專題03 平行模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）-（解析版）

平行模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1．如果AB∥CF，DE∥CF，∠DCB＝40°，∠D＝30°，求∠B的度數(shù)．【解答】110°【解析】∵DE∥CF，∠D＝30°，∴∠DCF＝∠D＝30°，∴∠BCF＝∠DCF+∠BCD＝30°+40°＝70°，又∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∴∠B＝180°﹣70°＝110°．2．如圖，AB∥CD，∠A＝38°，∠C＝80°，求∠M．【解答】42°【解析】∵AB∥CD，∠C＝80°，∴∠MEB＝∠C＝80°．又∵∠A＝38°，∴∠M＝∠MEB﹣∠A＝80°﹣38°＝42°．3．如圖所示，直線AB∥CD，直線AB、CD被直線EF所截，EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，（1）若∠AEF＝50°，求∠EFG的度數(shù)．（2）判斷EG與FG的位置關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）25°；（2）EG⊥FG【解析】（1）∵AB∥CD∴∠EFD＝∠AEF＝50°，∵FG平分∠DFE，∵∠EFG＝∠DFE＝×50°＝25°；（2）EG⊥FG．理由：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE，∴∠GEF+∠GFE＝∠BEF+∠DFE，＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，∴∠G＝180°﹣（∠BEF+∠DFE）＝90°∴EG⊥FG．4．如圖，已知AB∥CD，DA平分∠BDC，∠A＝∠C．（1）試說明：CE∥AD；（2）若∠C＝30°，求∠B的度數(shù)．【解答】（1）見解析；（2）120°【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC．∵∠A＝∠C，∴∠ADC＝∠C，∴CE∥AD；（2）由（1）可得∠ADC＝∠C＝30°．∵DA平分∠BDC，∠ADC＝∠ADB，∴∠CDB＝2∠ADC＝60°．∵AB∥DC，∴∠B+∠CDB＝180°，∴∠B＝180°﹣∠CDB＝120°．5．已知EM∥BN．（1）如圖1，求∠E+∠A+∠B的大小，并說明理由．（2）如圖2，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F．①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，則∠EFD＝．②試探究∠EFD與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．（3）如圖3，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F，過點F作FG⊥BD交BN于點G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度數(shù)．【解答】（1）∠E+∠EAB+∠B＝360°；（2）①60°；②∠A＝2∠EFD；（3）∠EFB的度數(shù)為54°．【解析】（1）過A作AQ∥EM，∴∠E+∠EAQ＝180°，∵EM∥BN，∴AQ∥BN，∴∠QAB+∠B＝180°，∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，∴∠ABN＝100°，∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F，∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠FBC＝50°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，故答案為60°；②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F，∴∠DEF＝∠AEM，∠FBC＝∠ABN，∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠FBC＝∠ABN，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣∠AEM﹣∠ABN＝180°﹣（360°﹣∠A）＝∠A，即∠A＝2∠EFD；（3）設(shè)∠EFD＝x，則∠A＝2x，由題意得4?2x＝3（90+x），解得x＝54°，答：∠EFB的度數(shù)為54°．6．對于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補(bǔ)周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補(bǔ)周角．（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為60°°（2）在平面內(nèi)AB∥CD，點E是平面內(nèi)一點，連接BE，DE．①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補(bǔ)周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側(cè)，且滿足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運(yùn)動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．【解答】（1）60°；（2）①∠B＝75°；②當(dāng)BG上的動點P為∠CDG的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，此時k＝2n．【解析】（1）設(shè)∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為x°，根據(jù)新定義得，120+4x＝360，解得，x＝60，∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為60°，故答案為60；（2）①過E作EF∥AB，如圖1，∴∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D＝60°，∴∠D＝∠DEF＝60°，∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，即∠B+60°＝∠BED，∵∠B是∠BED的3系補(bǔ)周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，∴∠B＝75°；②當(dāng)BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，此時k＝2n．7．已知AB∥CD，點M、N分別是AB、CD上兩點，點G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點P是CD下方一點，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，若點E是AB上方一點，連接EM、EN，且GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）【解答】（1）90°；（2）120°；（3）52°【解析】（1）如圖1，過G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵M(jìn)G⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如圖2，過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設(shè)∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝40°，∴∠MGK＝∠BMG＝40°，∵M(jìn)G平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝40°，∴∠BMP＝80°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝80°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°；（3）如圖3，過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設(shè)∠AMF＝x，∠GND＝y(tǒng)，∵AB，F(xiàn)G交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y(tǒng)，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝102°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝102°，∴x＝26°，∴∠AME＝2x＝52°．