《二項分布》同步學案(教師版)

高中數(shù)學精編資源2/2《二項分布》同步學案情境導入很多新手司機拿到駕駛證后開車上路,如果不遵守交通規(guī)則,將會面臨扣分的處罰.為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定,某市交警部門結(jié)合機動車駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分、6分、3分、2分的新規(guī)定設置了一份試卷(滿分100分),發(fā)放給新手司機解答,從中隨機抽取了12名新手司機的成績,其成績分別為,(單位:分),并規(guī)定成績低于95分的為不合格,需要加強學習,成績不低于95分的為合格.將頻率視為概率,根據(jù)樣本估計總體的思想,若從該市新手司機中任選4名參加座談會,用表示成績合格的人數(shù),則的分布列如何求解呢?自主學習自學導引1.伯努利試驗我們把只包含_________可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗。重伯努利試驗將一個伯努利試驗獨立地_________所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.重伯努利試驗的特征：(1)同一個伯努利試驗重復做次;(2)各次試驗的結(jié)果_________.4.二項分布一般地,在重伯努利試驗中,設每次試驗中事件發(fā)生的概率為,用表示事件發(fā)生的次數(shù),則的分布列為_________.如果隨機變量的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量服從二項分布,記作._________.5.一般地,確定一個二項分布模型的步驟如下：(1)明確伯努利試驗及事件的意義,確定事件發(fā)生的_________;(2)確定重復試驗的次數(shù),并判斷各次試驗的_________;(3)設為次獨立重復試驗中事件發(fā)生的_________;則.6.二項分布的均值與方差若,則_________,_________.答案1.兩個2.重復進行次3.(2)相互獨立4.5.(1)概率(2)獨立性(3)次數(shù)6.預習測評1.下面關于重伯努利試驗的陳述中錯誤的是()A.一次試驗只有兩種可能結(jié)果,即“成功”和“失敗”B.每次試驗成功的概率都是相同的C.試驗結(jié)果都是相互獨立的D.在次試驗中,“成功”的次數(shù)對應一個連續(xù)型隨機變量2.隨機變量,則()A.B.C.D.3.已知某品種的幼苗每株成活率為,則栽種3株這種幼苗恰好成活2株的概率為()A.B.C.D.4.已知,則()A.6B.2C.4D.35.隨機變量,且,則()A.B.C.D.6.已知小明投籃10次,每次投籃的命中率均為0.7,記10次投籃中命中的次數(shù)為,則()答案1.D2.解析:隨機變量,則.3.D解析:令為栽種3株這種幼苗成活的株數(shù),則,故.解析:由題意可得隨機變量,則.因為,所以.5.A解析:因為隨機變量,且,,所以解得.6.2.1解析:由題意知,則.新知探究探究點1重伯努利試驗知識詳解1.伯努利試驗我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.2.重伯努利試驗將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.特別提示重伯努利試驗要從三方面考慮:(1)每次試驗是在同樣條件下進行;(2)各次試驗的結(jié)果是相互獨立的;(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.重伯努利試驗的特征：(1)同一個伯努利試驗重復做次;(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.典例探究例1下列試驗是重伯努利試驗,請寫出相應的伯努利試驗、每次試驗中的事件A、“成功”的概率及重復試驗的次數(shù).其運動員的職業(yè)生涯中投籃命中率為0.4,現(xiàn)假設投籃10次,且每次命中率相同.研究命中次數(shù).解析:根據(jù)重伯努利試驗的概念及特征解答即可.答案:伯努利試驗:投籃.每次試驗中的事件:投籃命中.“成功”的概率:0.4.重復試驗的次數(shù).變試訓練1判斷下列試驗是否是重伯努利試驗,如果是,請寫出相應的伯努利試驗、每次試驗中的事件、“成功”的概率及重復試驗的次數(shù).擲一枚均勻的骰子4次,其中6點出現(xiàn)的次數(shù).答案:是重伯努利試驗。伯努利試驗:的骰子.每次試驗中的事件:出現(xiàn)6點.“成功”的概率.重復試驗的次數(shù).探究點2二項分布知識詳解1.二項分布的定義一般地,在重伯努利試驗中,設每次試驗中事件發(fā)生的概率為,用表示事件發(fā)生的次數(shù),則的分布列為,.如果隨機變量的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量服從二項分布,記作.特別提示1.兩點分布與二項分布的關系:兩點分布是一種特殊的二項分布,即是的二項分布;二項分布可以看作兩點分布的一般形式.2.二項分布和二項式定理的聯(lián)系如果把看成看成,則就是的展開式的通項,且.3.一般地,確定一個二項分布模型的步驟如下:(1)明確伯努利試驗及事件的意義,確定事件發(fā)生的概率;(2)確定重復試驗的次數(shù),并判斷各次試驗的獨立性;(3)設為次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù),則.2.二項分布的計算一般地,在二項分布模型中,用表示這次試驗中成功的次數(shù),且每次成功的概率均為,則的分布列可以表示為.