人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題15圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(十大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題15圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十大題型）【題型目錄】題型一圓的基本概念辨析題型二求圓中弦的條數(shù)題型三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦題型四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題題型五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型六三角形的外接圓題型七確定圓的條件題型八圓中角度的計(jì)算題型九圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算題型十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值【知識(shí)梳理】一、圓（1）圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點(diǎn)撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。（3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長(zhǎng)，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系圖示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言點(diǎn)在圓內(nèi)圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外點(diǎn)在圓外點(diǎn)撥：（1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長(zhǎng)，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。（2）符號(hào)“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧．以為端點(diǎn)的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．4．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長(zhǎng)的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個(gè)字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓心有位置有關(guān)等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長(zhǎng)度相等的孤不一定是等孤【經(jīng)典例題一圓的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），作于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C．或 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在銳角三角形（）中，分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點(diǎn)，作直線，與交于點(diǎn)M；再分別以點(diǎn)A，C為圓心，按相同的操作作直線l，與交于點(diǎn)N，與交于點(diǎn)O．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結(jié)論Ⅰ：點(diǎn)O為的內(nèi)心；結(jié)論Ⅱ：連接，，則一定比短．A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ對(duì)，Ⅱ不對(duì) D．Ⅰ不對(duì)，Ⅱ?qū)?．（2023·四川眉山·?？既＃┤鐖D，矩形的邊，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），把沿對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，則線段的最小值為．

3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)．(1)線段與有何關(guān)系．說(shuō)明理由；(2)延長(zhǎng)、交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題二求圓中弦的條數(shù)】【例2】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，以及點(diǎn)，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓中有條直徑，條弦，圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有條，劣弧有條．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個(gè)與全等的三角形．【經(jīng)典例題三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦】【例3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若的直徑長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上，則的長(zhǎng)不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，⊙M的半徑為2，過(guò)M點(diǎn)的直線與⊙M的交點(diǎn)分別為A，B，則△AOB的面積的最大值為，此時(shí)A，B兩點(diǎn)所在直線與x軸的夾角等于°．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【經(jīng)典例題四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題】【例4】（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D兩個(gè)半徑都是的圓外切于點(diǎn)C，一只螞蟻由點(diǎn)A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長(zhǎng)度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來(lái)，則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（

）

A．D點(diǎn) B．E點(diǎn) C．F點(diǎn) D．G點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍2．（2023秋·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一座圓形花壇的半徑為，中間雕塑的底面是邊長(zhǎng)為的正方形．如圖，這個(gè)花壇的實(shí)際種花面積為（取，結(jié)果精確到個(gè)位）．3．（2023秋·上海徐匯·六年級(jí)上海市徐匯中學(xué)校考期末）某同學(xué)用所學(xué)過(guò)的圓與扇形的知識(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)號(hào)，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個(gè)小圓的半徑均為2，請(qǐng)計(jì)算圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積．【經(jīng)典例題五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例5】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為，A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在內(nèi) B．點(diǎn)A在上C．點(diǎn)A在外 D．不能確定【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)坐標(biāo)為，若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為畫圓，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑，點(diǎn)到圓的最近距離為，則點(diǎn)到圓的最遠(yuǎn)距離為；若點(diǎn)到的最近距離為，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（填“在圓外、在圓上或在圓內(nèi)”）．3．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）閱讀與思考下面是一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．“三點(diǎn)共線模型”及其應(yīng)用背景知識(shí)：通過(guò)初中學(xué)習(xí)，我們掌握了基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短．根據(jù)這個(gè)事實(shí)，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據(jù)不等式的性質(zhì)得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識(shí)拓展：如圖，在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)和為定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且為定長(zhǎng)（令），可得線段的長(zhǎng)度為定值．我們探究和兩條定長(zhǎng)線段，的數(shù)量關(guān)系及其最大值和最小值：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，如圖，由背景知識(shí)，可得結(jié)論，．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，出現(xiàn)圖和圖兩種情況．在圖中，線段取最小值為；在圖中，線段取最大值為．模型建立：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)和為定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且，為定長(zhǎng)（），則有結(jié)論≥，．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至，，三點(diǎn)共線時(shí)等成立．我們稱上述模型為“三點(diǎn)共線模型”，運(yùn)用這個(gè)模型可以巧妙地解決一些最值問(wèn)題．任務(wù)：(1)上面小論文中的知識(shí)拓展部分．主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有；（填選項(xiàng)）A．方程思想

