人教版九年級數學上冊重難點專題提升精講精練專題15圓重難點題型專訓(十大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題15圓重難點題型專訓（十大題型）【題型目錄】題型一圓的基本概念辨析題型二求圓中弦的條數題型三求過圓內一點的最長弦題型四圓的周長和面積問題題型五點與圓的位置關系題型六三角形的外接圓題型七確定圓的條件題型八圓中角度的計算題型九圓中線段長度的計算題型十求一點到圓上點距離的最值【知識梳理】一、圓（1）圓的定義1．在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫圓．這個固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑．以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點”指的是圓周上的點，圓心不在圓周上。（3）確定一個圓需要兩個要素:一是定點，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。（2）點和圓的位置關系點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系圖示文字語言符號語言點在圓內圓內各點到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點都在圓內點在圓內點在圓上圓內各點到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點都在圓上點在圓上點在圓外圓內各點到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點都在圓外點在圓外點撥：（1）利用與的數量關系可以判斷點和圓的位置關系；同時，知道了點和圓的位置善長，也可以確定與的數量關系。（2）符號“”讀作“等價于”，它表示從符號“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結圓上任意兩點的線段叫做弦．經過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．4．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長的弦不一定是直徑直徑經過圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心有位置有關等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長度相等的孤不一定是等孤【經典例題一圓的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年級專題練習）圓O的直徑，點C是圓O上一點（不與點A、B重合），作于點D，若，則的長是（

）A． B． C．或 D．【變式訓練】1．（2023春·河北衡水·九年級?？计谥校┤鐖D，在銳角三角形（）中，分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線，與交于點M；再分別以點A，C為圓心，按相同的操作作直線l，與交于點N，與交于點O．對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結論Ⅰ：點O為的內心；結論Ⅱ：連接，，則一定比短．A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ對，Ⅱ不對 D．Ⅰ不對，Ⅱ對2．（2023·四川眉山·?？既＃┤鐖D，矩形的邊，點E是的中點，點F是上一動點（不與B、C重合），把沿對折，使點B與點N重合，則線段的最小值為．

3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．(1)線段與有何關系．說明理由；(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．【經典例題二求圓中弦的條數】【例2】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）點A、O、D與點B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點，，，點，，以及點，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條2．（2023秋·九年級課時練習）如圖，圓中有條直徑，條弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有條，劣弧有條．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個與全等的三角形．【經典例題三求過圓內一點的最長弦】【例3】（2023春·九年級課時練習）若的直徑長為，點，在上，則的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓練】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，平面直角坐標系xOy中，M點的坐標為(3，0)，⊙M的半徑為2，過M點的直線與⊙M的交點分別為A，B，則△AOB的面積的最大值為，此時A，B兩點所在直線與x軸的夾角等于°．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，為的一條弦，點為上一動點，且，點，分別是，的中點，直線與交于，兩點，若的半徑為7，求的最大值.【經典例題四圓的周長和面積問題】【例4】（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┤鐖D兩個半徑都是的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（

）

A．D點 B．E點 C．F點 D．G點【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍2．（2023秋·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）一座圓形花壇的半徑為，中間雕塑的底面是邊長為的正方形．如圖，這個花壇的實際種花面積為（取，結果精確到個位）．3．（2023秋·上海徐匯·六年級上海市徐匯中學?？计谀┠惩瑢W用所學過的圓與扇形的知識設計了一個問號，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個小圓的半徑均為2，請計算圖中陰影部分的周長和面積．【經典例題五點與圓的位置關系】【例5】（2023秋·九年級課時練習）已知的半徑為，A為線段的中點，當時，點A與的位置關系是（

）A．點A在內 B．點A在上C．點A在外 D．不能確定【變式訓練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知在平面直角坐標系中，P點坐標為，若以原點O為圓心，半徑為畫圓，則點P與的位置關系是（）A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定2．（2023秋·九年級課時練習）已知的半徑，點到圓的最近距離為，則點到圓的最遠距離為；若點到的最近距離為，則點與圓的位置關系是（填“在圓外、在圓上或在圓內”）．3．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）閱讀與思考下面是一篇數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務．“三點共線模型”及其應用背景知識：通過初中學習，我們掌握了基本事實：兩點之間線段最短．根據這個事實，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據不等式的性質得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識拓展：如圖，在同一平面內，已知點和為定點，點為動點，且為定長（令），可得線段的長度為定值．我們探究和兩條定長線段，的數量關系及其最大值和最小值：當動點不在直線上時，如圖，由背景知識，可得結論，．當動點在直線上時，出現圖和圖兩種情況．在圖中，線段取最小值為；在圖中，線段取最大值為．模型建立：在同一平面內，點和為定點，點為動點，且，為定長（），則有結論≥，．當且僅當點運動至，，三點共線時等成立．我們稱上述模型為“三點共線模型”，運用這個模型可以巧妙地解決一些最值問題．任務：(1)上面小論文中的知識拓展部分．主要運用的數學思想有；（填選項）A．方程思想

