）（多選）設，圓（為圓心），為圓上任意一點，線段的中點為，過點作線段的垂線與直線相交于點．當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線，點的軌跡為曲線，則下列說法正確的有（

）A．曲線的方程為 B．當點在圓上時，點的橫坐標為C．曲線的方程為 D．與無公共點【答案】ABC【分析】對于A，連接OQ，則可得，從而可得曲線的方程；對于B，圓B的方程與曲線的方程聯(lián)立求解即可；對于C，連接AR，則可得，從而可得點R的軌跡為雙曲線；對于D，求出曲線的方程，然后判斷.【詳解】如圖1、圖2，連接OQ．因為點Q為線段AP的中點，O為線段AB的中點，所以，所以點Q的軌跡為以O為圓心，1為半徑的圓，即曲線的方程為，故A正確；當點Q在圓B上時，圓B的方程與曲線的方程聯(lián)立，可得，故B正確；連接AR，由于直線QR為線段AP的中垂線，所以，所以，所以點R的軌跡為以為焦點，2為實軸的雙曲線，所以曲線的方程為，故C正確；由選項C可知，所以曲線的方程為，所以與有兩個公共點，故D錯誤．故選：ABC．

練習10．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知直線軸，垂足為軸負半軸上的點，點關于坐標原點的對稱點為，且，直線，垂足為，線段的垂直平分線與直線交于點．記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質，結合拋物線定義可解；【詳解】（1）由題意可得，即點到點的距離等于點到直線的距離．因為，所以的方程為，，則點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故點的軌跡的方程為．

題型三 相關點法例5．（2023春·上海徐匯·高三上海市徐匯中學?？计谥校┮阎p曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實數(shù)m的值；(2)過點作直線交雙曲線C于P、Q兩點，求線段的中點M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理式，利用弦長公式即可求出值；（2）設,，利用點差法結合中點公式即可得到，化簡即可.【詳解】（1）聯(lián)立,得，直線被雙曲線截得的弦長為,,設直線與雙曲線交于,則,由弦長公式得,解得.（2）設,，則，，上式作差得，當直線的斜率不存在時，根據(jù)雙曲線對稱性知，當直線的斜率存在時，但時，此時直線為直線，根據(jù)雙曲線對稱性知，當直線的斜率存在時，且時，，，，化簡得，其中，而點，適合上述方程，則線段的中點的軌跡方程是.

例6．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，已知點，動點P滿足：過點作直線的垂線，垂足為，且，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)已知求出點的軌跡方程，根據(jù)兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)求出的最小值.【詳解】設點坐標為，則，，又因為，所以，由，得，所以，是拋物線上的點，設，則,因為，所以當時，取最小值，此時．故答案為：.練習11．（2023·全國·高三專題練習）已知點為圓上一動點，軸于點，若動點滿足,求動點的軌跡的方程；【答案】【分析】設，則，根據(jù)，求得，代入圓的方程，即可求解.【詳解】解：設，則，可得，由，所以，化簡得，因為，代入可得，即，即為的軌跡的方程為.練習12．（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；【答案】【分析】設，，由為線段的中點列關系式，根據(jù)兩點距離公式表示，從而轉化為關于的方程即可得的軌跡方程.【詳解】設，線段的中點，因為為線段的中點，，，，即，得.所以點的軌跡方程是．練習13．（2022秋·山東日照·高二?？茧A段練習）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）根據(jù)相關點法，設出點M的坐標，利用中點公式結合圓的方程即得.【詳解】（1）由題可設圓C的標準方程為，則，解之得，所以圓C的標準方程為；（2）設M（x，y），，由及M為線段EF的中點得，解得,又點E在圓C：上，所以有，化簡得：,故所求的軌跡方程為．練習14．（2022秋·高二?？颊n時練習）設圓的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是_______.【答案】【分析】設，P（x0，y0），利用中點坐標公式得出，然后結合點在圓上即可求解.【詳解】圓可化為，則，設，P（x0，y0），所以整理得,即，將點代入圓的方程得，即為.故答案為：.練習15．（2023春·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考期中）已知面積為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相關點法即可求得動點P的軌跡方程.【詳解】設，不妨令，正方形ABCD的面積為16，則，則，由，可得，即，則，整理得故選：B題型四 交軌法例7．（2022秋·高三課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【答案】【分析】首先判斷點是的重心，代入重心坐標公式，利用代入法，即可求點的軌跡方程.【詳解】設動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.