B．統(tǒng)計(jì)思想

C．分類討論

D．函數(shù)思想(2)已知線段，點(diǎn)為任意一點(diǎn)，那么線段和的長(zhǎng)度的和的最小是；(3)已知的直徑為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則的最大值是；(4)如圖4，，矩形的頂點(diǎn)、分別在邊、上，當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨之在上運(yùn)動(dòng)，矩形的形狀保持不變．其中，．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離．【經(jīng)典例題六三角形的外接圓】【例6】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則外接圓半徑的長(zhǎng)為（

）.A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為2，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是等邊內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，，連接，若，則的長(zhǎng)度最小值是．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）[探索發(fā)現(xiàn)]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學(xué)想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.[理解應(yīng)用]我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請(qǐng)你通過(guò)操作探究解決下列問(wèn)題(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請(qǐng)求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑[拓展延伸]（3）如圖4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內(nèi)部任意運(yùn)動(dòng)，則覆蓋不到的面積是【經(jīng)典例題七確定圓的條件】【例7】（2023秋·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）下列說(shuō)法中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓；②任何圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)圓；A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，把沿折疊，得到，連接．若，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值等于．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．（1）如圖1．當(dāng)時(shí)，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)時(shí)，若直線，求的長(zhǎng)度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，在直線l變化過(guò)程中．請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【經(jīng)典例題八圓中角度的計(jì)算】【例8】1（2023·甘肅白銀·?？既＃┤鐖D，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點(diǎn)F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的面積與的面積之比為，求的值．【經(jīng)典例題九圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算】【例9】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖的方格紙中，每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1，A、O兩點(diǎn)皆在格線的交點(diǎn)上，今在此方格紙格線的交點(diǎn)上另外找兩點(diǎn)B、C，使得的外心為O，求的長(zhǎng)度為何（）A．4 B．5 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．22．（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點(diǎn)，將沿對(duì)折至，連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，則的長(zhǎng)是．

3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，在射線上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)．求：(1)圓心O到的距離．(2)求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值】【例10】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為．

3．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接和．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求的最小值；(3)若與垂直，求的長(zhǎng)．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑是（）A． B． C． D．2．（2023春·山東泰安·九年級(jí)校考期中）如圖中外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，分別以O(shè)、P為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，直線交于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓弧，交于點(diǎn)A，連接交于點(diǎn)B，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．4．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，的半徑長(zhǎng)為3，與相交，且點(diǎn)B在外，那么的半徑長(zhǎng)r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝75．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．286．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．7．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標(biāo)為．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，E是邊長(zhǎng)為4的正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是．

9．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，則線段的取值范圍是．

10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，的半徑為5，點(diǎn)C是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，那么長(zhǎng)的取值范圍是．11．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，為圓O的直徑，點(diǎn)C，D在圓O上，與交于點(diǎn)E，，，連接，．求證：

(1)；(2)四邊形是菱形．12．（2023秋·山西大同·九年級(jí)大同一中校考期末）工人師傅后在一個(gè)上表面是直角三角形的器具上面安裝一塊圓板，要求這個(gè)圓板剛好覆蓋住三角形，該直角三角形的形狀如圖所示．

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖上作出該圖；(2)測(cè)量直角三角形的兩直角邊，，如果這個(gè)圓是一個(gè)正方形板所截，請(qǐng)你幫助師傅計(jì)算出所需要正方形板的最小面積是多少?13．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D、E在上，，過(guò)A，D，E三點(diǎn)作，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，求的半徑長(zhǎng)．14．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，與交于點(diǎn)G．已知．