B．統(tǒng)計思想

C．分類討論

D．函數思想(2)已知線段，點為任意一點，那么線段和的長度的和的最小是；(3)已知的直徑為，點為上一點，點為平面內任意一點，且，則的最大值是；(4)如圖4，，矩形的頂點、分別在邊、上，當在邊上運動時，隨之在上運動，矩形的形狀保持不變．其中，．運動過程中，求點到點的最大距離．【經典例題六三角形的外接圓】【例6】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖所示，的三個頂點的坐標分別為、、，則外接圓半徑的長為（

）.A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為2，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東東莞·模擬預測）如圖，點D是等邊內部一動點，，連接，若，則的長度最小值是．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）[探索發(fā)現]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經過多次操作發(fā)現，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.[理解應用]我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請你通過操作探究解決下列問題(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規(guī)作出這個三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑[拓展延伸]（3）如圖4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內部任意運動，則覆蓋不到的面積是【經典例題七確定圓的條件】【例7】（2023秋·九年級課前預習）下列說法中，真命題的個數是（

）①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經過三點確定一個圓；A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練】1．（2023春·九年級課時練習）如圖，、為⊙O的切線，切點分別為A、B，交于點C，的延長線交⊙O于點D．下列結論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，為的中點，為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，當取最小值時，的值等于．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知等邊的邊長為8，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．（1）如圖1．當時，的面積為；（2）直線l是經過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應點是點．①如圖2，當時，若直線，求的長度；②如圖3，當時，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．【經典例題八圓中角度的計算】【例8】1（2023·甘肅白銀·?？既＃┤鐖D，A、B、C是圓O上的三點，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式訓練】1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長線交于點E，已知，，則的度數為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動點，連接，交于點E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，C為上一點，連接．(1)若，求的度數；(2)若的面積與的面積之比為，求的值．【經典例題九圓中線段長度的計算】【例9】（2023·全國·九年級專題練習）如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、O兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點B、C，使得的外心為O，求的長度為何（）A．4 B．5 C． D．【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，弦于點．若，則的長為（）A． B． C．1 D．22．（2023春·貴州銅仁·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點，將沿對折至，連接，當的長最小時，則的長是．

3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，，在射線上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點．求：(1)圓心O到的距離．(2)求的長．【經典例題十求一點到圓上點距離的最值】【例10】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）在同一平面內，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【變式訓練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點，是線段上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，動點P在矩形的邊上沿運動．當點P不與點A、B重合時，將沿對折，得到，連接，則在點P的運動過程中，線段的最小值為．

3．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，和均為邊長為的等邊三角形，點在邊上，是的中點，作點關于的對稱點，連接和．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求的最小值；(3)若與垂直，求的長．【重難點訓練】1．（2023秋·九年級課時練習）直角三角形的兩條直角邊長分別是，，則這個直角三角形的外接圓的半徑是（）A． B． C． D．2．（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┤鐖D中外接圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，點P是外一點，分別以O、P為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，直線交于點C，再以點C為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點A，連接交于點B，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．4．（2023·上?！つM預測）如圖，在中，，，，點在邊上，，的半徑長為3，與相交，且點B在外，那么的半徑長r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝75．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，的半徑為4，圓心的坐標為，點P是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關于原點對稱，則的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．286．（2023秋·浙江·九年級專題練習）一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．7．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標為．8．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，E是邊長為4的正方形的邊上的一個動點，F是以為直徑的半圓上的一個動點，連接，，則的最小值是．

9．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，正方形的邊長為1，將正方形繞點C旋轉一周，點G為的中點，連接，則線段的取值范圍是．

10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中，已知點、點，的半徑為5，點C是上的動點，點P是線段的中點，那么長的取值范圍是．11．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，為圓O的直徑，點C，D在圓O上，與交于點E，，，連接，．求證：

(1)；(2)四邊形是菱形．12．（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀┕と藥煾岛笤谝粋€上表面是直角三角形的器具上面安裝一塊圓板，要求這個圓板剛好覆蓋住三角形，該直角三角形的形狀如圖所示．

(1)請用尺規(guī)作圖在圖上作出該圖；(2)測量直角三角形的兩直角邊，，如果這個圓是一個正方形板所截，請你幫助師傅計算出所需要正方形板的最小面積是多少?13．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，點D、E在上，，過A，D，E三點作，連接并延長，交于點F．

(1)求證：；(2)若，求的半徑長．14．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖1，點E、F分別在正方形的邊、上，與交于點G．已知．