例8．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知為雙曲線的左右焦點，且該雙曲線離心率小于等于，點和是雙曲線上關于軸對稱非重合的兩個動點，為雙曲線左右頂點，恒成立．(1)求該雙曲線的標準方程；(2)設直線和的交點為，求點的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的定義可得，然后利用兩邊之和大于第三邊以及可得，即可求得方程；（2）設，則，得到直線，的方程，兩條方程與可得到，然后算出的范圍即可【詳解】（1）設雙曲線的焦距為，由及雙曲線的定義，得，解得，由可得，又恒成立，所以，解得．因為該雙曲線離心率小于等于，所以，即，解得，所以，則，所以雙曲線的標準方程為．（2）因為，所以點只能在雙曲線的右支上，

設，則，因為在雙曲線上，所以，易得，所以直線的斜率為，直線的方程為①，同理可求得直線的方程為②，由①×②得③，將代入③得，化簡得，令①=②即，化簡得，因為，所以，即點的軌跡方程為．【點睛】關鍵點點睛：這道題的關鍵之處是得到直線，的方程，與相結合，通過消元的方法得到軌跡方程練習16．（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點．(1)證明：；(2)設為拋物線的焦點，直線與直線交于點，直線交拋物線與兩點（在軸的同側），求直線與直線交點的軌跡方程．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設，，利用三點共線，解得，再利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解；（2）設，，，根據(jù)題意可得，由此解出與，與的關系，進而得到直線與直線的方程，聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）設，，因為三點共線，所以,所以，整理可得，所以，所以．（2）設，，，由題意，，因為，，所以，又因為，，所以，整理得．因為在軸同側，所以，同理可得，所以直線的方程為，同理的方程為，兩式聯(lián)立代入，可得，由題意可知交點不能在x軸上，所以交點的軌跡方程為．練習17．（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為_______．【答案】（）．【分析】設，直線和的交點為，根據(jù)三點共線及三點共線，可得兩個式子，兩式相乘，再結合在橢圓上即可得出答案.【詳解】設，因為橢圓的長軸端點為，設直線和的交點為，因為三點共線，所以，，因為三點共線，所以，兩式相乘得，（）,因為，所以，即，所以，整理得（），所以直線和的交點的軌跡方程（）.故答案為：（）.練習18．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過三點.(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點，求直線與直線的交點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設橢圓方程，代入橢圓上的點的坐標，即可求解；（2）首先設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求直線與直線的交點坐標，即可求解交點的軌跡方程.【詳解】（1）設橢圓方程E：+=1由AC兩點可知：，解得=16，=12，所以橢圓方程為；（2）設，M（，）N（，）聯(lián)立（3+12my-36=0直線AM：=直線BN：=消去：，因斜率不為0，該直線方程：.練習19．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左?右頂點分別為，動直線過點，當直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點B到直線的距離為(1)求雙曲線的標準方程；(2)當直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為.（i）是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（ii）求直線和交點的軌跡方程.【答案】(1)(2)（i）存在，；（ii）【分析】（1）注意到直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，l平行于漸近線可解；（2）利用韋達定理結合即可求得，再根據(jù)和的直線方程消去斜率即可得交點的軌跡方程.【詳解】（1）故當直線過與雙曲線有且僅有一個公共點時，應與的漸近線平行設直線，即，則點到直線的距離為即雙曲線的標準方程為：.（2）（i）由題可知，直線斜率不為0設直線由得：成立.所以存在實數(shù)，使得成立.（ii）直線，直線聯(lián)立得：所以直線和交點的軌跡方程為：練習20．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為__________.【答案】或【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出交點坐標，再將拋物線與直線聯(lián)立，結合韋達定理可得軌跡方程.【詳解】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達定理，，得，其中或，故點的軌跡方程為：或.故答案為：或題型五 參數(shù)法例9．