專題01 角平分線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）-（解析版）

角平分線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1． 如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，則四邊形ABCD的面積為（）A．50 B．56 C．60 D．72【解答】A【解析】過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，則∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，∴四邊形ABCD的面積S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED＝50，故選：A．2． 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E．已知AD＝3，DE＝4，則下列結(jié)論正確的是（）A．AE＝BE B．DE垂直平分AC C． D．【解答】D【解析】過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D，∴DC＝DF，∵過點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E．∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵AD＝3，DE＝4，∴，∴，∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B說法錯(cuò)誤；∵，∴AE≠BE，故A說法錯(cuò)誤；∵，∴故C說法錯(cuò)誤；∵，故D說法正確；故選：D．3． 如圖，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分線AP，BP相交于點(diǎn)P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列結(jié)論：（1）PE＝PF；（2）點(diǎn)P在∠COD的平分線上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】C【解析】（1）證明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分線，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正確；（2）與（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴點(diǎn)P在∠COD的平分線上，∴（2）正確；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）錯(cuò)誤；故選：C．4. 在中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F，且，則AC=．【解答】【解析】過點(diǎn)E作于G，連接CF，如圖所示：分別是和的平分線，，CF是的平分線，，在中，，由勾股定理可得.5. 如圖，在中，，，、的平分線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)F，則EF的長為.【解答】【解析】延長FE交AB于點(diǎn)D，作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，如圖所示：四邊形BDEG是矩形，平分，CE平分，四邊形BDEG是正方形，在和中，，同理可得，設(shè)，則，，，解得，，，即，解得，.6． 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于點(diǎn)E，連接AE．若AC＝BC＝4，則△ABE的面積為．【解答】4【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一點(diǎn)J，使得EJ＝EC，連接CJ．設(shè)EC＝EJ＝m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于點(diǎn)E，∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝22.5°，∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，∴∠EJC＝45°，∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，∴JC＝JB＝m，∴EB＝m+m，∵EC2+EB2＝BC2，∴m2+（m+m）2＝42，∴m2＝8﹣4，∴S△ECB＝?EC?EB＝?m（m+m）＝?（1+）m2＝2，∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，∴EH＝EK，∴，∴S△AEB＝2×＝4．解法二：延長CE交AB于點(diǎn)F，證明△ABE的面積等于△ABC的一半，可得S△AEB＝4．故答案為4．7. 如圖，，BE平分，CE平分，點(diǎn)E在AD上，求證：.【解答】見解析【解析】在直線BC上截取，連接EF，如圖所示：在和中，，，在和中，，又，即.8. 如圖，在中，三條角平分線相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P到AB的距離.【解答】3【解析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖所示：，點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，，又，即，點(diǎn)P到AB的距離為3.9. 如圖，在中，AB為直徑，CD平分交于點(diǎn)D，求證：.【解答】見解析【解析】連接AD、BD，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖所示：是的直徑，CD平分交于點(diǎn)D，，與都是等腰直角三角形，在中，，在中，，，是的直徑，，，又，.10. 如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)A在的斜邊DE上，若，求兩個(gè)三角形的重疊部分面積是多少？【解答】重疊部分面積為【解析】連接BD，AB與CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，ON⊥BD于點(diǎn)N，如圖所示：又，，，在中，由勾股定理可得，在中，，解得，平分，又于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，，，，.11．已知：如圖，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，BD于點(diǎn)O．求證：點(diǎn)O到EB與ED的距離相等．【解答】見解析【解析】證明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴點(diǎn)O到EB與ED的距離相等．12．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系．【解答】（1）見解析；（2）AB+AC＝2AE．【解析】（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE與△CDF均為直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，