蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊同步精講精練2.2圓的對稱性(一)弧、弦、圓心角(八大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.2圓的對稱性第一課時弧、弦、圓心角知識點一知識點一圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合.因此，圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱軸.知識點二知識點二弧、弦、圓心角的關(guān)系◆1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.一個圓心角所對的弧是唯一的.◆2、弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.推論：在同一個圓中，如果弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同一個圓中，如果弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等．【注意】（1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提，如果丟掉了這個前提，即使圓心角相等，圓心角所對的弧、弦也不一定相等．（2）因為弦所對的弧有兩條，所以不可以說“在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等”．題型一弧、弦、圓心角的概念題型一弧、弦、圓心角的概念【例題1】下列說法正確的是（）A．相等的圓心角所對的弧相等 B．在同圓中，等弧所對的圓心角相等 C．在同圓中，相等的弦所對的弧相等 D．相等的弦所對的弧相等解題技巧提煉正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系：三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．【變式1-1】下列說法中，正確的是（）A．等弦所對的弧相等 B．在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等 C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等【變式1-2】（2022春?惠山區(qū)校級月考）下列說法正確的個數(shù)有（）①半圓是?。虎诿娣e相等的兩個圓是等圓；③所對的弦長相等的兩條弧是等弧；④如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等；⑤等弧所對的圓心角相等A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-3】（2022秋?凱里市校級期中）如圖，在⊙O中，AB=CD，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正確的是【變式1-4】（2022秋?慶云縣期中）下列說法中，正確的個數(shù)為（）（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等；（2）優(yōu)弧一定比劣弧長；（3）弧長相等的弧則所對的圓心角相等；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-5】如圖，AB，CD分別為⊙O的兩條弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型二利用弧、弦、圓心角求角度題型二利用弧、弦、圓心角求角度【例題2】（2022?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，AE=BD，若∠AOE＝32°，則∠A．32° B．60° C．68° D．64°解題技巧提煉本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用半徑相等構(gòu)建等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵有時要利用直角三角形的性質(zhì)等知識點．【變式2-1】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）在⊙O中，弦AB等于圓的半徑，則它所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為（）A．120° B．75° C．60° D．30°【變式2-2】（2022秋?延邊州期末）如圖，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，則∠A．60° B．45° C．30° D．40°【變式2-3】（2023?西陵區(qū)模擬）如圖，AB是圓O的直徑，BC、CD、DA是圓O的弦，且BC＝CD＝DA，則∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【變式2-4】（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝34°，則∠AEO【變式2-5】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)．題型三利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)題型三利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)【例題3】（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（）A．28° B．64° C．56° D．124°解題技巧提煉利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)就是求弧所對的圓心角的度數(shù)，有時要利用等腰三角形的性質(zhì)．【變式3-1】如圖，C是⊙O直徑AB上一點，過C作弦DE，使CD＝CO，若AD所對圓心角度數(shù)為40°，則BE所對圓心角度數(shù)為（）A．40° B．80° C．90° D．120°【變式3-2】（2022秋?北侖區(qū)期中）在半徑為1的圓中，長度等于2的弦所對的弧的度數(shù)為．【變式3-3】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連接AD、OD、OC．若AC的度數(shù)是70°，且AD∥OC，求AD的度數(shù)．【變式3-4】如圖，A、B、C、D均為圓O上的點，其中A、B兩點的連線經(jīng)過圓心O，線段AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度數(shù)．【變式3-5】點C是圓O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度數(shù)為40°，求弧BE的度數(shù)．題型四利用弧、弦、圓心角求線段長題型四利用弧、弦、圓心角求線段長【例題4】如圖，點A在半圓O上，BC是直徑，AB=AC．若AB＝2，則BC的長為解題技巧提煉此類問題主要是利用弧，弦之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式4-1】（2022秋?蕪湖期末）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，則⊙OA．3 B．52 C．102 【變式4-2】（2023?貴池區(qū)二模）如圖，點C是直徑AB的三等分點（AC＜CB），點D是弧ADB的三等分點（弧BD＜弧AD），若直徑AB＝12，則DC的長為．【變式4-3】如圖，在⊙O中，AC=12AB，直徑BC＝25，BD=CD，則AD＝題型五利用弧、弦、圓心角比較大小題型五利用弧、弦、圓心角比較大小【例題5】（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中，AB=2CDA．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正確解題技巧提煉本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在同圓中，若∠AOB＝2∠COD，則AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【變式5-2（2022秋?西林縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD的是⊙O中非直徑的任意一條弦，試比較AB與CD的大小，并說明理由．【變式5-3】（2022秋?余姚市月考）如圖，在三個等圓上各有一條劣?。夯B、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小關(guān)系不確定【變式5-4】（2022天河區(qū)一模）如圖，AB為半圓的直徑，點C、D在半圓上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若點C、D在半圓上運動，并保持弧CD的長度不變，（點C、D不與點A、B重合）．試比較∠DAB和∠ABC的大?。}型六弧、弦、圓心角中的倍數(shù)關(guān)系題型六弧、弦、圓心角中的倍數(shù)關(guān)系【例題6】如圖，在⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，D是CO的中點，DE∥AB，求證：EC=2BE解題技巧提煉本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，和30度角的直角三角形，利用圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023?萊西市二模）如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB＝2∠BOC，則下列結(jié)論正確的是（）個①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOCA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-2】（2022?陵城區(qū)模擬）圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為1：3的兩條弧，則弦心距與弦長的比為（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2【變式6-3】（2023?陜西模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC=3BC，則弦AC與弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC題型七弧、弦、圓心角中的證明問題題型七弧、弦、圓心角中的證明問題【例題7】（2022秋?延邊州期末）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點H，AB＝CD，連接AD、BC．求證：AH＝CH．解題技巧提煉本題主要考查在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，如果其中一對量相等，那么其它兩對量也分別相等．同時利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形等圖形的性質(zhì)等，靈活運用圓的性質(zhì)進行證明是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?瑞安市期中）已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且BE＝CE．求證：AD=【變式7-2】（2022秋?硚口區(qū)期末）如圖，⊙O中的弦AB＝CD，AB與CD相交于點E．求證：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【變式7-3】（2022秋?防城港期末）如圖，AC=CB，M，N分別是半徑OA，求證：CM＝CN．【變式7-4】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為AD的中點，連接BM，CM，求證：BM＝CM．【變式7-5】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC＝BD．題型八弧、弦、圓心角中的綜合問題題型八弧、弦、圓心角中的綜合問題【例題8】（2021秋?南昌期中）如圖所示，以￡ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，延長BA交⊙A于G．（1）求證：GE=（2）若BF的度數(shù)為70°，求∠C的度數(shù)．解題技巧提煉解決此類綜合問題，主要是利用了弧、弦、圓心角關(guān)系，同時考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等相關(guān)知識的綜合運用.【變式8-1】（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則AB的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．【變式8-2】如圖，在⊙O中，OA、OB是半徑，OA⊥OB，C、D是AB的三等分點，OC、OD分別交AB于點E、F，求證：AE＝CD＝BF．【變式8-3】如圖，A、B、C為⊙O上三點，且AB=BC=CA，連接AB、（1）試確定△ABC的形狀；（2）若AB＝a，求⊙O的半徑．【變式8-4】（2022春?永嘉縣月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CE=2AE，DE∥AB交OC于點D，延長OC至點F，使FC＝OC，連接EF（1）求證：CD＝OD．（2）若⊙O的直徑是4，求EF的長．【變式8-5】如圖．在四邊形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．?O經(jīng)過點A，B，C，分別交邊AF．FC于點D，E．且E是CD的中點．（1）求證：E是FC的中點．（2）連結(jié)AE，當(dāng)AB＝6．AE＝5時，求AF的長．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.2圓的對稱性第一課時弧、弦、圓心角知識點一知識點一圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合.因此，圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱軸.知識點二知識點二弧、弦、圓心角的關(guān)系◆1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.一個圓心角所對的弧是唯一的.◆2、弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.推論：在同一個圓中，如果弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同一個圓中，如果弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等．【注意】（1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提，如果丟掉了這個前提，即使圓心角相等，圓心角所對的弧、弦也不一定相等．（2）因為弦所對的弧有兩條，所以不可以說“在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等”．題型一弧、弦、圓心角的概念題型一弧、弦、圓心角的概念【例題1】下列說法正確的是（）A．相等的圓心角所對的弧相等 B．在同圓中，等弧所對的圓心角相等 C．在同圓中，相等的弦所對的弧相等 D．相等的弦所對的弧相等【分析】根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系一一判斷即可．【解答】解：A、錯誤．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，本選項不符合題意．B、正確．C、錯誤．弦所對的弧有兩個，不一定相等，本選項不符合題意．D、錯誤．相等的弦所對的弧不一定相等．故選：B．【點評】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．解題技巧提煉正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系：三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．【變式1-1】下列說法中，正確的是（）A．等弦所對的弧相等 B．在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等 C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等【分析】根據(jù)題意畫出符合已知條件的圖形，再逐個判斷即可．【解答】解：A．如圖，弦AB＝弦AB，但是所對的兩段弧不相等，故本選項不符合題意；B．在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，故本選項符合題意；C．如圖，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本選項不符合題意；D．如圖，弦AB＝弦AB，但是圓心角∠ADB和∠ACB不相等，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能熟記圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵，注意：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦，如果其中有一對量相等，那么其余兩對量也分別相等．【變式1-2】（2022春?惠山區(qū)校級月考）下列說法正確的個數(shù)有（）①半圓是??；②面積相等的兩個圓是等圓；③所對的弦長相等的兩條弧是等??；④如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等；⑤等弧所對的圓心角相等A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)半圓，等圓，等弧等知識一一判斷即可．【解答】解：①半圓是弧，正確；②面積相等的兩個圓是等圓，正確，③所對的弦長相等的兩條弧是等弧，錯誤，可能一條是優(yōu)弧，一條是劣?、苋绻麍A心角相等，那么它們所對的弦一定相等，錯誤，應(yīng)該同圓或等圓中．⑤等弧所對的圓心角相等，正確．故選：B．【點評】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，半圓，等圓，等弧等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式1-3】（2022秋?凱里市校級期中）如圖，在⊙O中，AB=CD，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正確的是【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對的圓心角之間的關(guān)系逐項分析即可．【解答】解：在⊙O中，AB=∴AB＝CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴AC=BD故∴AC＝BD，故②正確；∴∠AOC＝∠BOD，故③正確．故答案為：①②③④．【點評】本題考查了定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．【變式1-4】（2022秋?慶云縣期中）下列說法中，正確的個數(shù)為（）（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等；（2）優(yōu)弧一定比劣弧長；（3）弧長相等的弧則所對的圓心角相等；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系一一判斷即可．【解答】解：（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等，錯誤，弦所對的弧有優(yōu)弧或劣弧，不一定相等．（2）優(yōu)弧一定比劣弧長，錯誤，條件是同圓或等圓中；（3）弧長相等的弧則所對的圓心角不一定相等．錯誤；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等．正確；故選：A．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角，弧，弦之間的關(guān)系．【變式1-5】如圖，AB，CD分別為⊙O的兩條弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)“在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等”得到AB與CD之間的關(guān)系；根據(jù)圓心角、弧、弦及弦心距四者之間的關(guān)系即可得到弦AB與CD，弦心距OM與ON的數(shù)量關(guān)系，進而得出正確選項．【解答】解：∵AB，CD分別為⊙O的兩條弦，∠AOB＝∠COD，∴AB=CD，故∵AB=CD，OM⊥AB于M，ON⊥CD于∴AB＝CD，OM＝ON，故①②正確．綜上可知，正確的有3個．故選：D．【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦及弦心距的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧、弦及弦心距四者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型二利用弧、弦、圓心角求角度題型二利用弧、弦、圓心角求角度【例題2】（2022?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，AE=BD，若∠AOE＝32°，則∠A．32° B．60° C．68° D．64°【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用對頂角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠【解答】解：∵AE=∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故選：D．【點評】本題主要考查等弧和圓心角的關(guān)系，熟知在同圓中，等弧所對的圓心角相等，和對頂角相等是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用半徑相等構(gòu)建等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵有時要利用直角三角形的性質(zhì)等知識點．【變式2-1】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）在⊙O中，弦AB等于圓的半徑，則它所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為（）A．120° B．75° C．60° D．