（2022·全國·高三專題練習）已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點），求動點的軌跡的方程．【答案】【分析】根據(jù)題意將動點的坐標設出，垂直轉化為對應的向量數(shù)量積為0，再轉化平行條件從而得到動點的軌跡方程.【詳解】設、、，則，，，由，得，且點、均不在軸上，故，且，．由，得，即．由，得，即．∴，∴動點的軌跡的方程為：.例10．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，，，是滿足的一個動點．求垂心的軌跡方程.【答案】（）或（）【分析】求出外心坐標，外接圓半徑同，得頂點C的軌跡方程，再利用相關點法可求垂心H的軌跡方程．【詳解】設的外心為，半徑為R，則有，又，所以，即，或，當坐標為時．設，，有，即有（），由，則有，由，則有，所以有，，則，則有（），所以垂心H的軌跡方程為（）.同理當當坐標為時．H的軌跡方程為（）.綜上H的軌跡方程為（）或（）．練習21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線，定點，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程，并指出這個軌跡為那種曲線．【答案】詳見解析【分析】設，根據(jù)，利用分點公式得到，再根據(jù)點B在拋物線上求解.【詳解】解：設，因為，所以，解得，因為點B在拋物線上，所以，即，所以軌跡是拋物線.練習22．（2021·貴州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，點和點為橢圓上兩點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ），為橢圓上異于點的兩點，若直線與的斜率之和為，求線段中點的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）設橢圓的方程為，進而待定系數(shù)求解即可得答案；（Ⅱ）設直線的斜率為，進而得直線的方程，與橢圓聯(lián)立得點的坐標，同理，用替換點的坐標得點的坐標，進而得點的坐標，消去參數(shù)即可得點的軌跡方程.【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設橢圓的方程為，因為點和點為橢圓上兩點，所以，解得，所以橢圓的標準方程（Ⅱ）設直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以與橢圓聯(lián)立方程得，即，所以點的橫坐標為，縱坐標為，即點的坐標為，因為直線與的斜率之和為，所以直線的斜率為，同理，用替換點的坐標得點的坐標，所以點的坐標為所以點的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）消去參數(shù)得點的軌跡方程，由解得，所以，所以點的軌跡方程.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于設直線的斜率為，進而結合題意，與橢圓聯(lián)立方程求得點坐標，進而消參數(shù)即可得答案.練習23．（2011秋·遼寧·高二統(tǒng)考期中）如圖，過拋物線（＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB．⑴設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標⑵求弦AB中點M的軌跡方程【答案】⑴A（，），B（，）．⑵，即為M點軌跡的普通方程．【詳解】試題分析：⑴．∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0∴設直線OA的方程為（）∴聯(lián)立方程解得；以代上式中的，解方程組解得∴A（，），B（，）．6分⑵．設AB中點M（x，y），則由中點坐標公式，得消去參數(shù)k，得，即為M點軌跡的普通方程．12考點：直線與拋物線的位置關系，“參數(shù)法”求軌跡方程．點評：中檔題，研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往通過建立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程．“參數(shù)法”是求曲線方程的常見方法，通過引入適當?shù)摹爸虚g變量”，將動點的坐標相互聯(lián)系起來．練習24．（2021秋·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知，是拋物線上兩個不同的點，的焦點為．（1）若直線過焦點，且，求的值；（2）已知點，記直線，的斜率分別為，，且，當直線過定點，且定點在軸上時，點在直線上，滿足，求點的軌跡方程．【答案】（1）；（2）（除掉點）.【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式可直接求得結果；（2）設，與拋物線方程聯(lián)立后得到韋達定理的形式，代入中整理可求得，驗證取值后得到所過定點；由知，知點的軌跡是以為直徑的圓，確定圓心和半徑后即可得到軌跡方程，驗證可知軌跡中的不符合題意，由此得到最終結果.【詳解】（1）由拋物線方程知：，準線方程為：．，，.（2）依題意可設直線，由得：，則，…①，…②由①②化簡整理可得：，則有，解得：或．當時，，解得：或，此時過定點，不符合題意；當時，對于恒成立，直線過定點，.，，且四點共線，，則點的軌跡是以為直徑的圓．設，的中點坐標為，，則點的軌跡方程為．當?shù)淖鴺藶闀r，的方程為，不符合題意，的軌跡方程為（除掉點）．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問考查了動點軌跡方程的求解問題，解題關鍵是能夠根據(jù)，利用韋達定理構造出關于變量的方程，確定直線所過的定點坐標，進而根據(jù)垂直關系確定軌跡為圓.練習25．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的中心作兩條互相垂直的射線，交雙曲線于、兩點，試求：（1）弦的中點的軌跡方程；【答案】（1）見解析；【詳解】（1）設、、，則有，①..②.由得.③.②①得，④.②①得.⑤.由式③、④解得，代入式⑤得，其中.上式即為所求軌跡方程.題型六 點差法例11．（2023春·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考期中）已知雙曲線，過點作直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點差法可求得直線斜率，進而得到方程，與雙曲線聯(lián)立檢驗即可確定結果.【詳解】設，且，由得：，即，為中點，，，，直線方程為：，即；由得：，則，滿足題意；直線的方程為：.故選：A.例12．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若，則直線l的方程為_______________．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直可得圓的切線方程為，進而在橢圓中，根據(jù)點差法可得，根據(jù)中點弦的斜率即可代入求解.【詳解】取中點，連接,由于,所以,進而,設，設直線上任意一點，由于是圓的切線，所以,所以，令則，所以，由中點坐標公式可得，設,則，兩式相減可得，所以,又，,所以，解得，進而故直線l的方程為，即，故答案為：練習26．（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點差法求解.【詳解】解：設，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗此時與雙曲線有兩個交點.故選：A練習27．（2023·全國·高三專題練習）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是______．【答案】【分析】利用點的坐標和點差法得出軌跡方程，利用點M在橢圓內即可得出取值范圍.【詳解】設，，線段AB的中點為，連接（為坐標原點）．由題意知，則，∴點的軌跡方程為．又點在橢圓內，∴，解得：，故答案為：.練習28．（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習）過點作拋物線的弦AB，恰被點Q平分，則弦AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用點差法及中點坐標求出直線AB的斜率，再根據(jù)點斜式求解即可.【詳解】解：設，，由題意可知，則，兩式相減，得，因為是弦AB的中點，所以，，所以，即，直線AB的斜率為2，所以弦AB所在直線的方程為，即，故選：C.練習29．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線和斜率為的直線l交于A，B兩點，當l變化時，線段AB的中點M的坐標滿足的方程是________.【答案】【分析】根據(jù)點差法及直線的斜率可得出中點M的軌跡方程.【詳解】設，，則兩式相減，得.因為，的坐標為，所以，又直線的斜率為，所以，即.故答案為：練習30．（2022秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內一點，且被這點平分的弦所在直線的方程是___.【答案】【分析】利用點差法即可求得過點且被點P平分的弦所在直線的方程.【詳解】設該直線與橢圓的兩個交點分別為，則又，，兩式相減得則，則，則所求直線方程為，即經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：題型七 利用韋達定理求軌跡方程例13．（2023秋·高三課時練習）過點的直線與拋物線相交于兩點P，Q，求以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點M的軌跡方程.【答案】（或）【分析】設，，，設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理可得、和的范圍，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和消參法可得答案.【詳解】設，，，由題意過點的直線的斜率存在，設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，，且可得且，所以由可得，因為四邊形是平行四邊形，所以，即，可得，因為，而且，可得或，所以的軌跡方程為（或）.

例14．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為_________．【答案】/【分析】設斜率為直線方程為，聯(lián)立方程組，寫出韋達定理，然后求出線段的中點為的參數(shù)方程，消參后得到的軌跡方程，然后利用數(shù)形結合方法分析即可.【詳解】設斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理