(1)求證：；(2)以點G為圓心，為半徑的圓與線段交于點H，點P為線段的中點，聯結，如圖2所示，求證：．15．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設施之一，它可以看作一個大圓和六個全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉，小圓通過頂部掛點（如點P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．(1)_______°；(2)若的半徑為10，小圓的半徑都為1；①當圓心H到l的距離等于時，求OH的長；②求證：在旋轉過程中，的長為定值．

第二十四章圓專題15圓重難點題型專訓（十大題型）【題型目錄】題型一圓的基本概念辨析題型二求圓中弦的條數題型三求過圓內一點的最長弦題型四圓的周長和面積問題題型五點與圓的位置關系題型六三角形的外接圓題型七確定圓的條件題型八圓中角度的計算題型九圓中線段長度的計算題型十求一點到圓上點距離的最值【知識梳理】一、圓（1）圓的定義1．在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫圓．這個固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑．以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點”指的是圓周上的點，圓心不在圓周上。（3）確定一個圓需要兩個要素:一是定點，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。（2）點和圓的位置關系點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系圖示文字語言符號語言點在圓內圓內各點到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點都在圓內點在圓內點在圓上圓內各點到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點都在圓上點在圓上點在圓外圓內各點到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點都在圓外點在圓外點撥：（1）利用與的數量關系可以判斷點和圓的位置關系；同時，知道了點和圓的位置善長，也可以確定與的數量關系。（2）符號“”讀作“等價于”，它表示從符號“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結圓上任意兩點的線段叫做弦．經過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧．圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長的弦不一定是直徑直徑經過圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心有位置有關等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長度相等的孤不一定是等孤【經典例題一圓的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年級專題練習）圓O的直徑，點C是圓O上一點（不與點A、B重合），作于點D，若，則的長是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】分兩種情況畫出圖形，由勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：當點D在上，如圖，連接，

圓O的直徑，，，，，；當點D在線段上時，如圖，

同理可得出，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，圓的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·河北衡水·九年級?？计谥校┤鐖D，在銳角三角形（）中，分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線，與交于點M；再分別以點A，C為圓心，按相同的操作作直線l，與交于點N，與交于點O．對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結論Ⅰ：點O為的內心；結論Ⅱ：連接，，則一定比短．A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ對，Ⅱ不對 D．Ⅰ不對，Ⅱ對【答案】D【分析】由題意的作圖可得直線是的垂直平分線，直線是的垂直平分線，點O是兩垂直平分線的交點，根據垂直平分線的性質即可判斷結論Ⅰ；過點O作于點P，連接，根據垂直平分線的性質得到，進而，根據三角形的中位線定理可得，從而，又在中，，因此，據此可判斷結論Ⅱ．【詳解】由題意的作圖可得直線是的垂直平分線，直線是的垂直平分線，點O是兩垂直平分線的交點，∴點O到三角形三個頂點A、B、C的距離相等，∴點O是三角形的外心．故結論Ⅰ錯誤；過點O作于點P，連接，∵點O到三角形三個頂點A、B、C的距離相等，∴，∵，∴，∵直線是的垂直平分線，直線是的垂直平分線，∴點M是的中點，點N是的中點，∴，∴，∵在中，，∴．故結論Ⅱ正確．故選：D【點睛】本題考查垂直平分線的判定與性質，三角形的中位線定理，三角形邊的關系．理解題意，熟練掌握垂直平分線的作圖是解題的關鍵．2．（2023·四川眉山·?？既＃┤鐖D，矩形的邊，點E是的中點，點F是上一動點（不與B、C重合），把沿對折，使點B與點N重合，則線段的最小值為．

【答案】/【分析】連接，利用勾股定理求得的長度，由折疊的性質可得，則點在以為圓心，以長為半徑的圓上，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：