(1)求證：；(2)以點(diǎn)G為圓心，為半徑的圓與線段交于點(diǎn)H，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如圖2所示，求證：．15．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）摩天輪（如圖1）是游樂(lè)場(chǎng)中受歡迎的游樂(lè)設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過(guò)頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．(1)_______°；(2)若的半徑為10，小圓的半徑都為1；①當(dāng)圓心H到l的距離等于時(shí)，求OH的長(zhǎng)；②求證：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的長(zhǎng)為定值．

第二十四章圓專題15圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十大題型）【題型目錄】題型一圓的基本概念辨析題型二求圓中弦的條數(shù)題型三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦題型四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題題型五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型六三角形的外接圓題型七確定圓的條件題型八圓中角度的計(jì)算題型九圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算題型十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值【知識(shí)梳理】一、圓（1）圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點(diǎn)撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。（3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長(zhǎng)，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系圖示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言點(diǎn)在圓內(nèi)圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外點(diǎn)在圓外點(diǎn)撥：（1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長(zhǎng)，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。（2）符號(hào)“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。詾槎它c(diǎn)的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長(zhǎng)的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個(gè)字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓心有位置有關(guān)等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長(zhǎng)度相等的孤不一定是等孤【經(jīng)典例題一圓的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），作于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】分兩種情況畫出圖形，由勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在上，如圖，連接，

圓O的直徑，，，，，；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖，

同理可得出，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在銳角三角形（）中，分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點(diǎn)，作直線，與交于點(diǎn)M；再分別以點(diǎn)A，C為圓心，按相同的操作作直線l，與交于點(diǎn)N，與交于點(diǎn)O．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結(jié)論Ⅰ：點(diǎn)O為的內(nèi)心；結(jié)論Ⅱ：連接，，則一定比短．A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ對(duì)，Ⅱ不對(duì) D．Ⅰ不對(duì)，Ⅱ?qū)Α敬鸢浮緿【分析】由題意的作圖可得直線是的垂直平分線，直線是的垂直平分線，點(diǎn)O是兩垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可判斷結(jié)論Ⅰ；過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而，根據(jù)三角形的中位線定理可得，從而，又在中，，因此，據(jù)此可判斷結(jié)論Ⅱ．【詳解】由題意的作圖可得直線是的垂直平分線，直線是的垂直平分線，點(diǎn)O是兩垂直平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離相等，∴點(diǎn)O是三角形的外心．故結(jié)論Ⅰ錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，連接，∵點(diǎn)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離相等，∴，∵，∴，∵直線是的垂直平分線，直線是的垂直平分線，∴點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴，∵在中，，∴．故結(jié)論Ⅱ正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形邊的關(guān)系．理解題意，熟練掌握垂直平分線的作圖是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川眉山·?？既＃┤鐖D，矩形的邊，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），把沿對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，則線段的最小值為．

【答案】/【分析】連接，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，由折疊的性質(zhì)可得，則點(diǎn)在以為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓上，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：

∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)∴由勾股定理可得：由折疊的性質(zhì)可得，，∴點(diǎn)在以為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓上∴點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)．(1)線段與有何關(guān)系．說(shuō)明理由；(2)延長(zhǎng)、交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．說(shuō)明理由．【答案】(1)且，證明見解析(2)見解析【分析】（1）證明，證據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明相等且互相垂直；（2）證明，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得，，，四點(diǎn)到的距離相等，即可證得四點(diǎn)共圓．【詳解】（1）解：且．證明：、分別是、的中點(diǎn)，，，，又，，，，，在直角中，，，，；（2）連接．，，，，，在直角中，，，，，，，在以為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求圓中弦的條數(shù)】【例2】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】試題分析：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，根據(jù)定義作答．解：由圖可知，點(diǎn)A、B、E、C是⊙O上的點(diǎn)，圖中的弦有AB、BC、CE，一共3條．故選B．考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，以及點(diǎn)，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條【答案】A【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有，共2條．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓中有條直徑，條弦，圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有條，劣弧有條．【答案】1344【詳解】圓中有AB一條直徑，AB、CD、EF三條弦，圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有四條，劣弧有四條，故答案為1，3，4，4．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個(gè)與全等的三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于E，連接BO并延長(zhǎng)交于D，連結(jié)ED，再證△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；（2）連結(jié)AO并延長(zhǎng)交于A′，OA=OA′，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交于B′，OB=OB′，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于C′，OC=OC′，利用邊角邊判定方法先證△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三邊對(duì)應(yīng)相等判定方法可證△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【詳解】解：（1）如圖1，DE為所作；連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于E，連接BO并延長(zhǎng)交于D，連結(jié)ED，∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，，∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如圖2，△A′B′C′為所作．連結(jié)AO并延長(zhǎng)交于A′，OA=OA′，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交于B′，OB=OB′，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于C′，OC=OC′，在△BOC和△B′OC′中，，∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【點(diǎn)睛】本題考查僅用無(wú)刻度的直尺畫線段，畫三角形，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的性質(zhì)與三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦】【例3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若的直徑長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上，則的長(zhǎng)不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)直徑是最長(zhǎng)的弦即可求解．【詳解】解：∵若的直徑長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上，∴的長(zhǎng)不可能是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)概念，掌握直徑是最長(zhǎng)的弦是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】∵圓中最長(zhǎng)的弦為直徑，∴．∴故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長(zhǎng)概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，⊙M的半徑為2，過(guò)M點(diǎn)的直線與⊙M的交點(diǎn)分別為A，B，則△AOB的面積的最大值為，此時(shí)A，B兩點(diǎn)所在直線與x軸的夾角等于°．【答案】690【分析】由于AB為⊙M的直徑，則AB為定值4，要使△AOB的面積的最值，則O點(diǎn)到AB的距離最大，而O點(diǎn)到AB的距離最大為OM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式可得到△AOB的面積的最大值=×4×3=6，同時(shí)得到此時(shí)A，B兩點(diǎn)所在直線與x軸的夾角等于90°．【詳解】解：∵AB為⊙M的直徑，∴AB＝4，當(dāng)O點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△AOB的面積的最大值，即AB⊥x軸于M點(diǎn)，而O點(diǎn)到AB的距離最大為OM的長(zhǎng)，∴△AOB的面積的最大值＝×4×3＝6，∠AMO＝90°，即此時(shí)A，B兩點(diǎn)所在直線與x軸的夾角等于90°．故答案為：6，90．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：過(guò)圓心的弦叫圓的直徑．也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【分析】由和組成的弦，在中，弦最長(zhǎng)為直徑14，而可求，所以的最大值可求.【詳解】連結(jié)，，∵

∴∴為等邊三角形，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)∴，∵為的一條弦∴最大值為直徑14

∴的最大值為.【點(diǎn)睛】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，可以解決圓中一些最值問(wèn)題.【經(jīng)典例題四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題】【例4】（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D兩個(gè)半徑都是的圓外切于點(diǎn)C，一只螞蟻由點(diǎn)A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長(zhǎng)度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來(lái)，則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（

