2.5.1-直線與圓的位置關(guān)系-課件

第二章2.5.1直線與圓的位置關(guān)系1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離；2.會用代數(shù)法和幾何法來判定直線與圓的三種位置關(guān)系；3.會用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實際問題.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達標(biāo)檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點點落實知識點

直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝____________代數(shù)法：消元得到一元二次方程的判別式Δ____________d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0由題型探究

重點難點個個擊破類型一直線與圓的位置關(guān)系的判定例1已知圓C：x2＋y2＝1與直線y＝kx－3k，當(dāng)k為何值時，直線與圓(1)相交；(2)相切；(3)相離.解方法一(代數(shù)法)聯(lián)立消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2).(1)(3)當(dāng)直線和圓相離時，Δ<0，(2)當(dāng)直線和圓相切時，Δ＝0，即k＝±.由條件知，圓的半徑為r＝1.方法二(幾何法)圓心(0,0)到直線y＝kx－3k的距離(3)當(dāng)直線與圓相離時，d>r，(2)當(dāng)直線與圓相切時，d＝r，(1)當(dāng)直線與圓相交時，d<r，反思與感悟直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷；(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷；(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系.跟蹤訓(xùn)練1

(1)直線x－ky＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相離

C.相交或相切 D.相切解析由直線x－ky＋1＝0恒過定點(－1,0)，而(－1,0)恰在圓x2＋y2＝1上，故直線與圓至少有一個公共點，故選C.C(2)過點P(－

，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________________.解析當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l與圓x2＋y2＝1沒有公共點，0°≤α≤60°∴0°≤α≤60°.類型二切線問題例2過點A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求：(1)此切線的方程；解因為(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以點A在圓外.①若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4).設(shè)圓心為C，因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，②若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.即15x＋8y－36＝0.解因為圓心C的坐標(biāo)為(3,1)，設(shè)切點為B，則△ABC為直角三角形，(2)其切線段長.∴切線段長為4.反思與感悟求過某一點的圓的切線方程，首先判定點與圓的位置關(guān)系，以確定切線的數(shù)目.(1)求過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，則由垂直關(guān)系，切線斜率為－

，由點斜式方程可求得切線方程.如果k＝0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y＝b或x＝a.(2)求圓外一點P(x0，y0)的圓的切線時，常用幾何方法求解：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進而切線方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出.跟蹤訓(xùn)練2

(1)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是(

)A.－2或12 B.2或－12

C.－2或－12 D.2或12解析圓方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，D得b＝2或12，故選D.(2)求由下列條件確定的圓x2＋y2＝4的切線方程：∴點P在圓x2＋y2＝4上，②切線斜率為2.解設(shè)圓的切線方程為y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，由圓心到切線的距離為半徑，可得：類型三弦長問題例3

(1)過圓x2＋y2＝8內(nèi)的點P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點.若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長為________.解析

方法一(交點法)由題意知直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.方法二(弦長公式)由題意知直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.消去y，得2x2－2x－7＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法三(幾何法)由題意知直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，(2)圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長為2的圓的方程為________________________.解析設(shè)圓的半徑為r，由條件，得所以r2＝2＋2＝4，r＝2，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(x－2)2＋(y＋1)2＝4(3)直線l經(jīng)過點P(5,5)，且和圓C：x2＋y2＝25相交于A、B兩點，截得的弦長為4，求l的方程.解方法一若直線l的斜率不存在，則l：x＝5與圓C相切，不合題意，所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.方法二若直線l的斜率不存在，則l：x＝5與圓C相切，不合題意，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－5)，且與圓相交于A(x1，y1),B(x2，y2)兩點，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝

或k＝2，均符合題意.故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.由斜率公式，

得y1－y2＝k(x1－x2).反思與感悟求直線與圓相交時的弦長有三種方法(1)交點法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出交點A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間的距離公式|AB|＝

求解.(2)弦長公式：如圖所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝

(直線l的斜率k存在).(3)幾何法：如圖，直線與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有通常采用幾何法較為簡便.跟蹤訓(xùn)練3已知直線l：kx－y＋k＋2＝0與圓C：x2＋y2＝8.(1)證明直線l與圓相交；證明

∵l：kx－y＋k＋2＝0，直線l可化為y－2＝k(x＋1)，∴直線l經(jīng)過定點(－1,2)，∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圓C內(nèi)，∴直線l與圓相交.(2)當(dāng)直線l被圓截得的弦長最短時，求直線l的方程，并求出弦長.解由(1)知，直線l過定點P(－1,2)，又x2＋y2＝8的圓心為原點O，則與OP垂直的直線截得的弦長最短，∵kOP＝－2，設(shè)直線l與圓交于A、B兩點，即x－2y＋5＝0.123達標(biāo)檢測

41.直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(

)A.相切

B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心

D.相離又∵直線y＝x＋1不過圓心(0,0)，∴選B.B12342.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q為(

)A.? B.(1,1)C.{(1,1)} D.{(－1，－1)}

C12343.若直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為(

)A.0或2 B.0或4 C.2 D.4C解得m＝2或m＝0(應(yīng)舍去).12344.直線y＝kx＋3與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，且|MN|≥2，則k的取值范圍是__________.解得k≤0.(－∞，0]規(guī)律與方法1.直線與圓位置關(guān)系的兩種判斷方法比較(1)若直線和圓的方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法較為簡單.(2)若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直線的距離較復(fù)雜，則用代數(shù)法較簡單.2.過一點的圓的切線方程的求法(1)當(dāng)點在圓上時，圓心與該點的連線