∵點E是的中點∴由勾股定理可得：由折疊的性質可得，，∴點在以為圓心，以長為半徑的圓上∴點在線段上時，有最小值，最小值為故答案為：【點睛】此題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，確定點的運動軌跡是解題的關鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．(1)線段與有何關系．說明理由；(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．【答案】(1)且，證明見解析(2)見解析【分析】（1）證明，證據全等三角形的對應邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明相等且互相垂直；（2）證明，依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得，，，四點到的距離相等，即可證得四點共圓．【詳解】（1）解：且．證明：、分別是、的中點，，，，又，，，，，在直角中，，，，；（2）連接．，，，，，在直角中，，，，，，，在以為圓心、長為半徑的圓上．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．【經典例題二求圓中弦的條數】【例2】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）點A、O、D與點B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】試題分析：弦是連接圓上任意兩點的線段，根據定義作答．解：由圖可知，點A、B、E、C是⊙O上的點，圖中的弦有AB、BC、CE，一共3條．故選B．考點：圓的認識．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點，，，點，，以及點，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條【答案】A【分析】根據弦的定義進行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有，共2條．故選：A．【點睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關鍵．2．（2023秋·九年級課時練習）如圖，圓中有條直徑，條弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有條，劣弧有條．【答案】1344【詳解】圓中有AB一條直徑，AB、CD、EF三條弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有四條，劣弧有四條，故答案為1，3，4，4．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個與全等的三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結CO并延長交于E，連接BO并延長交于D，連結ED，再證△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；（2）連結AO并延長交于A′，OA=OA′，連結BO并延長交于B′，OB=OB′，連結CO并延長交于C′，OC=OC′，利用邊角邊判定方法先證△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三邊對應相等判定方法可證△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【詳解】解：（1）如圖1，DE為所作；連結CO并延長交于E，連接BO并延長交于D，連結ED，∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，，∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如圖2，△A′B′C′為所作．連結AO并延長交于A′，OA=OA′，連結BO并延長交于B′，OB=OB′，連結CO并延長交于C′，OC=OC′，在△BOC和△B′OC′中，，∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【點睛】本題考查僅用無刻度的直尺畫線段，畫三角形，三角形全等判定與性質，圓的性質，掌握圓的性質與三角形全等判定與性質是解題關鍵．【經典例題三求過圓內一點的最長弦】【例3】（2023春·九年級課時練習）若的直徑長為，點，在上，則的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據直徑是最長的弦即可求解．【詳解】解：∵若的直徑長為，點，在上，∴的長不可能是，故選：D．【點睛】本題考查了圓的相關概念，掌握直徑是最長的弦是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圓的基本性質可直接進行求解．【詳解】∵圓中最長的弦為直徑，∴．∴故選D．【點睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，平面直角坐標系xOy中，M點的坐標為(3，0)，⊙M的半徑為2，過M點的直線與⊙M的交點分別為A，B，則△AOB的面積的最大值為，此時A，B兩點所在直線與x軸的夾角等于°．【答案】690【分析】由于AB為⊙M的直徑，則AB為定值4，要使△AOB的面積的最值，則O點到AB的距離最大，而O點到AB的距離最大為OM的長，根據三角形面積公式可得到△AOB的面積的最大值=×4×3=6，同時得到此時A，B兩點所在直線與x軸的夾角等于90°．【詳解】解：∵AB為⊙M的直徑，∴AB＝4，當O點到AB的距離最大時，△AOB的面積的最大值，即AB⊥x軸于M點，而O點到AB的距離最大為OM的長，∴△AOB的面積的最大值＝×4×3＝6，∠AMO＝90°，即此時A，B兩點所在直線與x軸的夾角等于90°．故答案為：6，90．【點睛】本題考查了圓的認識：過圓心的弦叫圓的直徑．也考查了坐標與圖形的性質．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，為的一條弦，點為上一動點，且，點，分別是，的中點，直線與交于，兩點，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【分析】由和組成的弦，在中，弦最長為直徑14，而可求，所以的最大值可求.【詳解】連結，，∵

∴∴為等邊三角形，∵點，分別是，的中點∴，∵為的一條弦∴最大值為直徑14

∴的最大值為.【點睛】利用直徑是圓中最長的弦，可以解決圓中一些最值問題.【經典例題四圓的周長和面積問題】【例4】（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┤鐖D兩個半徑都是的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（

）

A．D點 B．E點 C．F點 D．G點【答案】A【分析】先求出螞蟻爬行一圈所走的路程，再根據停下來時重復的圈數和余數，進而求解即可．【詳解】解：根據題意，每段長度為四分之一的圓周長，即，又知繞行8段為一循環(huán)，則爬行一圈的路程為，∵，，∴行走后才停下來，那一個點為D點，故選：A．【點睛】本題考查圓的周長，圖形類規(guī)律探究，解答的關鍵是理解題意，能根據爬行一圈的路程得出重復的圈數，再由余數確定最終的位置．【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】設OB=x，則OA=3x，BC=2x，根據圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進而即可求解．【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，∴設OB=x，則OA=3x，BC=2x，∴圓的面積=π(3x)2=9πx2，正方形的面積==2x2，∴9πx2÷2x2=，即：圓的面積約為正方形面積的14倍，故選B．【點睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對稱性，根據題意畫出圖形，用未知數表示各個圖形的面積，是解題的關鍵．2．（2023秋·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）一座圓形花壇的半徑為，中間雕塑的底面是邊長為的正方形．如圖，這個花壇的實際種花面積為（取，結果精確到個位）．【答案】【分析】根據圓的面積減去正方形的面積即可求解．【詳解】解：依題意，這個花壇的實際種花面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了求圓的面積，掌握圓的面積公式是解題的關鍵．3．（2023秋·上海徐匯·六年級上海市徐匯中學?？计谀┠惩瑢W用所學過的圓與扇形的知識設計了一個問號，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個小圓的半徑均為2，請計算圖中陰影部分的周長和面積．【答案】陰影部分的周長為，陰影部分的面積為【分析】根據圓的周長和面積公式分別求出陰影的周長和面積，再進行運算即可．【詳解】解：；.答：陰影部分的周長為，陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了圓的面積、周長公式的運用；能夠熟練運用公式，并正確化簡計算是解題的關鍵．【經典例題五點與圓的位置關系】【例5】（2023秋·九年級課時練習）已知的半徑為，A為線段的中點，當時，點A與的位置關系是（