）

A．D點(diǎn) B．E點(diǎn) C．F點(diǎn) D．G點(diǎn)【答案】A【分析】先求出螞蟻爬行一圈所走的路程，再根據(jù)停下來(lái)時(shí)重復(fù)的圈數(shù)和余數(shù)，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，每段長(zhǎng)度為四分之一的圓周長(zhǎng)，即，又知繞行8段為一循環(huán)，則爬行一圈的路程為，∵，，∴行走后才停下來(lái)，那一個(gè)點(diǎn)為D點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)，圖形類規(guī)律探究，解答的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)爬行一圈的路程得出重復(fù)的圈數(shù)，再由余數(shù)確定最終的位置．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】設(shè)OB=x，則OA=3x，BC=2x，根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由圓和正方形的對(duì)稱性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，∴設(shè)OB=x，則OA=3x，BC=2x，∴圓的面積=π(3x)2=9πx2，正方形的面積==2x2，∴9πx2÷2x2=，即：圓的面積約為正方形面積的14倍，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對(duì)稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個(gè)圖形的面積，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一座圓形花壇的半徑為，中間雕塑的底面是邊長(zhǎng)為的正方形．如圖，這個(gè)花壇的實(shí)際種花面積為（取，結(jié)果精確到個(gè)位）．【答案】【分析】根據(jù)圓的面積減去正方形的面積即可求解．【詳解】解：依題意，這個(gè)花壇的實(shí)際種花面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求圓的面積，掌握?qǐng)A的面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·上海徐匯·六年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谀┠惩瑢W(xué)用所學(xué)過(guò)的圓與扇形的知識(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)號(hào)，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個(gè)小圓的半徑均為2，請(qǐng)計(jì)算圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積．【答案】陰影部分的周長(zhǎng)為，陰影部分的面積為【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)和面積公式分別求出陰影的周長(zhǎng)和面積，再進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：；.答：陰影部分的周長(zhǎng)為，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積、周長(zhǎng)公式的運(yùn)用；能夠熟練運(yùn)用公式，并正確化簡(jiǎn)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例5】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為，A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在內(nèi) B．點(diǎn)A在上C．點(diǎn)A在外 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)得到，結(jié)合點(diǎn)與圓的關(guān)系直接判斷即可得到答案；【詳解】解：∵A為線段的中點(diǎn)，，∴，∴點(diǎn)A在內(nèi)，故選A；【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握利用點(diǎn)與圓心的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)到圓心的距離小于半徑在圓內(nèi)，等于半徑在圓上，大于半徑在圓外．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)坐標(biāo)為，若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為畫圓，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定【答案】B【分析】先求出，根據(jù)的半徑為5，即可判斷點(diǎn)P與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∴，而的半徑為5，∴等于圓的半徑，∴點(diǎn)P在⊙O上．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑，點(diǎn)到圓的最近距離為，則點(diǎn)到圓的最遠(yuǎn)距離為；若點(diǎn)到的最近距離為，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（填“在圓外、在圓上或在圓內(nèi)”）．【答案】或在圓外【分析】根據(jù)的半徑，點(diǎn)到圓的最近距離為，可知點(diǎn)分兩種情況，一種情況在圓內(nèi)，一種在圓外；根據(jù)點(diǎn)到的最近距離，的半徑，可以判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【詳解】解：的半徑，點(diǎn)到圓的最近距離為，點(diǎn)在圓內(nèi)或者圓外，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到圓的最遠(yuǎn)距離為：；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)到圓的最遠(yuǎn)距離為：；當(dāng)點(diǎn)到的最近距離，的半徑，，此時(shí)點(diǎn)在圓外；故答案為：或，點(diǎn)在圓外．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)到圓的距離的最近與最遠(yuǎn)與半徑的關(guān)系．3．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）閱讀與思考下面是一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．“三點(diǎn)共線模型”及其應(yīng)用背景知識(shí)：通過(guò)初中學(xué)習(xí)，我們掌握了基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短．根據(jù)這個(gè)事實(shí)，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據(jù)不等式的性質(zhì)得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識(shí)拓展：如圖，在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)和為定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且為定長(zhǎng)（令），可得線段的長(zhǎng)度為定值．我們探究和兩條定長(zhǎng)線段，的數(shù)量關(guān)系及其最大值和最小值：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，如圖，由背景知識(shí)，可得結(jié)論，．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，出現(xiàn)圖和圖兩種情況．在圖中，線段取最小值為；在圖中，線段取最大值為．模型建立：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)和為定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且，為定長(zhǎng)（），則有結(jié)論≥，．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至，，三點(diǎn)共線時(shí)等成立．我們稱上述模型為“三點(diǎn)共線模型”，運(yùn)用這個(gè)模型可以巧妙地解決一些最值問(wèn)題．任務(wù)：(1)上面小論文中的知識(shí)拓展部分．主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有；（填選項(xiàng)）A．方程思想