30°【分析】連接OA、OB，如圖，通過證明△OAB為等邊三角形得到∠AOB＝60°．【解答】解：連接OA、OB，如圖，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，即弦AB所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為60°．故選：C．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用半徑相等構(gòu)建等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?延邊州期末）如圖，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，則∠A．60° B．45° C．30° D．40°【分析】在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，由此即可得到答案．【解答】解：∵AB=∴∠COD＝∠AOB＝45°．故選：B．【點評】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握：在同圓或等圓中，圓心角，弧，弦的關(guān)系．【變式2-3】（2023?西陵區(qū)模擬）如圖，AB是圓O的直徑，BC、CD、DA是圓O的弦，且BC＝CD＝DA，則∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圓，從而不難求得∠BCD的度數(shù)．【解答】解：連接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD=1故選：C．【點評】本題考查了弧、弦與圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．注意半圓對的圓心角為180°．【變式2-4】（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝34°，則∠AEO【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，繼而可求得∠【解答】解：如圖，∵BC=CD=∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO=1故答案為：51°．【點評】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式2-5】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)．【分析】連接AD，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出∠C，根據(jù)∠ADC＝∠C＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，求出∠DAE＝50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DEA＝∠ADE，再求出答案即可．【解答】解：連接AD，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，∵∠CAB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°，∵AD＝AE，∴∠DEA＝∠ADE=12（180°﹣∠【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余是解此題的關(guān)鍵．題型三利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)題型三利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)【例題3】（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（）A．28° B．64° C．56° D．124°【分析】先利用互余計算出∠B＝64°，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB＝∠B＝64°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠BCD，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴BD的度數(shù)為56°．故選：C．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．解題技巧提煉利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)就是求弧所對的圓心角的度數(shù)，有時要利用等腰三角形的性質(zhì)．【變式3-1】如圖，C是⊙O直徑AB上一點，過C作弦DE，使CD＝CO，若AD所對圓心角度數(shù)為40°，則BE所對圓心角度數(shù)為（）A．40° B．80° C．90° D．120°【分析】連接OE，OD，由CD＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠D＝∠COD＝40°，再利用三角形外角性質(zhì)得∠OCE＝∠D+∠COD＝80°，由OD＝OE得∠E＝∠D＝40°，然后利用∠BOE＝∠OCE+∠E進行計算．【解答】解：連接OE，OD，如圖，∵AD所對圓心角度數(shù)為40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠D＝∠COD＝40°，∴∠OCE＝∠D+∠COD＝80°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠D＝40°，∴∠BOE＝∠OCE+∠E＝120°．即BE所對圓心角度數(shù)為120°．故選：D．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．【變式3-2】（2022秋?北侖區(qū)期中）在半徑為1的圓中，長度等于2的弦所對的弧的度數(shù)為．【分析】如圖，⊙O的半徑為1，弦AB=2，連接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判斷△OAB為等腰直角三角形，則∠AOB【解答】解：如圖，⊙O的半徑為1，弦AB=2連接OA、OB，∵OA＝OB＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴AB所所的弧的度數(shù)為90°或270°．故答案為90°或270°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．【變式3-3】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連接AD、OD、OC．若AC的度數(shù)是70°，且AD∥OC，求AD的度數(shù)．【分析】利用圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)得到∠AOC＝70°，則利用平行線的性質(zhì)得∠A＝∠AOC＝70°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠AOD＝40°，從而得到AD的度數(shù)．【解答】解：∵AC的度數(shù)70°，∴∠AOC＝70°，∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°，∵OA＝OC，∴∠D＝∠A＝70°，∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴AD的度數(shù)為40°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．