）A．點A在內 B．點A在上C．點A在外 D．不能確定【答案】A【分析】根據中點得到，結合點與圓的關系直接判斷即可得到答案；【詳解】解：∵A為線段的中點，，∴，∴點A在內，故選A；【點睛】本題考查點與圓的位置關系，掌握利用點與圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷點與圓的位置關系是解題的關鍵．點與圓的位置關系：點到圓心的距離小于半徑在圓內，等于半徑在圓上，大于半徑在圓外．【變式訓練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知在平面直角坐標系中，P點坐標為，若以原點O為圓心，半徑為畫圓，則點P與的位置關系是（）A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定【答案】B【分析】先求出，根據的半徑為5，即可判斷點P與的位置關系．【詳解】解：∵點P的坐標是，∴，而的半徑為5，∴等于圓的半徑，∴點P在⊙O上．故選：B．【點睛】此題考查了點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系的判斷是解題的關鍵．2．（2023秋·九年級課時練習）已知的半徑，點到圓的最近距離為，則點到圓的最遠距離為；若點到的最近距離為，則點與圓的位置關系是（填“在圓外、在圓上或在圓內”）．【答案】或在圓外【分析】根據的半徑，點到圓的最近距離為，可知點分兩種情況，一種情況在圓內，一種在圓外；根據點到的最近距離，的半徑，可以判斷點與圓的位置關系．【詳解】解：的半徑，點到圓的最近距離為，點在圓內或者圓外，當點在圓內時，點到圓的最遠距離為：；當點在圓外時，點到圓的最遠距離為：；當點到的最近距離，的半徑，，此時點在圓外；故答案為：或，點在圓外．【點睛】本題考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是明確點到圓的距離的最近與最遠與半徑的關系．3．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）閱讀與思考下面是一篇數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務．“三點共線模型”及其應用背景知識：通過初中學習，我們掌握了基本事實：兩點之間線段最短．根據這個事實，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據不等式的性質得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識拓展：如圖，在同一平面內，已知點和為定點，點為動點，且為定長（令），可得線段的長度為定值．我們探究和兩條定長線段，的數量關系及其最大值和最小值：當動點不在直線上時，如圖，由背景知識，可得結論，．當動點在直線上時，出現圖和圖兩種情況．在圖中，線段取最小值為；在圖中，線段取最大值為．模型建立：在同一平面內，點和為定點，點為動點，且，為定長（），則有結論≥，．當且僅當點運動至，，三點共線時等成立．我們稱上述模型為“三點共線模型”，運用這個模型可以巧妙地解決一些最值問題．任務：(1)上面小論文中的知識拓展部分．主要運用的數學思想有；（填選項）A．方程思想