B．統(tǒng)計(jì)思想

C．分類討論

D．函數(shù)思想(2)已知線段，點(diǎn)為任意一點(diǎn)，那么線段和的長(zhǎng)度的和的最小是；(3)已知的直徑為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則的最大值是；(4)如圖4，，矩形的頂點(diǎn)、分別在邊、上，當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨之在上運(yùn)動(dòng)，矩形的形狀保持不變．其中，．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離．【答案】(1)C(2)10(3)2(4)【分析】（1）根據(jù)上面小論文中的分析過(guò)程，體現(xiàn)了分類討論思想；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得出答案；（3）由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可知點(diǎn)在圓上，由直徑的定義可得出答案；（4）取的中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得過(guò)點(diǎn)時(shí)最大．【詳解】（1）解：上面小論文中的知識(shí)拓展部分．主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有分類討論思想，故答案為：C；（2）解：如圖所示：線段與的和最小是．故答案為：；（3）解：∵的直徑為，，∴點(diǎn)在圓上，∵點(diǎn)為上一點(diǎn)，∴直徑時(shí)，有最大值，即，故答案為：2；（4）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、、，∵，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，∴，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，∴當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，的值最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六三角形的外接圓】【例6】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則外接圓半徑的長(zhǎng)為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，設(shè)的外心為M，由B，C的坐標(biāo)可知M必在直線上，由圖可知線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由此可得，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)D，連接，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)的外心為M，、，M必在直線上，由圖可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)D，連接，中，，，由勾股定理得：，即外接圓半徑的長(zhǎng)為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據(jù)網(wǎng)格和三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷出外心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為2，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出OH和BH的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出BC的長(zhǎng)，最后運(yùn)用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，連接AO，BO，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵O為三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=OB=1，∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3∴∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是等邊內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，，連接，若，則的長(zhǎng)度最小值是．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和，求得，，如圖，作的外接圓，連接、、、，根據(jù)圓周角定理可得，從而求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直平分線的判定可得垂直平分，從而可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求得，則，，再由三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)A、D、O在一條直線上時(shí)，最小，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，如圖，作的外接圓，連接、、、，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，，在中，，∴當(dāng)點(diǎn)A、D、O在一條直線上時(shí)，最小，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外接圓、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角形三邊關(guān)系、垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）[探索發(fā)現(xiàn)]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學(xué)想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.[理解應(yīng)用]我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請(qǐng)你通過(guò)操作探究解決下列問(wèn)題(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請(qǐng)求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑[拓展延伸]（3）如圖4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內(nèi)部任意運(yùn)動(dòng)，則覆蓋不到的面積是【答案】（1）見解析；（2）r=2；（3）.【分析】（1）由題意，這個(gè)三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點(diǎn)，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖（見解析）即可；（2）如圖（見解析），的最小覆蓋圓為的外接圓，由已知條件可得，則圓心角；連接OA、OB，過(guò)O作，由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中利用勾股定理求解即可；（3）由已知條件可是直角三角形，利用的面積減去圓的面積即可得.【詳解】（1）由題意，這個(gè)三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點(diǎn)，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖如下：（2）如圖，的最小覆蓋圓為的外接圓連接OA、OB，過(guò)O作（圓周角定理），則是等腰三角形在中，由勾股定理得：解得：故的最小覆蓋圓的半徑為2；（3）是直角三角形又故所求的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)，理解題意，將其轉(zhuǎn)化為三角形外接圓問(wèn)題是解題關(guān)鍵.【經(jīng)典例題七確定圓的條件】【例7】（2023秋·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）下列說(shuō)法中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓；②任何圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)圓；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根據(jù)圓的確定，進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)三角形的定義進(jìn)行判斷即可；③直角三角形的外心在斜邊上，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進(jìn)行判斷；④根據(jù)三角形的外心是三條邊的中垂線的交點(diǎn)，進(jìn)行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．【詳解】解：①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓，是真命題；②任何圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)，是真命題；④三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；⑤不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定．熟練掌握不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線【答案】B【分析】連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無(wú)法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，∵B，C為切點(diǎn)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無(wú)法證明與相互垂直平分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，把沿折疊，得到，連接．若，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值等于．【答案】【分析】點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，．由折疊可知：，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．（1）如圖1．當(dāng)時(shí)，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)時(shí)，若直線，求的長(zhǎng)度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，在直線l變化過(guò)程中．請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，計(jì)算等邊△ABC的面積，由同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，可得△PBC的面積；（2）①如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問(wèn)題；②如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于AC，當(dāng)B'、P、H共線時(shí)，△ACB′的面積最大，求出PH的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，∴等邊△ABC的面積=，∵PB=3AP，∴△BPC的面積為；故答案為：12；（2）①如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等邊三角形，∵PB=5，且B，B′關(guān)于PE對(duì)稱，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴∠PBO=30°，∴OP=PB=，OB=，∴BB′=5；②如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于AC，由題意可得：B'在以P為圓心半徑長(zhǎng)為6的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)HP的延長(zhǎng)線交圓P于點(diǎn)B′時(shí)面積最大，在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，∵PA=2，∵∠PAH=60°，∴AH=1，PH=，∴BH=6+，∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱變換，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【經(jīng)典例題八圓中角度的計(jì)算】【例8】1（2023·甘肅白銀·校考三模）如圖，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點(diǎn)F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到答案．【詳解】解：

連接，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，∴為等邊三角形，∵，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)半徑相等，平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到，利用三角形內(nèi)角和定理，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，，，，，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．【答案】/90度2【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性質(zhì)即可得解；（2）先確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是個(gè)圓，再利用圓的知識(shí)和兩點(diǎn)這間線段最短確定最短長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）∵，，∴，∴.∵四邊形是矩形，∴，，∴，故答案為．（2）∵，點(diǎn)E在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為O，則當(dāng)O，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)∵，，∴，∴，∴，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，最短距離，圓等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的面積與的面積之比為，求的值．【答案】(1)∠BOC的度數(shù)為50°(2)【分析】（1）設(shè)，先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)建立方程求解即可；（2）過(guò)C作于H，設(shè)，根據(jù)三角形面積之比求出，則由勾股定理得，進(jìn)而得到，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，解得，∴；（2）解：過(guò)C作于H，設(shè)，∵的面積與的面積之比為，∴，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股可得，在中，由勾股可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算】【例9】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖的方格紙中，每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1，A、O兩點(diǎn)皆在格線的交點(diǎn)上，今在此方格紙格線的交點(diǎn)上另外找兩點(diǎn)B、C，使得的外心為O，求的長(zhǎng)度為何（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，由此得到，從而確定B、C的位置，然后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵的外心為O，，，，、是方格紙格線的交點(diǎn)，、的位置如圖所示，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角形的外心的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】連接，由勾股定理得，，從而即可得到，最后由計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，，弦于點(diǎn)，，是的直徑，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的相關(guān)概念進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點(diǎn)，將沿對(duì)折至，連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】由翻折可得，故可確定點(diǎn)的軌跡，即可求解．【詳解】解：由題意得：故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

設(shè)則在中，，∴解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題．矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，確定點(diǎn)的軌跡是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，在射線上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)．求：(1)圓心O到的距離．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)含度的直角三角形三邊的關(guān)系求出即可；（2）連接，如圖，利用勾股定理計(jì)算出和即可得答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖，，，，在中，，，即圓心到的距離為；（2）解：連接，如圖，，∴在中，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圓的概念，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)．【經(jīng)典例題十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值】【例10】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，判斷出當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】如圖，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓．所以，當(dāng)點(diǎn)落在DE上時(shí)，取得最小值．過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于G，解,得，，進(jìn)一步求得，從而解得．【詳解】解：如圖，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓．所以，當(dāng)點(diǎn)落在DE上時(shí)，取得最小值．

