蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊同步精講精練專題1-3一元二次方程根的判別式(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》專題1-3一元二次方程根的判別式知識點知識點一元二次方程根的判別式◆1、一般地，式子b2﹣4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac．◆2、利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◆3、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況的步驟:①把一元二次方程化為一般形式；②確定a，b，c的值；③計算b2﹣4ac的值；④根據(jù)b2﹣4ac的符合判定方程根的情況．◆4、運用根的判別式時的注意事項（1）將方程化成一般形式后才能確定a，b，c的值．（2）確定a，b，c的值時不要漏掉符合．題型一利用根的判別式判斷根的情況題型一利用根的判別式判斷根的情況【例題1】（2023?淮南一模）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A．x2+4＝2x B．（x+1）2＝0 C．x2﹣2023x＝0 D．x2+2＝3x解題技巧提煉①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式1-1】（2023春?淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情況是（）A．方程有兩個不相等的實數(shù)根 B．方程有兩個相等的實數(shù)根 C．方程沒有實數(shù)根 D．無法判斷【變式1-2】（2023?新會區(qū)二模）下列關(guān)于x的一元二次方程中有兩個相等的實數(shù)根的是（）A．（x﹣3）2＝4 B．x2＝x C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣16＝0【變式1-3】（2023?郯城縣二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情況為（）A．無實數(shù)根 B．有兩個不等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．不能判定【變式1-4】（2023?貴州模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一個根是x＝1，則方程x2+6x﹣c＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．有一個根是x＝1【變式1-5】（2023?內(nèi)鄉(xiāng)縣校級三模）已知a，c互為倒數(shù)，則關(guān)于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．有一根為1【變式1-6】（2023?扶溝縣二模）若|a﹣3|+b?2=0，則關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定題型二利用根的判別式求字母的值題型二利用根的判別式求字母的值【例題2】（2023?安徽模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（）﹣2 B．﹣2或6 C．6 D．﹣6或2解題技巧提煉用一元二次方程根的判別式求字母的值的解題步驟：（1）確定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.（2）計算判別式，根據(jù)題設(shè)列方程；（3）解方程求出字母的值.【變式2-1】（2023?淮陽區(qū)校級三模）若關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有兩個相等實數(shù)根，則m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【變式2-2】（2023春?樂清市月考）若關(guān)于x的方程x2﹣4x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的值可以是（）A．﹣4 B．4 C．8 D．16【變式2-3】（2023?永嘉縣二模）若關(guān)于x的方程x2+6x+18a＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A．?12 B．12 【變式2-4】（2023?駐馬店二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．【變式2-5】（2023?永嘉縣三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有兩個相等的實數(shù)根，則正數(shù)b的值是．題型三利用根的判別式確定字母的取值范圍題型三利用根的判別式確定字母的取值范圍【例題3】（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0解題技巧提煉用一元二次方程根的判別式求字母的取值范圍的解題步驟：（1）確定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.（2）計算判別式，根據(jù)題設(shè)列不等式；（3）解不等式求出字母的取值范圍.【變式3-1】（2023?金水區(qū)校級三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．【變式3-2】（2023?中牟縣二模）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1【變式3-3】（2023春?寧明縣期中）關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【變式3-4】（2023?市北區(qū)三模）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．【變式3-5】（2023?蘭考縣一模）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2?A．k＜13 B．k＜13C．?13≤k＜13且k≠0 【變式3-6】（2023?西寧二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a的取值范圍；（2）若a為正整數(shù)，求一元二次方程的解．題型四利用根的判別式求代數(shù)式的值題型四利用根的判別式求代數(shù)式的值【例題4】（2023?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4解題技巧提煉先根據(jù)題意根據(jù)根的判別式求出字母的值，再代入代數(shù)式中求值即可．【變式4-1】若關(guān)于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個相等實數(shù)根，則代數(shù)式2m2﹣8m+1的值為．【變式4-2】（2023?曹妃甸區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8m﹣2m2+10的值為（）A．18 B．10 C．4 D．2【變式4-3】關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8a﹣2b2+6的值是．【變式4-4】若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（k﹣2）2+2k（1﹣kA．3 B．﹣3 C．?72 【變式4-5】（2022?江夏區(qū)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式a2﹣2aA．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2【變式4-6】若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（3b﹣1）2﹣5b（2b?45題型五利用根的判別式證明方程根的必然情況題型五利用根的判別式證明方程根的必然情況【例題5】（2023?豐臺區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）選擇一個m的值，使得方程至少有一個正整數(shù)根，并求出此時方程的根．解題技巧提煉要想證明一元二次方程的實數(shù)根的情況，一般要表示出Δ的值，再根據(jù)Δ來判斷根的情況，通常要把判別式化成一個非負數(shù)和某個常數(shù)的和的形式．【變式5-1】（2023?門頭溝區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果此方程的一個根為1，求k的值．【變式5-2】（2023?工業(yè)園區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若該方程有一個根是x＝2，求m的值；（2）求證：無論m取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．【變式5-3】（2023?大興區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【變式5-4】（2023?順義區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若b為正整數(shù)，且方程有一個根為負數(shù)，求b的值．【變式5-5】（2022春?通州區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求證：此方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果這個方程根的判別式的值等于9，求a的值．題型六根的判別式與新定義運算題型六根的判別式與新定義運算【例題6】（2023?新鄉(xiāng)三模）對于實數(shù)a，b定義運算“※”為a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若關(guān)于x的方程3※x＝﹣m沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0解題技巧提煉根據(jù)新定義運算列出方程，然后再利用根的判別式來解決問題.【變式6-1】（2023?內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）定義運算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-2】（2023?棗莊二模）定義新運算a*b，對于任意實數(shù)a，b滿足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）A．有一個實根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【變式6-3】（2023?平頂山二模）定義運算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，則方程x※1＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【變式6-4】（2023?息縣一模）定義新運算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，則方程2◎x＝5的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【變式6-5】定義新運算：對于任意實數(shù)，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，請判斷方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情況．【變式6-6】（2022?石家莊模擬）定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據(jù)以上知識解決問題：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，請判斷方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．題型七根的判別式與三角形知識的綜合應(yīng)用題型七根的判別式與三角形知識的綜合應(yīng)用【例題7】（2023?寧南縣模擬）已知等腰三角形ABC的一邊長a＝6，另外兩邊的長b，c恰好是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的兩個根，則△ABC的周長為．解題技巧提煉（1）由根的情況判斷三角形形狀：先由根的判別式得出等式，再利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等確定三角形的形狀．（2）利用三邊關(guān)系判斷一元二次方程根的情況：先寫出根的判別式，再通過三邊關(guān)系確定判別式的符號，得出根的情況．【變式7-1】（2022春?雙流區(qū)期末）已知等腰△ABC的底邊長為3，兩腰長恰好是關(guān)于x的一元二次方程14kx2?(k+3)x2+3＝0的兩根，則△【變式7-2】（2023?萊蕪區(qū)三模）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的兩個根，則k的值等于（）A．3 B．5或9 C．5 D．9【變式7-3】（2023春?鄞州區(qū)期中）若等腰△ABC的一邊長6，另兩邊長恰好是關(guān)于x方程x2﹣10x+m＝0的兩個實數(shù)根，則△ABC的面積為．【變式7-4】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求證：不論k取何值，此一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若此一元二次方程的兩根是Rt△ABC兩直角邊AB、AC的長，斜邊BC的長為10，求k的值．【變式7-5】已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長a＝5，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【變式7-6】（2022春?長興縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣b）x2﹣2cx+a+b＝0有兩個相等的實數(shù)根，其中a，b，c是△ABC的三邊長．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若a＝5，b＝3，求這個一元二次方程的根；（3）若AD是BC邊上的高，AB=13，BD＝3，求CD∴CD=4

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》專題1-3一元二次方程根的判別式知識點知識點一元二次方程根的判別式◆1、一般地，式子b2﹣4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac．◆2、利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◆3、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況的步驟:①把一元二次方程化為一般形式；②確定a，b，c的值；③計算b2﹣4ac的值；④根據(jù)b2﹣4ac的符合判定方程根的情況．◆4、運用根的判別式時的注意事項（1）將方程化成一般形式后才能確定a，b，c的值．（2）確定a，b，c的值時不要漏掉符合．題型一利用根的判別式判斷根的情況題型一利用根的判別式判斷根的情況【例題1】（2023?淮南一模）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A．x2+4＝2x B．（x+1）2＝0 C．x2﹣2023x＝0 D．x2+2＝3x【分析】求出一元二次方程根的判別式，根據(jù)符號即可得到結(jié)論．【解答】解：A、方程x2+4＝2x可化為x2﹣2x+4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程無實數(shù)根，故本選項符合題意；B、∵方程（x+1）2＝0，∴x1＝x2＝﹣1，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項不符合題意；C、方程整理得x2﹣2023x＝0，∵Δ＝20232﹣4×1×0＝20232＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項不符合題意；D、方程整理得x2﹣3x+2＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項不符合題意．故選：A．【點評】此題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與方程解的情況之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．解題技巧提煉①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式1-1】（2023春?淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情況是（）A．方程有兩個不相等的實數(shù)根 B．方程有兩個相等的實數(shù)根 C．方程沒有實數(shù)根 D．無法判斷【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進行判斷．【解答】解：∵2x2﹣5x+7＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×7＝﹣31＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式1-2】（2023?新會區(qū)二模）下列關(guān)于x的一元二次方程中有兩個相等的實數(shù)根的是（）A．（x﹣3）2＝4 B．x2＝x C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣16＝0【分析】通過解方程求得方程的解或根據(jù)根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號判斷即可．【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x1＝1，x2＝5，故本選項不符合題意；B、∵x2＝x，∴x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1，故本選項不符合題意；C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，該方程有兩個相等實數(shù)根．故本選項符合題意；D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故本選項不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了根的判別式．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．【變式1-3】（2023?郯城縣二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情況為（）A．無實數(shù)根 B．有兩個不等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．不能判定【分析】先計算出根的判別式的值得到Δ＜0，根據(jù)根的判別式的意義對各選項進行判斷．【解答】解：一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6可化為3x2﹣5x+6＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×6＝﹣47＜0，∴方程無實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式1-4】（2023?貴州模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一個根是x＝1，則方程x2+6x﹣c＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．有一個根是x＝1【分析】先把x＝1代入方程x2+6x+c＝0可得到c＝﹣7，則方程x2+6x﹣c＝0化為x2+6x+7＝0，再計算根的判別式的值得到Δ＝8＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，解得c＝﹣7，所以方程x2+6x﹣c＝0化為x2+6x+7＝0，∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，∴方程x2+6x﹣c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解．【變式1-5】（2023?內(nèi)鄉(xiāng)縣校級三模）已知a，c互為倒數(shù)，則關(guān)于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．有一根為1【分析】根據(jù)根的判別式得到Δ＝1﹣4ac，根據(jù)a，c互為倒數(shù)，得到ac＝1，解之即可．【解答】解：關(guān)于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的判別式為Δ＝1﹣4ac，∵a，c互為倒數(shù)，∴ac＝1，∴1﹣4ac＜0．∴原方程無實數(shù)根，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的定義．【變式1-6】（2023?扶溝縣二模）若|a﹣3|+b?2=0，則關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【分析】先根據(jù)非負性求出a和b的值，再計算根的判別式的值得到Δ，然后根據(jù)根的判別式的意義進行判斷．【解答】解：∵|a﹣3|+b?2∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝3，b＝2，∴關(guān)于x的一元二次方程為x2+x+1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值，非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．題型二利用根的判別式求字母的值題型二利用根的判別式求字母的值【例題2】（2023?安徽模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（）A．﹣2 B．﹣2或6 C．6 D．﹣6或2【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有兩個相等的實數(shù)根可知Δ＝0，故可得出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即Δ＝（﹣k）2﹣4（k+3）＝0，解得k＝6或﹣2．故選：B．【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉用一元二次方程根的判別式求字母的值的解題步驟：（1）確定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.（2）計算判別式，根據(jù)題設(shè)列方程；（3）解方程求出字母的值.