B．統(tǒng)計思想

C．分類討論

D．函數思想(2)已知線段，點為任意一點，那么線段和的長度的和的最小是；(3)已知的直徑為，點為上一點，點為平面內任意一點，且，則的最大值是；(4)如圖4，，矩形的頂點、分別在邊、上，當在邊上運動時，隨之在上運動，矩形的形狀保持不變．其中，．運動過程中，求點到點的最大距離．【答案】(1)C(2)10(3)2(4)【分析】（1）根據上面小論文中的分析過程，體現了分類討論思想；（2）根據兩點之間線段最短可得出答案；（3）由點和圓的位置關系可知點在圓上，由直徑的定義可得出答案；（4）取的中點，連接、、，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根據三角形任意兩邊之和大于第三邊可得過點時最大．【詳解】（1）解：上面小論文中的知識拓展部分．主要運用的數學思想有分類討論思想，故答案為：C；（2）解：如圖所示：線段與的和最小是．故答案為：；（3）解：∵的直徑為，，∴點在圓上，∵點為上一點，∴直徑時，有最大值，即，故答案為：2；（4）解：如圖，取的中點，連接、、，∵，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，∴，根據三角形的三邊關系，，∴當過點時，等號成立，的值最大，最大值為．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，點和圓的位置關系，勾股定理，直角三角形的性質，矩形的性質，正確理解題意是解題的關鍵．【經典例題六三角形的外接圓】【例6】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖所示，的三個頂點的坐標分別為、、，則外接圓半徑的長為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，設的外心為M，由B，C的坐標可知M必在直線上，由圖可知線段的垂直平分線經過點，由此可得，過點M作于點D，連接，由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：設的外心為M，、，M必在直線上，由圖可知，線段的垂直平分線經過點，，如圖，過點M作于點D，連接，中，，，由勾股定理得：，即外接圓半徑的長為．故選D．【點睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據網格和三角形頂點坐標判斷出外心的位置是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為2，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點O作OH⊥BC于點H，根據等邊三角形的性質即可求出OH和BH的長，再根據垂徑定理求出BC的長，最后運用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過點O作OH⊥BC于點H，連接AO，BO，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵O為三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=OB=1，∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3∴∴故選：D【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．2．（2023·廣東東莞·模擬預測）如圖，點D是等邊內部一動點，，連接，若，則的長度最小值是．【答案】【分析】根據等邊三角形的性質和，求得，，如圖，作的外接圓，連接、、、，根據圓周角定理可得，從而求得，再根據等腰三角形的性質可得，，再根據垂直平分線的判定可得垂直平分，從而可得，再由直角三角形的性質可得，設，則，在中，利用勾股定理求得，則，，再由三角形三邊關系可得當點A、D、O在一條直線上時，最小，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，如圖，作的外接圓，連接、、、，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∴，設，則，在中，，即，解得：，∴，，在中，，∴當點A、D、O在一條直線上時，最小，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外接圓、等腰三角形的性質、圓周角定理、勾股定理、三角形三邊關系、垂直平分線的判定與性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）[探索發(fā)現]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經過多次操作發(fā)現，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.[理解應用]我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請你通過操作探究解決下列問題(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規(guī)作出這個三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑[拓展延伸]（3）如圖4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內部任意運動，則覆蓋不到的面積是【答案】（1）見解析；（2）r=2；（3）.【分析】（1）由題意，這個三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖（見解析）即可；（2）如圖（見解析），的最小覆蓋圓為的外接圓，由已知條件可得，則圓心角；連接OA、OB，過O作，由等腰三角形的性質可得，在中利用勾股定理求解即可；（3）由已知條件可是直角三角形，利用的面積減去圓的面積即可得.【詳解】（1）由題意，這個三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖如下：（2）如圖，的最小覆蓋圓為的外接圓連接OA、OB，過O作（圓周角定理），則是等腰三角形在中，由勾股定理得：解得：故的最小覆蓋圓的半徑為2；（3）是直角三角形又故所求的面積為.【點睛】本題考查了三角形外接圓的性質，理解題意，將其轉化為三角形外接圓問題是解題關鍵.【經典例題七確定圓的條件】【例7】（2023秋·九年級課前預習）下列說法中，真命題的個數是（

）①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經過三點確定一個圓；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根據圓的確定，進行判斷即可；②根據三角形的定義進行判斷即可；③直角三角形的外心在斜邊上，銳角三角形的外心在三角形內部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進行判斷；④根據三角形的外心是三條邊的中垂線的交點，進行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓．【詳解】解：①任何三角形有且只有一個外接圓，是真命題；②任何圓有無數個內接三角形，原說法錯誤，是假命題；③三角形的外心不一定在三角形內，是真命題；④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，是假命題；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓，原說法錯誤，是假命題；綜上，真命題的個數為2個；故選B．【點睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定．熟練掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓，三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·九年級課時練習）如圖，、為⊙O的切線，切點分別為A、B，交于點C，的延長線交⊙O于點D．下列結論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線【答案】B【分析】連接OB，OC，令M為OP中點，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據△BPA為等腰三角形，可判斷D；無法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點，連接MA，MB，∵B，C為切點，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無法證明與相互垂直平分，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，圓的性質，掌握知識點靈活運用是解題關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，為的中點，為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，當取最小值時，的值等于．【答案】【分析】點在以為圓心為半徑的圓上運動，當、、共線時時，此時的值最小，根據折疊的性質，得出，再根據全等三角形的性質，得出，，再根據勾股定理求出，根據折疊的性質，可知，再根據線段之間的數量關系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當、、共線時時，此時的值最小，根據折疊的性質，，，，是邊的中點，，，，，．由折疊可知：，，在中，根據勾股定理得：，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、兩點之間線段最短的綜合運用，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知等邊的邊長為8，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．（1）如圖1．當時，的面積為；（2）直線l是經過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應點是點．①如圖2，當時，若直線，求的長度；②如圖3，當時，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）先根據等邊三角形的邊長為8，計算等邊△ABC的面積，由同高三角形面積的比等于對應底邊的比，可得△PBC的面積；（2）①如圖2中，設直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問題；②如圖3中，過點P作PH垂直于AC，當B'、P、H共線時，△ACB′的面積最大，求出PH的長即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等邊△ABC的邊長為8，∴等邊△ABC的面積=，∵PB=3AP，∴△BPC的面積為；故答案為：12；（2）①如圖2中，設直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等邊三角形，∵PB=5，且B，B′關于PE對稱，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴∠PBO=30°，∴OP=PB=，OB=，∴BB′=5；②如圖3中，過點P作PH垂直于AC，由題意可得：B'在以P為圓心半徑長為6的圓上運動，當HP的延長線交圓P于點B′時面積最大，在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，∵PA=2，∵∠PAH=60°，∴AH=1，PH=，∴BH=6+，∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質和判定，軸對稱變換，勾股定理，含30°的直角三角形的性質，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．【經典例題八圓中角度的計算】【例8】1（2023·甘肅白銀·?？既＃┤鐖D，A、B、C是圓O上的三點，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據平行四邊形的性質和圓的半徑相等得到為等邊三角形，根據等腰三角形的三線合一得到答案．【詳解】解：

