專題02 中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）-（解析版）

中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1. 如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN等于（）A. B. C. D.【解答】C【解析】如圖，連接AM.∵AB＝AC，M是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∵AC＝5，CM＝BC＝3，∴AM＝4，∴在Rt△AMC中，AMCM＝ACMN，即4×3＝5MN，解得MN＝.2. 如圖，O的半徑為5，AB為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若∠ABC＝30°，則弦AB的長為（）A. B.5 C. D.【解答】D【解析】如圖，連接OA、OC，OC交AB于點(diǎn)D.∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD＝.3. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，若DE平分△ABC的周長，則DE的長為.【解答】【解析】如圖，過點(diǎn)A作AM∥DE交BC的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AM，垂足為N.∵D是AB的中點(diǎn)，∴E為BM的中點(diǎn)，即BE＝EM，又∵DE平分△ABC的周長，∴AC+CE＝BE，∴MC+CE＝AC+CE，∴MC＝AC，∵CN⊥AM，∠ACB＝60°，∴∠CAN＝60°，在Rt△CAN中，AN＝AC·sin60o＝，∴AM＝2AN＝，∴DE＝AM＝.4. 如圖，過矩形ABCD的頂點(diǎn)A作一直線，交BC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接FC、FD.求證：∠FDC＝∠FCD.【解答】見解析【解析】證明：如圖，連接BF.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，又∵F是AE的中點(diǎn)，∴FB＝FA，∴∠FBA＝∠FAB，∵在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠FAD＝∠FBC，又∵AD＝BC，∴△ADF≌△BCF（SAS），∴DF＝CF，∴∠FDC＝∠FCD.5. 已知：在△ABC中，AD為中線，且∠BAD＝90°，∠DAC＝45°，求證：AB＝2AD.【解答】見解析【解析】證明：如圖，延長AD至點(diǎn)E，使得ED＝DA，連接BE、CE.∵BD＝CD，AD＝DE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴AC∥BE，AE＝2AD，∴∠AEB＝∠CAD＝45°，∵∠BAD＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AE＝2AD，∴AB＝2AD.6. 已知，如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，直線EG⊥AD于點(diǎn)F，且交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，求證：.【解答】見解析【解析】如圖，分別過點(diǎn)B、C作BM⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)M，作CN⊥AD于點(diǎn)N.∵EG⊥AD于點(diǎn)F，∴EG∥BM∥CN，∴ ① ②∴∠MBD＝∠NCD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN，∴DM＝DN③由①②③得.7. 如圖，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于E，F(xiàn)、G分別是BC、DE的中點(diǎn)，若ED＝10，求FG的長.【解答】【解析】如圖，連接EH、DH.由題意可得EH、DH分別為Rt△BEC、Rt△BDC斜邊上的中線，∴DH＝EH＝BC＝11，∵點(diǎn)G為ED的中點(diǎn)，∴DG＝EG＝5，又∵HG⊥DE，∴在Rt△HGD中，HG＝.8. 在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，延長AD至點(diǎn)E，延長AB交CE的延長線于點(diǎn)P，若AD＝2DE，求證：AP＝3AB.【解答】見解析【解析】如圖，過點(diǎn)D作DF∥AP交PC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴DF為△PBC的中位線，∴PB＝2FD，又∵DF∥AP，∴△DFE∽△APE，∴，∵AD＝2DE，∴AE＝3DE，∴，∴AP＝3DF，∴AB＝AP－BP＝3DF-2DF＝DF，∴AP＝3AB.9. 如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點(diǎn)，求的值.【解答】【解析】如圖，過點(diǎn)D作DH∥AC交BF于點(diǎn)H，則∠EAF＝∠EDH.∵E是AD的中點(diǎn)，∴∠AEF＝∠DEH，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴DH＝AF，在△BCF中，D為BC的中點(diǎn)，且DH∥AC，∴DH＝FC，∴AF＝FC，∴.10. 如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交線段EO于點(diǎn)F，若AB＝BF.（1）求證：AB是圓O的切線；（2）若CF＝4，DF＝，求圓O的半徑及sinB的值.【解答】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：如圖，連接OA、OD.∵D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴∠EOD＝90o，∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠ODA，又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠BAF＝∠ODA＋∠OFD＝90o，即∠OAB＝90o，∴OA⊥AB，∴AB是圓O的切線；（2）由題意可得OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝，在Rt△DOF中，，即，解得（舍），∴OA＝3，OF＝1，BO＝BF＋FO＝AB＋1，在Rt△AOB中，，，∴AB＝4，∴OB＝5，.11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，（1）不添加其它的已知條件，找出圖中的所有等腰三角形；（2）求證：MN⊥BD；（3）若∠DAC＝62°，∠BAC＝58°，求∠DMB．【解答】（1）見解析；（2）120°【解析】（1）解：△ADM，△DMC，△AMB，△BCM都是等腰三角形．理由：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴DM=12AC＝AM＝CM，BM=12AC＝∴△ADM，△DMC，△AMB，△BCM都是等腰三角形．（2）證明：∵DM=12AC，BM=∴DM＝BM，∵DN＝BN，∴MN⊥BD．（3）解：DM＝MA＝MB，∴∠MAD＝∠MDA＝62°，∠MAB＝∠MBA＝58°，∴∠AMD＝180°﹣2×62°＝56°，∠AMB＝180°﹣2×58°＝64°，∴∠DMB＝∠AMD+∠AMB＝120°．12．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于D點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)，BD＝DE（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若E是AC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，連接BE，求陰影部分的面積．【解答】（1）見解析；（2）2【解析】（1）證明：∵BD＝DE，∴∠BOD＝∠DOE．∵∠BAC=12∠∴∠BOE＝∠BOD＝∠DOE．∵OA＝OE，∴∠BAC＝∠OEA．∴∠OEA＝∠DOE．∴AC∥OD．∴∠C＝∠ODB．∵∠ABC＝∠ODE，∴∠C＝∠ABC．∴△ABC是等腰三角形．（2）根據(jù)扇形面積公式得：60π×436013．已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，且AF＝DC，連接CF．（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）見解析；（2）矩形，理由見解析【解析】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE