蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊同步精講精練1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識點(diǎn)知識點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系◆1、若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．◆2、若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．◆3、常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求：x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，Δ≥0這兩個(gè)前提條件．題型一已知一元二次方程的一個(gè)根求另一根或字母的值題型一已知一元二次方程的一個(gè)根求另一根或字母的值【例題1】（2023?烏魯木齊模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3解題技巧提煉當(dāng)常數(shù)項(xiàng)未知時(shí)，利用兩根的和求另一根；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)未知時(shí)，利用兩根的積求另一根．【變式1-1】（2023?阿克蘇市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【變式1-2】關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一個(gè)根x1＝﹣2，則方程的另一個(gè)根x2和k的值為（）A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1【變式1-3】（2023春?東莞市校級月考）如果4是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-4】（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）已知x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個(gè)根，則k的值和方程的另一個(gè)根分別為（）A．1和2 B．﹣1和2 C．2和﹣1 D．﹣2和﹣1【變式1-5】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）在關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理數(shù)，且方程的一個(gè)根是﹣6+10，則方程的另一個(gè)根是【變式1-6】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一個(gè)根為2，求k的值及另一個(gè)根．題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值【例題2】（2023?河北區(qū)三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根為x1x2，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（）A．22 B．1 C．﹣3 D．解題技巧提煉（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積直接代入代數(shù)式求值.【變式2-1】（2023?亭湖區(qū)校級三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的兩根，則x1﹣x1x2+x2的值是．【變式2-2】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根分別為m，n，則m+n+mn的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【變式2-3】（2023?巨野縣三模）設(shè)方程x2﹣2023x﹣1＝0的兩個(gè)根分別為x1、x2，則x1+x2﹣x1x2的值是．【變式2-4】（2023?六盤水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的兩根，則x1+x2+2x1x2的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【變式2-5】（2023?江夏區(qū)校級模擬）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根，則m+5nmnA．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系變形求代數(shù)式的值題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系變形求代數(shù)式的值【例題3】（2023?耿馬縣三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，則1aA．?16 B．16 C．5解題技巧提煉（1）設(shè)法將求值式變形，使其含有兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積整體代入代數(shù)式求值.【變式3-1】（2023?鄄城縣二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別為x1、x2，則x12【變式3-2】（2023?安陸市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根，則（a﹣1）（b﹣1）的值是．【變式3-3】（2023?興慶區(qū)校級一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的兩根，則2m2+mn+4m的值為（）A．0 B．6 C．2 D．4【變式3-4】（2023春?江岸區(qū)校級月考）設(shè)α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的兩根，則（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值為（）A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040【變式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值．（1）（x12?（2）x13x2+x1（3）x13+13（4）|x1﹣x2|．【變式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=?ba，x1x2（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式m2+2m+3n的值．題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值【例題4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，代數(shù)式x13+7x22+3x2﹣66的值為．解題技巧提煉（1）設(shè)法將求值式利用將次來變形，使其含有兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積整體代入代數(shù)式求值.【變式4-1】（2023?昆山市模擬）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x13?2x12+【變式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的值為．【變式4-3】m3A．﹣3 B．?2 C．2 【變式4-4】（2023?武昌區(qū)一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，則a5+b5的值是（）A．9 B．10 C．11 D．22【變式4-5】若x1，x2與是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x13﹣4x22+22的值．【變式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=?ba，x1x2（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的兩根為x1與x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）應(yīng)用：求一些代數(shù)式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互異實(shí)數(shù)a，b滿足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．題型五由兩根滿足的關(guān)系式求字母的值題型五由兩根滿足的關(guān)系式求字母的值【例題5】（2023?樂山）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16解題技巧提煉（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1+x2和x1x2的值；（2）將已知等式轉(zhuǎn)化為含x1+x2和x1x2的形式；（3）把x1+x2和x1x2的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．【變式5-1】（2023?青山區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程x2+4x﹣a＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2x1﹣x2＝7，則a＝．【變式5-2】（2023?巴州區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x2【變式5-3】（2023春?蜀山區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．【變式5-4】（2023?隨州一模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．【變式5-5】已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求：m的取值范圍；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長．【變式5-6】已知：平行四邊形ABCD的兩條邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程2x2﹣2mx+m?1（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長；（2）若AB＝2，求平行四邊形ABCD的周長．題型六已知兩根求一元二次方程題型六已知兩根求一元二次方程【例題六】（2022秋?固安縣期末）已知一元二次方程的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝﹣3，則這個(gè)方程可以為（）A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．12（x+2）（x+3）＝0 D．12（x﹣2）（解題技巧提煉已知方程的兩個(gè)根時(shí)，逆用根與系數(shù)的關(guān)系，還原一元二次方程，在還原過程中，主要符合問題．【變式6-1】以2和﹣7為根的一元二次方程是（）A．x2﹣x﹣9＝0 B．x2+5x+14＝0 C．x2﹣10x﹣14＝0 D．x2+5x﹣14＝0【變式6-2】（2022秋?昭陽區(qū)校級月考）已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0 B．x2﹣3x+4＝0 C．x2+3x﹣4＝0 D．x2+3x+4＝0【變式6-3】（2022秋?泰興市期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，則關(guān)于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解為（）A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．以上都不對【變式6-4】若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則關(guān)于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝2，y2＝﹣4 B．y1＝0，y2＝﹣4 C．y1＝3，y2＝﹣3 D．y1＝1，y2＝﹣3【變式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，得出的兩個(gè)根分別為﹣9，﹣1；乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得出的兩個(gè)根分別為8，2，則這個(gè)方程為．【變式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是．題型七根與系數(shù)的關(guān)系與新定義運(yùn)算題型七根與系數(shù)的關(guān)系與新定義運(yùn)算【例題7】（2022春?環(huán)翠區(qū)期末）新定義運(yùn)算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，則方程x※2＝5兩根的平方和為（）A．4 B．8 C．10 D．不存在解題技巧提煉根據(jù)新定義運(yùn)算列出方程，然后再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題.【變式7-1】（2022秋?石阡縣月考）對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則1mA．107 B．﹣3 C．17 【變式7-2】（2022春?河口區(qū)期末）對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則nm+m【變式7-3】對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b=a2?ab(a≥b)b?aa(a＜b)例如3*1，因?yàn)?＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的兩個(gè)根，則x1【變式7-4】對于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“*”：a*b=a例如：4*2，因?yàn)?＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個(gè)根，求x1*x2的值．【變式7-5】對于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“*”：a*b=a2?ab(a≥b)（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個(gè)根，求x1*x2的值．【變式7-6】對于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算a*b=a+b?ab(a≥b)∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7．（1）求（﹣6）*（﹣3）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1*x2＝4，求m的值．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識點(diǎn)知識點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系◆1、若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．◆2、若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．◆3、常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求：x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，Δ≥0這兩個(gè)前提條件．題型一已知一元二次方程的一個(gè)根求另一根或字母的值題型一已知一元二次方程的一個(gè)根求另一根或字母的值【例題1】（2023?烏魯木齊模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為t，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得1?t＝﹣3，然后解一次方程即可．【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得1?t＝﹣3，解得t＝﹣3，所以方程的另一個(gè)根為﹣3．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2解題技巧提煉當(dāng)常數(shù)項(xiàng)未知時(shí)，利用兩根的和求另一根；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)未知時(shí)，利用兩根的積求另一根．【變式1-1】（2023?阿克蘇市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：設(shè)x2﹣x+m＝0另一個(gè)根是α，∴2+α＝1，∴α＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-2】關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一個(gè)根x1＝﹣2，則方程的另一個(gè)根x2和k的值為（）A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)系式，把一個(gè)根代入計(jì)算即可求出所求．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一個(gè)根x1＝﹣2，∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2=?k解得：x2＝1，k＝2，則方程的另一個(gè)根x2和k的值為x2＝1，k＝2．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春?東莞市校級月考）如果4是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為t，利用根與系數(shù)的關(guān)系得5+t＝6，然后解關(guān)于t的方程即可．【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得4+t＝6，解得t＝2，所以方程的另一個(gè)根為2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2【變式1-4】（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）已知x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個(gè)根，則k的值和方程的另一個(gè)根分別為（）A．1和2 B．﹣1和2 C．2和﹣1 D．﹣2和﹣1【分析】把x＝﹣1代入方程計(jì)算即可求出k的值，再把k的值代入方程，求出另一個(gè)根即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣k﹣2＝0，解得：k＝﹣1，∴原方程可化為x2﹣x﹣2＝0，設(shè)方程的另一個(gè)根為t，則﹣1+t＝1，∴t＝2．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，熟知方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）在關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理數(shù)，且方程的一個(gè)根是﹣6+10，則方程的另一個(gè)根是【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知兩根的和和兩根的積需是有理數(shù)，據(jù)此即可求得方程的另一個(gè)根是﹣6?10【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理數(shù)，∴?ba、∵方程的一個(gè)根是﹣6+10∴滿足題意的方程的另一個(gè)根是﹣6?10故答案為：﹣6?10【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1?x2【變式1-6】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一個(gè)根為2，求k的值及另一個(gè)根．【分析】由于一根為2，把x＝2代入方程即可求得k的值．然后根據(jù)兩根之積即可求得另一根．【解答】解：∵方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一個(gè)根為2，∴22﹣2（k+1）﹣6＝0，解得k＝﹣2，設(shè)另一根為x，∵2x＝﹣6，∴x＝﹣3，∴k＝﹣2，另一根為﹣3．【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的解的知識，解題時(shí)可利用根與系數(shù)的關(guān)系使問題簡化，難度不大．題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值【例題2】（2023?河北區(qū)三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根為x1x2，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（）A．22 B．1 C．﹣3 D．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，再代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，則原式＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積直接代入代數(shù)式求值.【變式2-1】（2023?亭湖區(qū)校級三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的兩根，則x1﹣x1x2+x2的值是．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系得出兩根之和，兩根之積，再代值計(jì)算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2=?23，x1x∴x1﹣x1x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x2=?23+故答案為：43【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，則x1+x2=?ba，x1x2【變式2-2】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根分別為m，n，則m+n+mn的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求解．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根分別為m，n，∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，∴m+n+mn＝﹣5．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和代數(shù)式的求值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023?巨野縣三模）設(shè)方程x2﹣2023x﹣1＝0的兩個(gè)根分別為x1、x2，則x1+x2﹣x1x2的值是．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求x1+x2＝2023，x1x2＝﹣1，再把x1+x2，x1x2的值整體代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵方程x2﹣2023x﹣1＝0的兩個(gè)根分別為x1、x2，∴x1+x2＝2023，x1x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1x2＝2023+1＝2024．故答案是：2024．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1、x2，則x1+x2=?ba，x1?x2【變式2-4】（2023?六盤水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的兩根，則x1+x2+2x1x2的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，然后利用整體代入的方法計(jì)算x1+x2+2x1x2的值．【解答】解：根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1【變式2-5】（2023?江夏區(qū)校級模擬）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根，則m+5nmnA．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4【分析】先通分，再進(jìn)行同分母的減法運(yùn)算得到原式=m+nmn，接著根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣4，【解答】解：m+5n=m+5n=m+5n?4n=m+n∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1，∴m+5nmn故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x2題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系變形求代數(shù)式的值題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系變形求代數(shù)式的值【例題3】（2023?耿馬縣三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，則1aA．?16 B．16 C．5【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b與ab的值，原式通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，∴a+b＝5，ab＝﹣6，則原式=a+b故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）設(shè)法將求值式變形，使其含有兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積整體代入代數(shù)式求值.【變式3-1】（2023?鄄城縣二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別為x1、x2，則x12【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算x1+x2，x1?x2的值，由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，可把x1+x2【解答】解：根據(jù)題意可得，x1+x2＝3，x1x2＝2，∵x12+x22=（x1+x2）∴x12+故答案為：5．【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．【變式3-2】（2023?安陸市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根，則（a﹣1）（b﹣1）的值是．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出a+b＝1，ab＝﹣2，再將其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根，∴a+b＝1，ab＝﹣2，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2﹣1+1＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于?ba，兩根之積等于【變式3-3】（2023?興慶區(qū)校級一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的兩根，則2m2+mn+4m的值為（）A．0 B．6 C．2 D．4【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出m2+2m＝6，mn＝﹣6，整體代入求值即可得到答案．【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣6＝0的兩根，∴m2+2m﹣6＝0，mn=c∴m2+2m＝6，∴2m2+mn+4m＝2（m2+2m）+mn＝2×6+（﹣6）＝6．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=?ba，【變式3-4】（2023春?江岸區(qū)校級月考）設(shè)α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的兩根，則（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值為（）A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040【分析】根據(jù)一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，進(jìn)而得出α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，然后代入（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）計(jì)算即可．【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的兩根，∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）＝（1+3α）（1+3β）＝1+3（α+β）+9αβ＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）＝﹣6074．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值．（1）（x12?（2）x13x2+x1（3）x13+13（4）|x1﹣x2|．【分析】已知x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，考慮將待求式轉(zhuǎn)化為只含有（x1+x2）和x1x2的形式．【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，而且x12=3（1）（x12＝（x1+x2）2（x1﹣x2）2＝32[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝9×（9+16）＝225；（2）x13x2+x＝x1x2（x12+x22）＝x1x2[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣4×（32+8）＝﹣68；（3）x13+13＝（3x1+4）x1+13x2﹣1＝3x12+4x1+13x2﹣1＝3（3x1+4）+4x1+13x2﹣1＝13（x1+x2）+11＝13×3+11＝50；（4）|x1﹣x2|==(=3=25＝5．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2【變式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=?ba，x1x2（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式m2+2m+3n的值．【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及方程的解的概念即可求出答案．【解答】解：（1）由題意可知：x1+x2＝4，x1x2＝2，∴原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；（2）由題意可知：m+n＝1，mn＝﹣2016，∵m2﹣m﹣2016＝0，∴m2﹣m＝2016，∴原式＝m2﹣m+3m+3n＝2016+3×1＝2019；【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型．題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值【例題4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，代數(shù)式x13+7x22+3x2﹣66的值為．【分析】先利用一元二次方程的根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，即：x12＝x1+9，x1+x2＝1，7x22＝7x2+63，最后代入即可得出結(jié)論．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，∴x12＝x1+9，x22＝x2+9，x1+x2＝1，∴7x22＝7x2+63∴x13＝x12+9x2＝x1+9+9x1＝10x1+9，∴原式＝10x1+9+7x2+73+3x2﹣66＝10（x1+x2）+6＝16．故答案為：16．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程根的意義，根與系數(shù)的關(guān)系，得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）設(shè)法將求值式利用將次來變形，使其含有兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積整體代入代數(shù)式求值.【變式4-1】（2023?昆山市模擬）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x13?2x12+【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2＝2，x12?2【解答】解：x2＝2x+2023整理得：x2﹣2x﹣2023＝0，∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2，x12?2∴x13?2x＝x1（x12?2x1＝2023x1+2023x2＝2023（x1+x2）＝2023×2＝4046．故答案為：4046．【點(diǎn)評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟記根與系數(shù)與關(guān)系并靈活運(yùn)用．【變式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的值為．【分析】把x＝a和x＝b代入方程得出a2﹣a﹣2＝0，b2﹣b﹣2＝0，求出a2﹣a＝2，a2﹣2＝a，b2﹣b＝2，再變形后代入求出即可．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a2﹣a﹣2＝0，b2﹣b﹣2＝0，∴a2﹣a＝2，a2﹣2＝a，b2﹣b＝2，∴2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1＝2a3+3a2﹣9a+2﹣1＝2a3+3a2﹣3a﹣6a+1＝2a3+6﹣6a+1＝2a（a2﹣2）﹣2a+7＝2a2﹣2a+7＝2×2+7＝11，故答案為：11．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解，能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵．【變式4-3】m3A．﹣3 B．?2 C．2 【分析】根據(jù)m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2＝﹣2m+1，把所求式子變形后整體代入計(jì)算即可．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m2+2m﹣1＝0，m+n＝﹣2，mn＝﹣1，∴m2＝﹣2m+1，∴m=m=(?2m+1)×(?2)＝2+1＝3，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用整體思想解決問題．【變式4-4】（2023?武昌區(qū)一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，則a5+b5的值是（）A．9 B．10 C．11 D．22【分析】根據(jù)a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，可得a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，根據(jù)a5＝5a+3，b5＝5b+3，即可求出a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，∴a2＝a+1，∴a5＝a3?a2＝a3（a+1）＝a4+a3＝（a+1）2+a（a+1）＝2a2+3a+1＝2a+2+3a+1＝5a+3，同理b5＝5b+3，∴a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確根與系數(shù)的關(guān)系．【變式4-5】若x1，x2與是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x13﹣4x22+22的值．【分析】由x1是方程x2+x﹣3＝0的實(shí)數(shù)根可得出x12+x1﹣3＝0，即x12＝﹣x1+3，等式兩邊同時(shí)乘x1可得出x13＝﹣x12+3x1，將其代入x13﹣4x22+22可得出x13﹣4x22+22＝＝﹣4x12+9﹣4x22+22，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣3，代入x13﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1?x2+31中即可求出結(jié)論．【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣3＝0的實(shí)數(shù)根，∴x12+x1﹣3＝0，∴x12＝﹣x1+3，x1＝﹣x12+3，∴x13＝﹣x12+3x1，∴x13﹣4x22+22＝﹣x12+3x1﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1?x2+31，∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣3，∴原式＝﹣4×（﹣1）2+8×（﹣3）+31＝3．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，由x1是方程x2+x﹣3＝0的實(shí)數(shù)根找出x13＝﹣x12+3x1＝﹣4x12+9是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=?ba，x1x2（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的兩根為x1與x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）應(yīng)用：求一些代數(shù)式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互異實(shí)數(shù)a，b滿足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．【分析】（1）利用題目中所給關(guān)系直接求解即可；（2）①利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入計(jì)算即可；②把a(bǔ)3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b﹣5，再利用根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可求得答案．【解答】解：（1）∵方程x2﹣5x+3＝0的兩根為x1與x2，∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3，故答案為：5；3；（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝4，x1x2＝2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；②∵互異實(shí)數(shù)a，b滿足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，∴a、b為方程x2﹣x﹣5＝0的兩根，∴a+b＝1，a2﹣a＝5，∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6．【點(diǎn)評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，理解一元二次方程兩根和、兩根積與系數(shù)a、b、c的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型五由兩根滿足的關(guān)系式求字母的值題型五由兩根滿足的關(guān)系式求字母的值【例題5】（2023?樂山）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝8，再根據(jù)x1＝3x2，求得x1，x2，進(jìn)一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的兩根為x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．