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主要內(nèi)容:本文通過對(duì)比分析,解析函數(shù)y=ax+eq\f(b,cx)當(dāng)a,b,c的系數(shù)符號(hào)不同時(shí),并舉例以四個(gè)函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x),y?=122x-eq\f(149,152x),y?=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x),說明系數(shù)符號(hào)變化與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系,簡(jiǎn)要畫出函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系下的圖像。☆.函數(shù)的定義域分析根據(jù)y?=122x+eq\f(149,152x),y?=122x-eq\f(149,152x),y?=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x)函數(shù)特征,可知均含有分式,故要求分母不為0,所以4個(gè)函數(shù)的定義域相同,定義域均為:(-∞,0)∪(0,+∞)?!?函數(shù)的單調(diào)性分析由于4個(gè)函數(shù)均是由一個(gè)正比例函數(shù)和一個(gè)反比例函數(shù)的和差函數(shù),可以根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性綜合分析和差函數(shù)的單調(diào)性。1.對(duì)于函數(shù)y?=122x-eq\f(149,152x),是由正比例增函數(shù)和反比例減函數(shù)的差,所以相當(dāng)于兩個(gè)增函數(shù)的和,故函數(shù)y2整體為增函數(shù)。2.對(duì)于函數(shù)y?=-122x+eq\f(149,152x),是由正比例減函數(shù)和反比例減函數(shù)的和,所以相當(dāng)于兩個(gè)減函數(shù)的和,故函數(shù)y3整體為減函數(shù)。3.對(duì)于函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x)前后兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不一致,不能簡(jiǎn)單通過上述方法解析,但可以使用導(dǎo)數(shù)來分析單調(diào)性?!?導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性步驟1.函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x),求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),有:eq\f(dy,dx)=122-eq\f(149,152x2)=eq\f(122*152x2-149,152x2),令eq\f(dy,dx)=0,即:122*152x2-149=0,所以x=±eq\f(1,4636)eq\r(172691)≈±0.09,結(jié)合函數(shù)的定義域,并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有:(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(1,4636)eq\r(172691))∪(eq\f(1,4636)eq\r(172691),+∞)時(shí),eq\f(dy,dx)>0,函數(shù)為增函數(shù);(2)當(dāng)x∈[-eq\f(1,4636)eq\r(172691),0)∪(0,eq\f(1,4636)eq\r(172691)]時(shí),eq\f(dy,dx)<0,函數(shù)為減函數(shù)。2.函數(shù)y4=-122x-eq\f(149,152x),是y1的相反函數(shù),故單調(diào)性與之相反。同理,結(jié)合函數(shù)的定義域,并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有:(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(1,4636)eq\r(172691))∪(eq\f(1,4636)eq\r(172691),+∞)時(shí),eq\f(dy,dx)<0,函數(shù)為減函數(shù);(2)當(dāng)x∈[-eq\f(1,4636)eq\r(172691),0)∪(0,eq\f(1,4636)eq\r(172691)]時(shí),eq\f(dy,dx)>0,為增函數(shù)?!?函數(shù)的凸凹性1.函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x)有:eq\f(dy,dx)=122-eq\f(149,152x2),則:eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*149,152x3)=eq\f(2*149,152x3),可知與x的符號(hào)成正向關(guān)系,所以:(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),eq\f(d2y,dx2)<0,函數(shù)為凸函數(shù);(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),eq\f(d2y,dx2)>0,函數(shù)為凹函數(shù)。2.函數(shù)y?=122x-eq\f(149,152x)有:eq\f(dy,dx)=122+eq\f(149,152x2),則:eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*149,152x3)=-eq\f(2*149,152x3),可知與x的符號(hào)有關(guān)系且相反,所以:(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),eq\f(d2y,dx2)>0,函數(shù)為凹函數(shù);(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),eq\f(d2y,dx2)<0,函數(shù)為凸函數(shù)。3.y?=-122x+eq\f(149,152x)有:eq\f(dy,dx)=-122-eq\f(149,152x2),則:eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*149,152x3)=eq\f(2*149,152x3),可知與x的符號(hào)成正向關(guān)系,所以:(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),eq\f(d2y,dx2)<0,函數(shù)為凸函數(shù);(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),eq\f(d2y,dx2)>0,函數(shù)為凹函數(shù)。