專題03特殊的平行四邊形中的最值模型-費(fèi)馬點(diǎn)模型（原卷版）

專題03特殊的平行四邊形中的最值模型費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭煟媛毟愀銛?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)?！灸Ｐ徒庾x】結(jié)論：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）圖3【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。例1．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為_(kāi)_______．例3．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，N為邊上一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．例4．（2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ，若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為．例5．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．

變式1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為_(kāi)_____．變式2．（2023·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示，若∠α＝30°，則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是．變式3．（2023·廣東廣州·?？级＃┢叫兴倪呅沃?，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．變式4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．變式5．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問(wèn)題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂(lè)場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂(lè)場(chǎng)E修三條，求三條路的長(zhǎng)度和（即）最小時(shí)，平行四邊形公園的面積．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______．3．（2023·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．5．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．6．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，若點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．

7．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是矩形對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則的最小值是__．8．（2023·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．9．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．10．（2022·福建九年級(jí)月考）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，.且（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；請(qǐng)直接寫出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)，以及的最小值.(提示：連接:，)11．（2023·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化．問(wèn)題提出：如圖1，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，求的最小值．方法分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段(星型線)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折)，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值(化折為直)．問(wèn)題解決：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接、，記與交于點(diǎn)，易知，．由，，可知為正三角形，有．故．因此，當(dāng)共線時(shí)，有最小值是．學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，則的最小值是__________．(2)如圖4，在中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，求的最小值．(3)如圖5，是邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、，求的最小值．12．（2023春·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段BF上一點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若對(duì)角線AC⊥AB，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，，，求BC的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，AC的垂直平分線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于點(diǎn)M，求證：；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足BCE為等邊三角形時(shí)，若；在BCE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P使有最小值，若存在，直接寫出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形中，是對(duì)角線．（1）如圖①若，，求菱形的面積；（2）如圖②，、分別是、上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．求證：（3）如圖③，若，且點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，求的最小值．14．（2022·重慶綦江·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF＝5，求DF的長(zhǎng)；(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．15．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖：(1)如圖1，已知銳角△ABC的邊BC＝3，S△ABC＝6，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC交BC于點(diǎn)D，連接AM，則AM+MD的最小值為．(2)如圖2．點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度數(shù)．(3)如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800點(diǎn)P是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△ABC＝2S△PBC，點(diǎn)Q為△ADP內(nèi)的任意﹣點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若