特別提示1.在上述公式中,是試驗的總次數(shù),是一次試驗中某事件發(fā)生的概率,是在重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生的次數(shù),只有弄清公式中的意義,才能正確地運用公式.2.利用二項分布解決問題的三個步驟(1)判斷:依據(jù)重伯努利試驗的特征,判斷所給試驗是否為重伯努利試驗.(2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆或找出對立事件.(3)計算:就每個事件依據(jù)二項分布的概率公式求解.典例探究例2下列說法正確的是________(填序號).①某同學投籃的命中率為0.3,他投籃10次,命中的次數(shù)是一個隨機變量,且;②某福彩的中獎概率為,某人一次買了8張,中獎張數(shù)是一個隨機變量,且;③從裝有5個紅球、5個白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球為止,則摸球次數(shù)是隨機變量,且.解析:①②顯然滿足重伯努利試驗的條件,而③雖然是有放回地摸球,但隨機變量的定義是直到摸出白球為止,也就是說前面摸出的一定是紅球,最后一次是白球,不符合二項分布的定義.答案:①②變式訓練2下列隨機變量服從二項分布嗎?如果服從,其參數(shù)各為多少?(1)100件產(chǎn)品中有3件不合格品,每次取1件,有放回地抽取3次,取得不合格品的件數(shù);(2)一個箱子內(nèi)有3個紅球,2個白球,從中依次取2個球,取得白球的個數(shù).答案(1)服從二項分布,其參數(shù);(2)不服從二項分布,因為每次取得白球的概率不相同.探究點3二項分布的實際應用知識詳解1.利用二項分布解決實際問題的關鍵是在實際問題中建立二項分布的模型,也就是看它是否是重伯努利試驗,隨機變量是否是在這重伯努利試驗中某事件發(fā)生的次數(shù),滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布.2.若隨機變量服從二項分布,則可利用公式求相關概率,得出隨機變量的分布列.典例探究例3高二(1)班的一個研究性學習小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學習小組又分成兩個小組進行驗證性試驗.(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下1粒種子),求第一小組所做試驗中至少有3次發(fā)芽成功的概率.(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(每次均種下1粒種子),如果在1次試驗中種子發(fā)芽成功就停止試驗,否則將繼續(xù)進行下次試驗,直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗的次數(shù)最多不超過5.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)${X}$的分布列.解析:(1)至少有3次發(fā)芽成功,包含3種情況,即3次、4次、5次發(fā)芽成功,利用互斥事件的概率和求解;(2)寫出第二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)的所有可能取值,然后求出對應的概率值,即可得分布列.答案:(1)至少有3次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設5次試驗中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機變量,則所以至少有3次發(fā)芽成功的概率為4).(2)隨機變量的可能取值為.根據(jù)題意可得的分布列用表格表示為方法歸納1.二項分布的簡單應用是求重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生次的概率.解題的一般思路是根據(jù)題意設出隨機變量分析出隨機變量服從二項分布找到參數(shù),將值代入求解概率寫出二項分布的分布列.2.利用二項分布求解“至少”“至多”問題的概率,其實質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率,一般轉(zhuǎn)化為求幾個互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率.變式訓練3在一次數(shù)學考試中，第14題和第15題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做1道題.設4名考生選做這兩題中的每一題的可能性均為.(1)求其中甲、乙兩名考生選做同一道題的概率;(2)設這4名考生中選做第15題的考生人數(shù)為,求的分布列.答案:(1)設事件表示“甲選做第14題”,事件表示“乙選做第14題”,則甲、乙兩名考生選做同一道題的事件為“”,且事件相互獨立.所以.(2)隨機變量的可能取值為,且.所以變量的分布列為..變量的分布列用表格表示為探究點4二項分布的均值和方差知識詳解1.二項分布的均值與方差若,則.特別地,若隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布,則.2.求二項分布均值和方差的步驟:(1)先判定隨機變量服從二項分布;(2)代入二項分布的均值和方差公式計算均值和方差.典例探究例4一個袋中裝有除顏色外完全相同的8個球,其中紅球2個,白球6個.(1)不放回地從袋中任取3個球,求恰有1個紅球的概率;(2)有放回地每次取1個球,直到取到2次紅球即停止,求恰好取4次停止的概率;(3)有放回地每次取1個球,共取3次,記取到紅球的個數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.解析:(1)不放回地抽樣,用計數(shù)原理可知樣本的總數(shù),再表示出恰有1個紅球的取法種數(shù),于是可得概率.(2)恰好取4次停止代表的事件為前3次取得1次紅球,2次白球,第四次取得紅球,據(jù)此可求其概率.(3)隨機變量的可能取值為且,求出取每個值時對應的概率,列出分布列,進而可以求得的數(shù)學期望.答案:(1)由題意,從8個球中不放回地取3個球,有種不同的取法,其中恰有1個紅球有種不同的取法,所以不放回地從袋中任取3個球,恰有1個紅球的概率為.(2)由題意,恰好取4次停止,即前3次中有1次取到紅球,且第4次取到紅球.因為有放回地每次取1球,取到紅球的概率為,所以所求概率為.(3)根據(jù)題意可得隨機變量的可能取值為,且的分布列用表格表示為所以數(shù)學期望.方法歸納如果能分析出所給隨機變量服從二項分布,可直接用它的均值公式、方差公式進行計算.變式訓練4某商場為刺激消費,擬按以下方案進行促銷:顧客消費每滿500元便得到獎券1張,每張獎券的中獎概率為,且每張獎券是否中獎是相互獨立的,若中獎,則商場返回顧客現(xiàn)金100元.某顧客現(xiàn)購買單價為2300元的臺式電腦一臺,得到獎券4張.(1)設4張獎券中中獎的張數(shù)為,求的分布列;(2)設該顧客購買臺式電腦的實際支出為(單位:元),用表示,并求的數(shù)學期望和方差.答案:(1)因為每張獎券是否中獎是相互獨立的,所以由題意可得.所以的分布列為.的分布列用表格表示為(2)因為,所以,.又由題意可知,所以,.解析:(1)由題意,服從二項分布,從而可得的分布列;(2)由二項分布的均值和方差公式可得和,又,根據(jù)公式即可求解和.易錯易混解讀例9粒種子分種在3個坑內(nèi),每坑放3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為.若1個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補種;若1個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補種.假定每個坑至多補種一次,求需要補種坑數(shù)的分布列.錯解:設需要補種的坑數(shù)為,則的可能取值為.所求分布列為錯因分析:每粒種子發(fā)芽的概率與每坑不需要補種的概率混淆,導致錯誤.正解:因為單個坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為,所以單個坑不需補種的概率為.設需要補種的坑數(shù)為,則的可能取值為,3,且.需要補種坑數(shù)的分布列為糾錯心得:審題不仔細是解題錯誤的主要原因之一.審題時要認真分析,弄清條件與結(jié)論,發(fā)掘一切可用的解題信息.例2冰箱中放甲、乙兩種飲料各5瓶,每次飲用時從中任意取1瓶甲或乙種飲料,且取用時取甲種或乙種飲料的概率相等.(1)求甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率;(2)求甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用的瓶數(shù)至少多4的概率.錯解:(1)5瓶甲種飲料飲用完畢,有種方法,乙種飲料還剩下3瓶即飲用了2瓶,有種方法,所以甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶共有種可能的結(jié)果,而從10瓶中選出7瓶共有種可能的結(jié)果.所以甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率為.(2)甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用的瓶數(shù)至少多4包括3種情況:①甲被飲用5瓶,乙被飲用1瓶,有種;②甲被飲用5瓶,乙沒有被飲用有種;③甲被飲用4瓶,乙沒有被飲用,有種.所以甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用的瓶數(shù)至少多4的概率為.錯因分析:上述解答出錯的原因是把飲用甲、乙兩種飲料當作一次性取出,而取用時甲種或乙種飲料的概率相等,所以用“等可能事件的概率”來解決.但實質(zhì)上,每瓶飲料是一次次地取出飲用的,且甲、乙兩種飲料每次被飲用的概率都為,故應用“二項分布”來求.正解:(1)設“飲用1瓶,飲用的是甲種飲料”為事件,則.甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率即求7重伯努利試驗中事件發(fā)生5次的概率,為.(2)甲種飲料被飲用的瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4包括3種情況:①甲被飲用5瓶,乙被飲用1瓶;②甲被飲用5瓶,乙被飲用0瓶;③甲被飲用4瓶,乙被飲用0瓶.所求概率為.糾錯心得:在應用概率求解問題時,應該分清楚是哪種類型的概率.只有類型選用正確,才不會出現(xiàn)錯誤.課堂檢測1.判斷正誤.(1)設為重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù),則.()(2)在重伯努利試驗中,各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.()(3)對于重伯努利試驗,各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同.()2.