解題技巧提煉（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1+x2和x1x2的值；（2）將已知等式轉(zhuǎn)化為含x1+x2和x1x2的形式；（3）把x1+x2和x1x2的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．【變式5-1】（2023?青山區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程x2+4x﹣a＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2x1﹣x2＝7，則a＝．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣a，聯(lián)立2x1﹣x2＝7，即可求解．【解答】解：依題意，x1+x2＝﹣4①，x1x2＝﹣a②，又∵2x1﹣x2＝7③，由①③可得x1＝1，x2＝﹣5，∴a＝﹣x1x2＝﹣1×（﹣5）＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)，解二元一次方程組，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023?巴州區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x2【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，求出m的范圍即可，已知等式利用完全平方公式化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系將各自的值代入計(jì)算即可求出m的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0，即4（m+2）2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得：4m+5≥0，解得：m≥?5∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m+2），x1x2＝m2﹣1，∵x1∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝58，∴4（m+2）2﹣2（m2﹣1）＝58，解得：m＝2或﹣10，∵m≥?5∴實(shí)數(shù)m的值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x2【變式5-3】（2023春?蜀山區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，代入x1+x2﹣4x1x2＝2得出關(guān)于k的方程，解之可得答案．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）＝4k2+1﹣4k+4k+4＝4k2+5＞0，∴無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，解得：k＝﹣1.5．【點(diǎn)評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．【變式5-4】（2023?隨州一模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可；（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2m?2，x1x2=1m?2，再由（x1+1）（x【解答】解：（1）根據(jù)題意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，解得m≤3且m≠2，即m的取值范圍為m≤3且m≠2；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2m?2，x1x2∵（x1+1）（x2+1）＝﹣2，∴（x1+x2）+x1x2＝﹣3，∴2m?2方程化為3＝﹣3（m﹣2），解得m＝1，經(jīng)檢驗(yàn)m＝1為原方程的解，∴m的值為1．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x2【變式5-5】已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求：m的取值范圍；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長．【分析】（1）由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1?x2＝m2+5，結(jié)合m的取值范圍即可得出m的值；（3）將x＝7代入方程求出m的值，將m的兩個(gè)值分別代回原方程，分別解每一個(gè)方程求出x的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取舍，最后三邊相加可得周長．【解答】解：（1）由題意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得：m≥2；（2）由題意可知：x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，由（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得：x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，即m2﹣2m﹣24＝0，解得：m＝6或m＝﹣4，由（1）知m≥2，∴m＝6；（3）由題意，當(dāng)7是底邊時(shí)，x1＝x2，∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解之m＝2，此時(shí)原方程為x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，∵3+3＜7，不能組成三角形；當(dāng)7是腰時(shí)，x1＝7或x2＝7，即7是方程的一個(gè)根，將x＝7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得：m＝4或m＝10，當(dāng)m＝4時(shí)方程的另一個(gè)根為3，此時(shí)三角形三邊分別為7、7、3，周長為17；當(dāng)m＝10時(shí)，方程的另一個(gè)根為15，7+7＜15，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；綜上述，三角形的周長為17．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根找出Δ＝8m﹣16≥0；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的方程；（3）熟悉方程的解及三角形三邊關(guān)系．【變式5-6】已知：平行四邊形ABCD的兩條邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程2x2﹣2mx+m?1（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長；（2）若AB＝2，求平行四邊形ABCD的周長．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出AB＝AD，結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，將其代入原方程，解之即可得出菱形的邊長；（2）將x＝2代入原方程可求出m的值，將m的值代入原方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程的另一根AD的長，再根據(jù)平行四邊形的周長公式即可求出?ABCD的周長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的長是關(guān)于x的方程2x2﹣2mx+m?1∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×（m?12）＝2（m﹣1）∴m＝1，∴當(dāng)m為1時(shí)，四邊形ABCD是菱形．當(dāng)m＝1時(shí)，原方程為2x2﹣2mx+m?12=0，即（x?