高一數(shù)學(xué)下冊期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第1講空間幾何體(知識點(diǎn)串講)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

第一講空間幾何體【知識梳理】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征2．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2019年溫州月考）下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線練習(xí)．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【知識梳理】3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?圖形改變))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變,與x，z軸平行的線段的長度不改變,相對位置不改變))(3)平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)二：空間幾何體的直觀圖例2、（2019年金臺區(qū)月考）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形練習(xí)、如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2) D．8＋4eq\r(2)考點(diǎn)三：空間幾何體的平面展開圖例3、(2018·全國卷Ⅰ改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，其中OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2[訓(xùn)練](2019·山東濰坊檢測)如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點(diǎn)有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為________.【知識梳理】4．多面體的表面積、側(cè)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．5．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l6．柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)四：空間幾何體的表面積例4．(2019·山東泰安檢測)如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為________.練習(xí)．(2019·廣東湛江月考)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________.【知識梳理】7.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)五：空間幾何體的體積例5、(2018·天津卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________.練習(xí)、(2019·山東青島月考)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,2)【知識梳理】8．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.9.空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)六：與球有關(guān)的切接問題例6、(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)[變式探究1]若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積．[變式探究2]若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積．練習(xí)、(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)第一講空間幾何體【知識梳理】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征2．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2019年溫州月考）下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線【答案】D[A錯誤，如圖，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是三棱錐．B錯誤，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故不正確．C錯誤，若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．而若以正六邊形為底面，則側(cè)棱長必然要大于底面邊長．易知D正確．]練習(xí)．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】A[①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等．]【知識梳理】3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?圖形改變))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變,與x，z軸平行的線段的長度不改變,相對位置不改變))(3)平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)二：空間幾何體的直觀圖例2、（2019年金臺區(qū)月考）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形【答案】C[如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形．]練習(xí)、如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2) D．8＋4eq\r(2)【答案】D[由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示，∴這個平面圖形的面積為eq\f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq\r(2).]考點(diǎn)三：空間幾何體的平面展開圖例3、(2018·全國卷Ⅰ改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，其中OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2【答案】B[圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為EP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．EN＝eq\f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴|MN|＝eq\r(EM2＋EN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).][訓(xùn)練](2019·山東濰坊檢測)如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點(diǎn)有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為________.【答案】2eq\r(1＋π2)[把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示，連接AB′，即為螞蟻爬行的最短距離．因為AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝eq\r(\a\vs4\al(A′B′2＋AA′2))＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，所以螞蟻爬行的最短距離為2eq\r(1＋π2).]【知識梳理】4．多面體的表面積、側(cè)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．5．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l6．柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)四：空間幾何體的表面積例4．(2019·山東泰安檢測)如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為________.【答案】(3＋eq\r(2))π[由題意知所得幾何體為一個圓錐與圓柱的組合體，則表面積為πrl＋2πrh＋πr2＝π×1×eq\r(2)＋2π×1×1＋π×1＝eq\r(2)π＋3π.]練習(xí)．(2019·廣東湛江月考)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________.【答案】12[利用體積公式求出正六棱錐的高，再利用截面圖確定正六棱錐的斜高，最后求側(cè)面積．設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.]【知識梳理】7.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)五：空間幾何體的體積例5、(2018·天津卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________.【答案】eq\f(1,3)[∵正方體棱長為1，∴矩形BB1D1D的長和寬分別為1，eq\r(2).∵四棱錐A1-BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1對角線長的一半，即為eq\f(\r(2),2)，∴V四棱錐A1-BB1D1D＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).]練習(xí)、(2019·山東青島月考)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,2)【答案】A[如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).]【知識梳理】8．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.9.空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)六：與球有關(guān)的切接問題例6、(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)【答案】B[由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為eq\f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq\f(3,2)，∴Vmax＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))