【變式3-4】如圖，A、B、C、D均為圓O上的點，其中A、B兩點的連線經(jīng)過圓心O，線段AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度數(shù)．【分析】求∠AOC的度數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為求∠C與∠E的問題．【解答】解：連接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝16°，∴∠DOE＝∠E＝16°，∴∠ODC＝33°，同理∠C＝∠ODC＝32°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝48°，∴AC的度數(shù)＝48°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦以及三角形的外角和定理，外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【變式3-5】點C是圓O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度數(shù)為40°，求弧BE的度數(shù)．【分析】根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)，由弧AD的度數(shù)為40度得∠AOD＝40°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠D＝∠COD＝40°，于是利用三角形外角性質(zhì)可得到∠ECO＝80°，加上∠E＝∠D＝40°，所以∠BOE＝∠E+∠ECO＝120°，由此可得弧BE的度數(shù)為120°．【解答】解：∵弧AD的度數(shù)為40度，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠D＝∠COD＝40°，∴∠ECO＝2∠D＝80°，∵OE＝OD，∴∠E＝∠D＝40°，∴∠BOE＝∠E+∠ECO＝40°+80°＝120°，∴弧BE的度數(shù)為120°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．題型四利用弧、弦、圓心角求線段長題型四利用弧、弦、圓心角求線段長【例題4】如圖，點A在半圓O上，BC是直徑，AB=AC．若AB＝2，則BC的長為【分析】連接OA，由圓心角，弦，弧的關(guān)系可得OA⊥BC，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可求解OB的長，進而可求解BC的長．【解答】解：連接OA，∵AB=AC，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB=2∴BC＝2OA=22故答案為：22【點評】本題主要考查圓周角，弦，弧的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，求解OA，OB的長是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉此類問題主要是利用弧，弦之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式4-1】（2022秋?蕪湖期末）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，則⊙OA．3 B．52 C．102 【分析】過點A作AE⊥CB交CB的延長線于點E連接AC．證明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得結(jié)論．【解答】解：過點A作AE⊥CB交CB的延長線于點E連接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC=1∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB=2∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC=A∴OA＝OC=22AC故選：C．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式4-2】（2023?貴池區(qū)二模）如圖，點C是直徑AB的三等分點（AC＜CB），點D是弧ADB的三等分點（弧BD＜弧AD），若直徑AB＝12，則DC的長為．【分析】過D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的長度，求出CE，再根據(jù)勾股定理求出DC即可．【解答】解：過D作DE⊥AB于E，則∠DEC＝90°，∵點C是直徑AB的三等分點（AC＜CB），直徑AB＝12，∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6，∴CO＝2，∵點D是弧ADB的三等分點（弧BD＜弧AD），∴∠DOB=1∴∠ODE＝30°，∴OE=12OD＝3，DE=D∴CE＝OE+CO＝3+2＝5，∴DC=DE2故答案為：213．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和直角三角形的性質(zhì)，能求出∠DOB＝60°和半徑的長度是解此題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，在⊙O中，AC=12AB，直徑BC＝25，BD=CD，則AD＝【分析】如圖，連接DB，DC，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC的延長線于點F．證明四邊形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想辦法求出AF【解答】解：如圖，連接DB，DC，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC的延長線于點F．∵BC是直徑，∴∠BAC＝90°，∵BC＝25，AB＝2AC，∴AC＝2，AB＝4，∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四邊形DEAF是正方形，∴AD=2AF∵∠DAB＝∠DAC，∴BD=∴BD＝CD，∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，∴AF＝3，∴AD=2AF＝32故答案為：32．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，特殊四邊形解決問題．題型五利用弧、弦、圓心角比較大小題型五利用弧、弦、圓心角比較大小【例題5】（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中，AB=2CDA．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正確【分析】首先取AB的中點E，連接AE，BE，由在⊙O中，AB=2CD，可證得AE=BE=CD，即可得AE【解答】解：取AB的中點E，連接AE，BE，∵在⊙O中，AB=2CD∴AE=∴AE＝BE＝CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故選：C．【點評】此題考查了弧與弦的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧，所對的弦相等．解題技巧提煉本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在同圓中，若∠AOB＝2∠COD，則AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠AOE＝∠EOB，進而利用圓心角與弧的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系可直接求解．