【變式2-1】（2023?淮陽區(qū)校級三模）若關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有兩個相等實數(shù)根，則m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【分析】由方程有兩個相等的實數(shù)根可得其判別式等于0，可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有兩個相等實數(shù)根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．故選：D．【點評】本題主要考查根的判別式，由方程根的情況得到m的方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春?樂清市月考）若關(guān)于x的方程x2﹣4x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的值可以是（）A．﹣4 B．4 C．8 D．16【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，計算根的判別式得關(guān)于c的方程，求解方程即可．【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＞0，∴16﹣4c＞0，解得c＜4．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，利用一元二次方程根的判別式（Δ＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．【變式2-3】（2023?永嘉縣二模）若關(guān)于x的方程x2+6x+18a＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A．?12 B．12 【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝62﹣4×18a＝0，然后解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝62﹣4×18a＝0，解得a=1故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式2-4】（2023?駐馬店二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．【分析】先計算根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值．有兩個相等實數(shù)根的一元二次方程就是判別式的值是0，由此建立關(guān)于m的方程解答即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣3x+2﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴（﹣3）2﹣4×1×（2﹣m）＝0，解得：m=?1故答案為：?1【點評】此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）當Δ＞0則方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當Δ＝0則方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當Δ＜0則方程沒有實數(shù)根．【變式2-5】（2023?永嘉縣三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有兩個相等的實數(shù)根，則正數(shù)b的值是．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到Δ＝b2﹣4×16＝0，然后解關(guān)于b的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝b2﹣4×16＝0，解得b1＝8，b2＝﹣8，所以正數(shù)b的值為8．故答案為：8．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．題型三利用根的判別式確定字母的取值范圍題型三利用根的判別式確定字母的取值范圍【例題3】（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列得不等式并計算即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數(shù)解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故選：D．【點評】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式，特別注意二次項系數(shù)不能為0．解題技巧提煉用一元二次方程根的判別式求字母的取值范圍的解題步驟：（1）確定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.（2）計算判別式，根據(jù)題設(shè)列不等式；（3）解不等式求出字母的取值范圍.【變式3-1】（2023?金水區(qū)校級三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，解得k＜?3故答案為：k＜?3【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式3-2】（2023?中牟縣二模）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，解得m≥0且m≠1，即m的取值范圍為m≥0且m≠1．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．【變式3-3】（2023春?寧明縣期中）關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項系數(shù)不為0，即可求出整數(shù)a的最大值．【解答】解：根據(jù)題意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，解得：a≤?23，則整數(shù)a的最大值為﹣2．故選：A．【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023?市北區(qū)三模）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，再求出兩個不等式的公共部分即可得到答案．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，解得：k＞0且k≠1．故答案為：k＞0且k≠1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根，解題時注意不能忽視二次項系數(shù)不為零的條件．【變式3-5】（2023?蘭考縣一模）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2?A．k＜13 B．k＜13C．?13≤k＜13且k≠0 【分析】首先根據(jù)一元二次方程的定義，確定字母k的取值范圍，然后結(jié)合根的判別式以及二次根式的定義繼續(xù)求解k的取值范圍即可．【解答】解：∵原方程為一元二次方程，∴k≠0，∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ=(?3k+1解得：k＜1，又∵3k+1為二次根式，∴3k+1≥0，解得：k≥?1∴k的取值范圍是?13≤k＜1故選：D．【點評】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況判斷參數(shù)，理解根的判別式，以及一元二次方程的基本定義和二次根式的定義是解題關(guān)鍵．【變式3-6】（2023?