解得：x1＝x2=1∴菱形ABCD的邊長是12（2）把x＝2代入原方程，得：8﹣4m+m?1解得：m=5將m=52代入原方程，得：2x2﹣5∴方程的另一根AD＝1÷2=1∴□ABCD的周長是2×（2+1【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合根的判別式，找出關(guān)于m的一元二次方程；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的一根求出方程的另一根．題型六已知兩根求一元二次方程題型六已知兩根求一元二次方程【例題六】（2022秋?固安縣期末）已知一元二次方程的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝﹣3，則這個(gè)方程可以為（）A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．12（x+2）（x+3）＝0 D．12（x﹣2）（【分析】（方法一）由x1＝﹣2，x2＝﹣3，可得出x1+x2＝﹣5，x1?x2＝6，將四個(gè)選項(xiàng)中的方程變形為一般式，利用根與系數(shù)的關(guān)系可找出x1+x2，x1?x2的值，對比后即可得出結(jié)論；（方法二）由一元二次方程的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝﹣3，可設(shè)這個(gè)方程為a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），取a=1【解答】解：（方法一）∵x1＝﹣2，x2＝﹣3，∴x1+x2＝﹣5，x1?x2＝6．A．原方程可變形為x2+x﹣5＝0，∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣5，選項(xiàng)A不符合題意；B．原方程可變形為x2﹣2x﹣9＝0，∴x1+x2＝2，x1?x2＝﹣9，選項(xiàng)B不符合題意；C．原方程可變形為x2+5x+6＝0，∴x1+x2＝﹣5，x1?x2＝6，選項(xiàng)C符合題意；D．原方程可變形為x2﹣5x+6＝0，∴x1+x2＝5，x1?x2＝6，選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．（方法二）∵一元二次方程的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝﹣3，∴設(shè)這個(gè)方程為a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），當(dāng)a=12時(shí)，這個(gè)方程為12（x故選：C．【點(diǎn)評】考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是：（方法一）牢記“兩根之和等于?ba，兩根之積等于ca”；（方法二）由一元二次方程的兩根，找出原方程為a（x+2）（x解題技巧提煉已知方程的兩個(gè)根時(shí)，逆用根與系數(shù)的關(guān)系，還原一元二次方程，在還原過程中，主要符合問題．【變式6-1】以2和﹣7為根的一元二次方程是（）A．x2﹣x﹣9＝0 B．x2+5x+14＝0 C．x2﹣10x﹣14＝0 D．x2+5x﹣14＝0【分析】先計(jì)算出2與﹣7的和、積，然后根據(jù)根與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系寫出滿足條件的一元二次方程，從而得到正確答案．【解答】解：∵2+（﹣7）＝﹣5，2×（﹣7）＝﹣14，∴以2和﹣7為根的一元二次方程可為x2﹣5x﹣14＝0．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x2【變式6-2】（2022秋?昭陽區(qū)校級月考）已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0 B．x2﹣3x+4＝0 C．x2+3x﹣4＝0 D．x2+3x+4＝0【分析】把已知等式代入x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0中確定出所求即可．【解答】解：∵實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，∴以x1，x2為根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋?泰興市期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，則關(guān)于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解為（）A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．以上都不對【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，可得y﹣1＝2或y﹣1＝﹣3，進(jìn)一步求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，∴y﹣1＝2或y﹣1＝﹣3，解得y＝3或y＝﹣2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，找出兩方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則關(guān)于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝2，y2＝﹣4 B．y1＝0，y2＝﹣4 C．y1＝3，y2＝﹣3 D．y1＝1，y2＝﹣3【分析】觀察兩個(gè)方程可得出方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，進(jìn)而可求出y1＝0，y2＝﹣4．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，∴關(guān)于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，∴關(guān)于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，找出y1+1＝1，y2+1＝﹣3是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，得出的兩個(gè)根分別為﹣9，﹣1；乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得出的兩個(gè)根分別為8，2，則這個(gè)方程為．【分析】在一元二次方程x2+px+q＝0中，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比值．【解答】解：∵甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，沒看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，∴q＝（﹣9）×（﹣1）＝9．∵乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，沒看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，∴p＝﹣（8+2）＝﹣10，故這個(gè)方程為x2﹣10x+9＝0．故答案為：x2﹣10x+9＝0．【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是．【分析】利用完全平方公式計(jì)算出x1x2＝2，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出以x1，x2為根的一元二次方程．【解答】解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2為根的一元二次方程為x2﹣3x+2＝0．故答案為：x2﹣3x+2＝0．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1?x2題型七根與系數(shù)的關(guān)系與新定義運(yùn)算題型七根與系數(shù)的關(guān)系與新定義運(yùn)算【例題7】（2022春?環(huán)翠區(qū)期末）新定義運(yùn)算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，則方程x※2＝5兩根的平方和為（）A．4 B．8 C．10 D．不存在【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，整理為一般形式，設(shè)兩根分別為m，n，利用根與系數(shù)的