連接，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，∴為等邊三角形，∵，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查的是圓內半徑相等，平行四邊形的性質定理、等邊三角形的性質的綜合運用，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長線交于點E，已知，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據等腰三角形的判定和性質，得到，再根據三角形外角的性質，得到，利用三角形內角和定理，得到，即可求出的度數．【詳解】解：連接，，，，，，，，，，故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形等邊對等角的性質是解題關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動點，連接，交于點E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．【答案】/90度2【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性質即可得解；（2）先確定E點的運動路徑是個圓，再利用圓的知識和兩點這間線段最短確定最短長度，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）∵，，∴，∴.∵四邊形是矩形，∴，，∴，故答案為．（2）∵，點E在以為直徑的圓上，設的中點為O，則當O，E，C三點共線時，的值最小，此時∵，，∴，∴，∴，故答案為2．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，最短距離，圓等知識的應用，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，C為上一點，連接．(1)若，求的度數；(2)若的面積與的面積之比為，求的值．【答案】(1)∠BOC的度數為50°(2)【分析】（1）設，先根據等邊對等角和三角形內角和定理得到，再根據建立方程求解即可；（2）過C作于H，設，根據三角形面積之比求出，則由勾股定理得，進而得到，再利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：設，∵，∴，∵，∴，解得，∴；（2）解：過C作于H，設，∵的面積與的面積之比為，∴，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股可得，在中，由勾股可得，∴．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，勾股定理，等邊對等角，三角形內角和定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【經典例題九圓中線段長度的計算】【例9】（2023·全國·九年級專題練習）如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、O兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點B、C，使得的外心為O，求的長度為何（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】三角形外心的性質：三角形的外心到三角形三頂點的距離相等，由此得到，從而確定B、C的位置，然后利用勾股定理計算即可．【詳解】解：∵的外心為O，，，，、是方格紙格線的交點，、的位置如圖所示，．故選：D．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關鍵是掌握三角形的外心的性質．【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，弦于點．若，則的長為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】連接，由勾股定理得，，從而即可得到，最后由計算即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，，弦于點，，是的直徑，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的相關概念進行計算是解題的關鍵．2．（2023春·貴州銅仁·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點，將沿對折至，連接，當的長最小時，則的長是．

【答案】【分析】由翻折可得，故可確定點的軌跡，即可求解．【詳解】解：由題意得：故點在以點為圓心，為半徑的圓弧上運動，如圖所示：

設則在中，，∴解得：故答案為：【點睛】本題考查動點軌跡問題．矩形的性質，勾股定理的應用，確定點的軌跡是解題關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，，在射線上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點．求：(1)圓心O到的距離．(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作于，如圖，根據含度的直角三角形三邊的關系求出即可；（2）連接，如圖，利用勾股定理計算出和即可得答案．【詳解】（1）解：過點作于，如圖，，，，在中，，，即圓心到的距離為；（2）解：連接，如圖，，∴在中，，在中，，．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圓的概念，解本題的關鍵在熟練掌握度角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質．【經典例題十求一點到圓上點距離的最值】【例10】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）在同一平面內，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過點作于點，連接，判斷出當點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，，，當點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點睛】本題考查了圓的性質，正確判斷出點到直線的距離最大時，點的位置是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點，是線段上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】如圖，的運動軌跡是以E為圓心，以的長為半徑的圓．所以，當點落在DE上時，取得最小值．過點D作交延長線于G，解,得，，進一步求得，從而解得．【詳解】解：如圖，的運動軌跡是以E為圓心，以的長為半徑的圓．所以，當點落在DE上時，取得最小值．

過點D作交延長線于G，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴∴，∵E是的中點，，∴，∴∴由折疊的性質可知∴．故選D．【點睛】本題主要考查了折疊的性質、平行四邊形的性質、兩點之間線段最短的綜合運用，確定點在何位置時，的值最小，是解決問題的關鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，動點P在矩形的邊上沿運動．當點P不與點A、B重合時，將沿對折，得到，連接，則在點P的運動過程中，線段的最小值為．

【答案】/【分析】根據折疊的性質得出在A為圓心，2為半徑的弧上運動，進而分類討論當點P在上時，當點P在上時，當P在上時，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，∴，，如圖所示，當點P在上時，

∵，．∴在A為圓心，2為半徑的弧上運動，當A，，C三點共線時，最短，此時，當點P在上時，如圖所示，

此時，當P在上時，如圖所示，此時，

綜上所述，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．3．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，和均為邊長為的等邊三角形，點在邊上，是的中點，作點關于的對稱點，連接和．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求的最小值；(3)若與垂直，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據等邊三角形的性質，得出，即可得證；（2）根據題意得出點在以為圓心，為半徑的圓上，進而勾股定理求得的長，當在線段上時，取得最小值，即可求解；（3）根據題意作出圖形，延長交于點，得出，，勾股定理求得，進而根據含30度角的直角三角形的性質，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和均為邊長為的等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，是的中點，∴，∵點關于的對稱點，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上，連接，如圖所示，∵是的中點，是等邊三角形∴，∴，當在線段上時，取得最小值，∴的最小值為（3）解：如圖所示，延長交于點，∵，∴，，∴，在中，，則，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓外一點到圓上的距離，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，菱形的判定，勾股定理，折疊的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【重難點訓練】1．（2023秋·九年級課時練習）直角三角形的兩條直角邊長分別是，，則這個直角三角形的外接圓的半徑是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理計算出直角三角形的斜邊，然后根據直角三角形的斜邊為它的外接圓的直徑得到這個三角形的外接圓的半徑．【詳解】解：直角三角形的斜邊，因為直角三角形的斜邊為它的外接圓的直徑，所以這個三角形的外接圓的半徑為，故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形外接圓的性質，熟練運用勾股定理計算直角三角形的未知邊．注意：直角三角形的外接圓的半徑是其斜邊的一半．2．（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┤鐖D中外接圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點，分別作垂直平分線，交點為外心，再過外心分別向軸，軸的垂線，確定坐標．【詳解】解：外接圓圓心的坐標為．

故選C．【點睛】本題考查三角形的外接圓的定義．本題解題的關鍵是作圖找出三角形的外心．3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，點P是外一點，分別以O、P為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，直線交于點C，再以點C為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點A，連接交于點B，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據作圖痕跡，直線垂直平分，，利用線段垂直平分線性質和等腰三角形的等邊對等角求得，，再利用三角形的外角性質和三角形的內角和定理求得即可．【詳解】解：連接，根據作圖痕跡，直線垂直平分，，則，，∴，，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作垂線、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、三角形的外角性質和三角形的內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質，得到直線垂直平分是解答的關鍵．4．（2023·上海·模擬預測）如圖，在中，，，，點在邊上，，的半徑長為3，與相交，且點B在外，那么的半徑長r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7【答案】B【分析】連接交于，根據勾股定理求出，求出和，再根據相交兩圓的性質和點與圓的位置關系得出r的范圍即可得答案．【詳解】解：如圖，連接交于，則，在，由勾股定理得：＝＝＝5，∴，∵，，∴，∵使與相交，且點B在外，∴的半徑長r的取值范圍為：2＜r＜4，∴只有選項B符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了相交兩圓的性質，點與圓的位置關系，勾股定理等知識點，能熟記相交兩圓的性質和點與圓的位置關系的內容是解此題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，的半徑為4，圓心的坐標為，點P是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關于原點對稱，則的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．28【答案】D【分析】由中知要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點位于位置時，取得最大值，據此求解可得．【詳解】解：連接，∵，∴，∵點、點關于原點對稱，∴，∴，若要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點位于位置時，取得最大值，過點作軸于點，則、，∴，又∵，∴，∴；故選：D．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時點的位置．6．（2023秋·浙江·九年級專題練習）一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．【答案】6或【分析】先解方程求出方程的兩個根，再根據較大的根為斜邊和直角邊，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：，，解得：，①當直角邊分別為2，6時，斜邊為：，∵直角三角形的外接圓的直徑即為直角三角形斜邊的長，∴此時直角三角形外接圓的直徑為，②當斜邊為6時，此時直角三角形外接圓直徑為6．故答案為：6或．【點睛】本題考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圓．解題的關鍵是正確的求出一元二次方程的根，注意分類討論．7．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標為．【答案】【分析】先畫出圖形，證明，可得的外心是斜邊的中點，從而可得答案．【詳解】解：如圖，∵、、，∴，

∴的外心是斜邊的中點，∴外接圓的圓心坐標為：，即；故答案為：【點睛】本題考查的是坐標與圖形，求解直角三角形的外心坐標，熟記直角三角形的外心是斜邊的中點是解本題的關鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，E是邊長為4的正方形的邊上的一個動點，F是以為直徑的半圓上的一個動點，連接，，則的最小值是．

【答案】【分析】延長到點G，使得，設半圓的圓心為點O，連接交于點M，交半圓于點N，則的最小值是，根據用勾股定理計算即可．【詳解】延長到點G，使得，設半圓的圓心為點O，連接交于點M，交半圓于點