過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于G，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴∴，∵E是的中點(diǎn)，，∴，∴∴由折疊的性質(zhì)可知∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，確定點(diǎn)在何位置時(shí)，的值最小，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為．

【答案】/【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，當(dāng)P在上時(shí)，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，∴，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，

∵，．∴在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A，，C三點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，當(dāng)P在上時(shí)，如圖所示，此時(shí)，

綜上所述，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接和．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求的最小值；(3)若與垂直，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，即可得證；（2）根據(jù)題意得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，進(jìn)而勾股定理求得的長(zhǎng)，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，即可求解；（3）根據(jù)題意作出圖形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得出，，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，連接，如圖所示，∵是的中點(diǎn)，是等邊三角形∴，∴，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，∴的最小值為（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，，∴，在中，，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓外一點(diǎn)到圓上的距離，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理計(jì)算出直角三角形的斜邊，然后根據(jù)直角三角形的斜邊為它的外接圓的直徑得到這個(gè)三角形的外接圓的半徑．【詳解】解：直角三角形的斜邊，因?yàn)橹苯侨切蔚男边厼樗耐饨訄A的直徑，所以這個(gè)三角形的外接圓的半徑為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形的未知邊．注意：直角三角形的外接圓的半徑是其斜邊的一半．2．（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D中外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，分別作垂直平分線，交點(diǎn)為外心，再過(guò)外心分別向軸，軸的垂線，確定坐標(biāo)．【詳解】解：外接圓圓心的坐標(biāo)為．

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓的定義．本題解題的關(guān)鍵是作圖找出三角形的外心．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，分別以O(shè)、P為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，直線交于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓弧，交于點(diǎn)A，連接交于點(diǎn)B，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)作圖痕跡，直線垂直平分，，利用線段垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形的等邊對(duì)等角求得，，再利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得即可．【詳解】解：連接，根據(jù)作圖痕跡，直線垂直平分，，則，，∴，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作垂線、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，得到直線垂直平分是解答的關(guān)鍵．4．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，的半徑長(zhǎng)為3，與相交，且點(diǎn)B在外，那么的半徑長(zhǎng)r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7【答案】B【分析】連接交于，根據(jù)勾股定理求出，求出和，再根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出r的范圍即可得答案．【詳解】解：如圖，連接交于，則，在，由勾股定理得：＝＝＝5，∴，∵，，∴，∵使與相交，且點(diǎn)B在外，∴的半徑長(zhǎng)r的取值范圍為：2＜r＜4，∴只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．28【答案】D【分析】由中知要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最大值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，∵，∴，∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴，若要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最大值，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則、，∴，又∵，∴，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時(shí)點(diǎn)的位置．6．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．【答案】6或【分析】先解方程求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)較大的根為斜邊和直角邊，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：，，解得：，①當(dāng)直角邊分別為2，6時(shí)，斜邊為：，∵直角三角形的外接圓的直徑即為直角三角形斜邊的長(zhǎng)，∴此時(shí)直角三角形外接圓的直徑為，②當(dāng)斜邊為6時(shí)，此時(shí)直角三角形外接圓直徑為6．故答案為：6或．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圓．解題的關(guān)鍵是正確的求出一元二次方程的根，注意分類討論．7．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標(biāo)為．【答案】【分析】先畫出圖形，證明，可得的外心是斜邊的中點(diǎn)，從而可得答案．【詳解】解：如圖，∵、、，∴，

∴的外心是斜邊的中點(diǎn)，∴外接圓的圓心坐標(biāo)為：，即；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，求解直角三角形的外心坐標(biāo)，熟記直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，E是邊長(zhǎng)為4的正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是．

【答案】【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，則的最小值是，根據(jù)用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)