【解答】解：作∠AOB的角平分線OE，交圓O于E，如圖：∵OE平分∠AOB，∴∠AOE＝∠EOB，∵∠AOB＝2∠COD，∴∠AOE＝∠EOB＝∠COD，∴AE=∴AE＝BE＝CD，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2（2022秋?西林縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD的是⊙O中非直徑的任意一條弦，試比較AB與CD的大小，并說明理由．【分析】連接OC，OD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OC，OD，∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，∴AB＞CD．【變式5-3】（2022秋?余姚市月考）如圖，在三個等圓上各有一條劣?。夯B、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小關(guān)系不確定【分析】在弧EF上取一點M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB＝FM，CD＝EM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出FM+EM＞FE即可．【解答】解：如圖，在弧EF上取一點M使弧EM＝弧CD，則弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，F(xiàn)M+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故選：C．【變式5-4】（2022天河區(qū)一模）如圖，AB為半圓的直徑，點C、D在半圓上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若點C、D在半圓上運動，并保持弧CD的長度不變，（點C、D不與點A、B重合）．試比較∠DAB和∠ABC的大小．【分析】（1）根據(jù)弧和圓心角之間的關(guān)系可以得到圓周角的大?。唬?）利用相等的弧所對的圓周角相等可以判斷圓周角的大小關(guān)系．【解答】解：（1）∵BC∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°∴∠DAB=12∠BOD=12（∠∠ABC=12∠AOC=12（∠（2）①若AD＜CB，則∠DAB＞∠②若AD=CB，則∠DAB＝∠③若AD＞CB，則∠DAB題型六弧、弦、圓心角中的倍數(shù)關(guān)系題型六弧、弦、圓心角中的倍數(shù)關(guān)系【例題6】如圖，在⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，D是CO的中點，DE∥AB，求證：EC=2BE【分析】首先推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根據(jù)OD=12OC=12OE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根據(jù)OC⊥AB，求出∠【解答】證明：∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO＝90°，∵D為OC中點，∴OD=12OC=∴∠DEO＝30°，∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，即∠BOE＝30°，∠COE＝60°，∴EC=2BE【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，和30度角的直角三角形，利用圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，和30度角的直角三角形，利用圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023?萊西市二模）如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB＝2∠BOC，則下列結(jié)論正確的是（）個①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOCA．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先取AB的中點D，連接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，繼而證得AB＜2BC，又由圓周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB．【解答】解：取AB的中點D，連接AD，BD，∵∠AOB＝2∠BOC，∴AB=2BC，故②∴AD=∴AD＝BD＝BC，∵AB＜AD+BD，∴AB＜2BC．故①錯誤，∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB，∴∠AOB＝4∠CAB，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正確．故選：C．【點評】此題考查了弧、弦與圓心角的關(guān)系以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式6-2】（2022?陵城區(qū)模擬）圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為1：3的兩條弧，則弦心距與弦長的比為（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2【分析】根據(jù)已知條件得到弦所對的圓心角∠AOB=14×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，過O作OC⊥AB【解答】解：弦AB將⊙O分成了度數(shù)比為1：3兩條?。畡t弦所對的圓心角∠AOB=1∴△AOB是等腰直角三角形，過O作OC⊥AB于C，∴OC=12∴弦心距與弦長的比為1：2，故選：D．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在解答此類問題時要注意是在“同圓或等圓中”才適用，這是此類問題的易錯點．【變式6-3】（2023?陜西模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC=3BC，則弦AC與弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC【分析】如圖，過點O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，證明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD=2x，計算AC和BC【解答】解：如圖，過點O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC=3BC∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，設(shè)CD＝CB＝x，則AD＝BD=2x∴BCAC∴AC＝（2+1）BC故選：C．【點評】本題考查了圓心角和弧的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，常通過作輔助線構(gòu)建等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．題型七弧、弦、圓心角中的證明問題題型七弧、弦、圓心角中的證明問題【例題7】（2022秋?延邊州期末）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點H，AB＝CD，連接AD、BC．求證：AH＝CH．【分析】根據(jù)圓中的性質(zhì)，可知AD＝BC，可證得△ADH≌△CBH（ASA），可得AH＝CH．【解答】證明：∵AB＝CD，∴AB=CD，即∴BC=∴AD＝BC，又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，∴△ADH≌△CBH（ASA），∴AH＝CH．【點評】本題主要考查圓中的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用圓的性質(zhì)進行證明是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題主要考查在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，如果其中一對量相等，那么其它兩對量也分別相等．同時利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形等圖形的性質(zhì)等，靈活運用圓的性質(zhì)進行證明是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?瑞安市期中）已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且BE＝CE．求證：AD=【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得出∴AD=BE，【解答】證明：∵圓心角∠BOE＝圓心角∠AOD，∴BE=∵BE＝CE，BE=∴AD=【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，能熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵，在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，如果其中一對量相等，那么其它兩對量也分別相等．【變式7-2】（2022秋?硚口區(qū)期末）如圖，⊙O中的弦AB＝CD，AB與CD相交于點E．求證：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【分析】（1）由AB＝CD得到AB=CD，則∴（2）根據(jù)圓周角定理，由AC=BD得到∠ADC＝∠DAB，則EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝【解答】證明：（1）∵AB＝CD，∴AB=即AD+∴AC=∴AC＝BD；（2）∵AC=∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．【變式7-3】（2022秋?防城港期末）如圖，AC=CB，M，N分別是半徑OA，求證：CM＝CN．【分析】利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得CM＝CN．【解答】證明：在⊙O中，∵AC=∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，M，N分別是半徑OA、OB的中點，∴OM＝ON，在△COM和△CON中，OC=OC∠COM=∠CON∴△COM≌△CON（SAS），∴CM＝CN（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及全等三角形的判定與性質(zhì)．掌握其判定方法是解決此題的關(guān)鍵．【變式7-4】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為AD的中點，連接BM，CM，求證：BM＝CM．【分析】根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB=∵M為AD中點，∴AM=∴AB+AM=∴BM＝CM．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC＝BD．【分析】連接OC、OD，根據(jù)已知條件，易證△OCM≌△ODN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，∠AOC＝∠BOD，根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理可知，AC＝BD．【解答】證明：連接OC、OD，∵AB是⊙O的直徑，∴AO＝BO，∵M，N分別為AO、BO的中點，∴OM＝ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△OCM與△ODN都是直角三角形，又∵OC＝OD，∴△OCM≌△ODN（HL），∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD．【點評】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，此定理應(yīng)用非常廣泛，為證明線段相等和角的相等提供了依據(jù)．題型八弧、弦、圓心角中的綜合問題題型八弧、弦、圓心角中的綜合問題【例題8】（2021秋?南昌期中）如圖所示，以￡ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，延長BA交⊙A于G．（1）求證：GE=（2）若BF的度數(shù)為70°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）要證明GE=EF，則要證明∠DAF＝∠（2）根據(jù)BF的度數(shù)為70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB=12（180°﹣∠【解答】（1）證明：連接AF．∵A為圓心，∴AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，∴∠DAF＝∠GAD，∴GE=（2）解：∵BF的度數(shù)為70°，∴∠BAF＝70°，∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB=12（180°﹣∠∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠B＝125°．【點評】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠DAF＝∠GAD，題目比較典型，難度不大．解題技巧提煉解決此類綜合問題，主要是利用了弧、弦、圓心角關(guān)系，同時考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等相關(guān)知識的綜合運用.【變式8-1】（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則AB的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)圓周角、弧、弦間的關(guān)系可以得到AB＝AC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)解答；（2）連接AO，延長AO交BC于D，則AD⊥BC，構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理求得該圓的半徑即可．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵AB=∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴AB=故答案為：130；（2）連接AO，延長AO交BC于D，則AD⊥BC，BD＝CD=12∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD=A在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB=16924，即⊙O的半徑是【點評】考查了圓周角、弧、弦的