西寧二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a的取值范圍；（2）若a為正整數(shù)，求一元二次方程的解．【分析】（1）根據(jù)方程根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍；（2）由（1）可求得a的正整數(shù)，代入原方程，解之即可求出方程的根．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4（2a﹣1）＞0，解得a＜15∴a的取值范圍為a＜15（2）∵a＜158，且∴a＝1．此時，方程為x2﹣3x+1＝0，解得：x1=3+52，x∴方程的根為x1=3+52，x【點評】本題主要考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）熟記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）熟練掌握一元二次的解法—公式法．題型四利用根的判別式求代數(shù)式的值題型四利用根的判別式求代數(shù)式的值【例題4】（2023?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】由一元二次方程有有兩個相等的實數(shù)根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再將其代入所求式子中計算即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故選：A．【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解題關(guān)鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．解題技巧提煉先根據(jù)題意根據(jù)根的判別式求出字母的值，再代入代數(shù)式中求值即可．【變式4-1】若關(guān)于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個相等實數(shù)根，則代數(shù)式2m2﹣8m+1的值為．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，將其代入2m2﹣8m+1中即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個相等實數(shù)根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023?曹妃甸區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8m﹣2m2+10的值為（）A．18 B．10 C．4 D．2【分析】先根據(jù)根的判別式得到：Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，則m2﹣4m＝4，再將代數(shù)式8m﹣2m2+10變形后把m2﹣4m＝4代入計算即可．【解答】解：根據(jù)題意，得Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，整理，得m2﹣4m＝4，所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．【變式4-3】關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8a﹣2b2+6的值是．【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，則b2﹣4a＝4，再將代數(shù)式8a﹣2b2+6變形后把b2﹣4a＝4代入計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，∴b2﹣4a＝4，所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，故答案為﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．【變式4-4】若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（k﹣2）2+2k（1﹣kA．3 B．﹣3 C．?72 【分析】利用判別式的意義得到Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，則k2+2【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（2k）2﹣4×12×∴k2+2k=1∴（k﹣2）2+2k（1﹣k）＝k2﹣4k+4+2k﹣2k2＝﹣k2﹣2k+4＝﹣（k2+2k）+4=?1=7故選：D．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．【變式4-5】（2022?江夏區(qū)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式a2﹣2aA．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，則a2﹣3a+1＝0，再將a2＝3a﹣1代入代數(shù)式得到a+1a，通分后得到a2【解答】解：根據(jù)題意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2∴a2＝3a﹣1，所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．【變式4-6】若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（3b﹣1）2﹣5b（2b?45【分析】化簡代數(shù)式得﹣（b2+2b）+1，根據(jù)一元二次方程根的判別式，求得b2+2b=1【解答】解：∵一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b∴（﹣2b）2﹣4×12×（﹣4b+1）＝4b2∴b2+2b=1∴（3b﹣1）2﹣5b（2b?45）＝﹣b2﹣2b+1＝﹣（b2+2b）+1=?1故答案為：12【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，多項式乘法，熟練掌握整體代入方法是解決問題的關(guān)鍵．題型五利用根的判別式證明方程根的必然情況題型五利用根的判別式證明方程根的必然情況【例題5】（2023?豐臺區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）選擇一個m的值，使得方程至少有一個正整數(shù)根，并求出此時方程的根．【分析】（1）先計算根的判別式的值得到Δ＞0，從而利用根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）m可以取0，然后利用直接開平方法解方程．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，∴該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：當m＝0時，方程化為x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個根．解題技巧提煉要想證明一元二次方程的實數(shù)根的情況，一般要表示出Δ的值，再根據(jù)Δ來判斷根的情況，通常要把判別式化成一個非負數(shù)和某個常數(shù)的和的形式．【變式5-1】（2023?門頭溝區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果此方程的一個根為1，求k的值．【分析】（1）通過計算根的判別式進行推理證明；（2）將x＝1代入該方程，通過求解關(guān)于k的一元二次方程進行求解．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）由題意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，整理，得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∴k的值為0或2．【點評】此題考查了一元二次方程的求解和根的判別式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識進行正確地求解．【變式5-2】（2023?工業(yè)園區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若該方程有一個根是x＝2，求m的值；（2）求證：無論m取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到關(guān)于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式進行求解即可．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一個根為x＝2，∴22﹣4m+2m﹣1＝0，∴m=3（2）證明：由題意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，∴無論m取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解和根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，則方程沒有實數(shù)根；一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式5-3】（2023?大興區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【分析】（1）證明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出答案即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4×4m＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m+4）x+4m＝0，可得（x﹣4）（x﹣m）＝0，解得x1＝4，x2＝m，若該方程有一個根小于1，則m＜1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判別式，用到的知識點：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．【變式5-4】（2023?順義區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若b為正整數(shù)，且方程有一個根為負數(shù)，求b的值．【分析】（1）證明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出答案即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣b）2﹣4×（2b﹣4）＝b2﹣8b+16＝（b﹣4）2．∵（b﹣4）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣bx+2b﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣b+2）＝0，解得x1＝2，x2＝b﹣2，若方程有一個根為負數(shù)，則b﹣2＜0，故b＜2，∵b為正整數(shù)，∴b＝1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判別式，用到的知識點：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．【變式5-5】（2022春?通州區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求證：此方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果這個方程根的判別式的值等于9，求a的值．【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其值大于0即可得證；（2）表示出根的判別式，讓其值為9求出a的值即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1）＝4a2+4a+1﹣8a+8＝4a2﹣4a+1+8＝（2a﹣1）2+8，∵（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0，∴此方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9，∴（2a﹣1）2＝1，解得：a1＝0，a2＝1，∵a≠1，∴a＝0．【點評】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握根的判別式與根的情況之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．題型六根的判別式與新定義運算題型六根的判別式與新定義運算【例題6】（2023?新鄉(xiāng)三模）對于實數(shù)a，b定義運算“※”為a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若關(guān)于x的方程3※x＝﹣m沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】直接利用已知運算公式得出一元二次方程，再利用根的判別式得出m的取值范圍，進而得出答案．【解答】解：3※x＝﹣m，則x2﹣3x＝﹣m，故x2﹣3x+m＝0，∵關(guān)于x的方程3※x＝﹣m沒有實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，解得：m＞9∴m的值可以是3．故選：A．【點評】此題主要考查了根的判別式，正確得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)新定義運算列出方程，然后再利用根的判別式來解決問題.【變式6-1】（2023?內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）定義運算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先根據(jù)新定義得到x2+3x＝﹣m，再把方程化為一般式得到x2+3x+m＝0，接著根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝32﹣4m＞0，然后解不等式得到m的取值范圍，從而可對各選項進行判斷．【解答】解：∵x※3＝﹣m，∴x2+3x＝﹣m，即x2+3x+m＝0，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝32﹣4m＞0，解得m＜9∴m的值可以為2．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了實數(shù)的運算．【變式6-2】（2023?棗莊二模）定義新運算a*b，對于任意實數(shù)a，b滿足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）A．有一個實根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】先根據(jù)新定義得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化為一般式，接著計算根的判別式的值得到Δ＝4k2+5＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義對各選項進行判斷．【解答】解：根據(jù)題意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式6-3】（2023?