4.y4=-122x-eq\f(149,152x)有:eq\f(dy,dx)=-122+eq\f(149,152x2),則:eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*149,152x3)=-eq\f(2*149,152x3),可知與x的符號(hào)有關(guān)系且相反,所以:(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),eq\f(d2y,dx2)>0,函數(shù)為凹函數(shù);(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),eq\f(d2y,dx2)<0,函數(shù)為凸函數(shù)?!?函數(shù)的極限eq\s(lim,x→-∞)122x+eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→0-)122x+eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)122x+eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)122x+eq\f(149,152x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)122x-eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→0-)122x-eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→0+)122x-eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)122x-eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→-∞)-122x+eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-122x+eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)-122x+eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-122x+eq\f(149,152x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-122x-eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-122x-eq\f(149,152x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-122x-eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-122x-eq\f(149,152x)=+∞☆.函數(shù)的奇偶性按照奇偶性判斷方法,可知四個(gè)函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x),y?=122x-eq\f(149,152x),y?=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x),均為奇函數(shù)。所以,圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,本處以y?介紹奇偶性判斷步驟。∵f(x)=-122x+eq\f(149,152x)∴f(-x)=-122*(-x)+eq\f(149,152*(-x))=122x-eq\f(149,152x)=-[-122x+eq\f(149,152x)]=-f(x).即:f(-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。☆.函數(shù)的五點(diǎn)圖x(<0)-0.13-0.11-0.09-0.07-0.04122x+eq\f(149,152x)-23.40-22.33-21.87-22.54-29.39122x-eq\f(149,152x)-8.32-4.51-0.095.4619.63-122x+eq\f(149,152x)8.324.510.09-5.46-19.63-122x-eq\f(149,152x)23.4022.3321.8722.5429.39x(>0)0.040.070.090.110.13122x+eq\f(149,152x)29.3922.5421.8722.3323.40122x-eq\f(149,152x)-19.63-5.460.094.518.32-122x+eq\f(149,152x)19.635.46-0.09-4.51-8.32-122x-eq\f(149,152x)-29.39-22.54-21.87-22.33-23.40☆.函數(shù)的圖像示意圖四個(gè)函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x),y?=122x-eq\f(149,152x),y?=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x)在同一個(gè)坐標(biāo)系下示意圖如下所示。其中:紅色曲線表示y?=122x+eq\f(149,152x)圖像;綠色曲線表示y?=122x-eq\f(149,152x)圖像;紫色曲線表示y?=-122x+eq\f(149,152x)圖像;黑色曲線表示y4=-122x-eq\f(149,152x)圖像。yy4=-122x-eq\f(149,152x)y?=122x+eq\f(149,152x)y?=-122x+eq\f(149,152x)y?=122x-eq\f(149,152x)y?=-122x+eq\f(149,152x) xy?=122x+eq\f(149,152x)y4=-122x-eq\f(149,152x)☆.主要特性歸納1.函數(shù)相反性:函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x)和函數(shù)y4=-122x-eq\f(149,152x)在同一個(gè)x處的y值互為相反數(shù);函數(shù)y?=122x-eq\f(149,152x)和函數(shù)y?=-122x+eq\f(149,152x)也在同一個(gè)x處的y值互為相反數(shù)。2.經(jīng)過的象限:函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x)經(jīng)過第一和第三象限,函數(shù)y4=-122x-eq\f(149,152x)則經(jīng)過第二、第三象限;函數(shù)y?=122x-eq\f(149,152x)和函數(shù)y?=-122x+eq\f(149,152x)四個(gè)象限均經(jīng)過。3.曲線的交點(diǎn):函數(shù)y?=122x+eq\f(149,152x)和函數(shù)y4=-122x-eq\f(149,152x)分別同另外3條曲線均沒有交點(diǎn);曲線方程y?=122x-eq\f(149,152x)和函數(shù)y?=-122x+eq\f(149,152x)有公共交點(diǎn),且有兩個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)在x軸上,并互為相反數(shù)。4.坐標(biāo)軸交點(diǎn):函數(shù)y?=122x+eq\f(149,1

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