平頂山二模）定義運算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，則方程x※1＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【分析】利用新定義得到x2+x﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判斷方程根的情況．【解答】解：由新定義得：x2+x﹣1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式6-4】（2023?息縣一模）定義新運算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，則方程2◎x＝5的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【分析】先根據(jù)定義得到關(guān)于x的一元二次方程，然后計算一元二次方程的判別式即可得解．【解答】解：方程2◎x＝5化為2x﹣x2＝5，一元二次方程化為一般式為x2﹣2x+5＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5＝﹣16＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查新定義下的方程應(yīng)用，熟練掌握所給定義的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式的計算及應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式6-5】定義新運算：對于任意實數(shù)，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，請判斷方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情況．【分析】（1）根據(jù)新定義運算以及一元二次方程的解法即可求出答案．（2）先求出a的范圍，然后根據(jù)判別式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x⊕（﹣4）＝6，∴x[x﹣（﹣4）]+1＝6，∴x2+4x﹣5＝0，解得：x＝1或x＝﹣5．（2）∵3⊕a＜10，∴3（3﹣a）+1＜10∴10﹣3a＜10∴a＞0，∴Δ＝（﹣b）2+8a＝b2+8a＞0，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式6-6】（2022?石家莊模擬）定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據(jù)以上知識解決問題：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，請判斷方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．【分析】（1）根據(jù)已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【解答】解：（1）∵x☆4＝20，∴4x2+4＝20，即4x2＝16，解得：x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有兩個不相等的實數(shù)根．【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．題型七根的判別式與三角形知識的綜合應(yīng)用題型七根的判別式與三角形知識的綜合應(yīng)用【例題7】（2023?寧南縣模擬）已知等腰三角形ABC的一邊長a＝6，另外兩邊的長b，c恰好是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的兩個根，則△ABC的周長為．【分析】分a＝6為腰和a＝6為底邊兩種情況分類討論即可確定三角形的周長，注意運用三邊關(guān)系進行驗證．【解答】解：若a＝6為腰，則b、c中還有一腰，即6是方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的一個根，∴36﹣6（3k+3）+9k＝0，∴k＝2，這時方程為x2﹣9x+18＝0，其根為3、6，∴△ABC的周長為6+6+3＝15；若a＝6為底，則b＝c，即方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0有兩個相等的實根，∴Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4×9k＝0，解得：k＝1，這時方程為x2﹣6x+9＝0，∴x1＝x2＝3，但3+3＝6不能圍成三角形，綜上可得：△ABC的周長為15．故答案為：15．【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式及三角形的三邊關(guān)系，在解答（2）時要注意分類討論，不要漏解．解題技巧提煉（1）由根的情況判斷三角形形狀：先由根的判別式得出等式，再利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等確定三角形的形狀．（2）利用三邊關(guān)系判斷一元二次方程根的情況：先寫出根的判別式，再通過三邊關(guān)系確定判別式的符號，得出根的情況．【變式7-1】（2022春?雙流區(qū)期末）已知等腰△ABC的底邊長為3，兩腰長恰好是關(guān)于x的一元二次方程14kx2?(k+3)x2+3＝0的兩根，則△【分析】由題意知方程14kx2?(k+3)x2【解答】解：由題意知方程14kx2?∴Δ＝（?k+32）2﹣4×解得：k＝3，∴原方程為：34解得：x＝2，則三角形的三邊長度為2、2、3，則△ABC的周長為7，故答案為：7．【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式7-2】（2023?萊蕪區(qū)三模）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的兩個根，則k的值等于（）A．3 B．5或9 C．5 D．9【分析】討論：當m＝n時，利用判別式的意義得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，則k＝9；當m＝5時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得5+n＝6，5n＝k，解得n＝1，k＝5；當n＝5時，同理可得m＝1，k＝5．【解答】解：當m＝n時，Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，解得k＝9，∵m+n＝6＞5，∴k＝9滿足條件；當m＝5時，5+n＝6，5n＝k，解得n＝1，k＝5，當n＝m時，同理可得m＝1，k＝5，綜上所述，k的值為9或5．故選：B．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x2【變式7-3】（2023春?鄞州區(qū)期中）若等腰△ABC的一邊長6，另兩邊長恰好是關(guān)于x方程x2﹣10x+m＝0的兩個實數(shù)根，則△ABC的面積為．【分析】當?shù)妊鰽BC的底邊為6，利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0，求出m得到后方程化為x2﹣10x+25＝0，解方程得到三角形的三邊分別為5、5、6，即AB＝AC＝5，BC＝6，過A點作AD⊥BC于D，則BD＝CD＝3，利用勾股定理計算出AD，則可計算出△ABC的面積；當?shù)妊鰽BC的腰為6，把x＝6代入一元二次方程得m＝24，則方程化為x2﹣10x+24＝0，解方程得到此時三角形的三邊分別為6、6、4，即AB＝AC＝6，BC＝4，過A點作AD⊥BC于D，則BD＝CD＝2，利用勾股定理計算出AD，則可計算出△ABC的面積．【解答】解：當?shù)妊鰽BC的底邊為6，則兩腰