8．問題情境在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖（1），小明把三角尺的60°角的頂點G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關(guān)系；結(jié)論應(yīng)用（3）如圖（3），小亮把三角尺的直角頂點F放在CD上，30°角的頂點E落在AB上．若∠AEG＝α，則∠CFG等于（用含α的式子表示）．【解答】（1）40°；（2）∠AEF+∠GFC＝90°（3）60°﹣α【解析】（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如圖2，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠GFC＝90°；（3）如圖3，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．故答案為：60°﹣α．9．已知：如圖1，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別為AB，CD上一點．（1）在AB，CD之間有一點M（點M不在線段EF上），連接ME，MF，試探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．請補(bǔ)全圖形，并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，選其中一個進(jìn)行證明．（2）如圖2，在AB，CD之間有兩點M，N，連接ME，MN，NF，請選擇一個圖形寫出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）∠EMF＝∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°．證明：過點M作MP∥AB．∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4＝∠3．∵M(jìn)P∥AB，∴∠1＝∠2．∵∠EMF＝∠2+∠3，∴∠EMF＝∠1+∠4．∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC；證明：過點M作MQ∥AB．∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1＝180°；∵M(jìn)Q∥AB，∴∠AEM+∠2＝180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2＝360°．∵∠EMF＝∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°；（2）如圖2第一個圖：∠EMN+∠MNF﹣∠AEM﹣∠NFC＝180°；如圖2第二個圖：∠EMN﹣∠MNF+∠AEM+∠NFC＝180°．10．如圖1，已知：AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，且OE⊥OF．（1）求∠1+∠2的度數(shù)；（2）如圖2，分別在OE、CD上取點G、H，使FO平分∠CFG，OE平分∠AEH，試說明FG∥EH．【解答】（1）90°；（2）見解析【解析】證明：（1）過點O作OM∥AB，則∠1＝∠EOM，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠FOM，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，即∠EOM+∠FOM＝90°，∴∠1+∠2＝90°；（2）∵AB∥CD∴∠AEH+∠CHE＝180°，∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH∴∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1，∵∠1+∠2＝90°∴∠CFG+∠AEH＝2∠1+2∠2＝180°，∴∠CFG＝∠CHE，∴FG∥EH．11．（1）如圖1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)∠M＝90°且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)直角頂點M移動時，問∠BAM與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，G為線段AC上一定點，點H為直線CD上一動點且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)點H在射線CD上運(yùn)動時（點C除外）∠CGH+∠CHG與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由．【解答】（1）AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD＝90°；（3）見解析【解析】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠MAC，∠ACD＝2∠ACM，∵∠MAC+∠ACM＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD＝90°；理由：如圖2，過M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠DCM，∵∠M＝90°，∴∠BAM+∠MCD＝90°；（3）過點G作GP∥AB，∵AB∥CD∴GP∥CD，∴∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH，∴∠PGC＝∠CHG+∠CGH，∴∠BAC＝∠CHG+∠CGH．12．“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2°，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點C，且∠ACB＝120°，則在燈B射線到達(dá)BQ之前，轉(zhuǎn)動的時間為秒．【解答】（1）60；（2）當(dāng)t＝30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）140或100【解析】（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當(dāng)90＜t＜150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，當(dāng)t＝30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此時AC與BC共線，不符合題意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如圖4中，當(dāng)∠ACB＝120°時，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，綜上所述，滿足條件的t的值為140或100．故答案為：140或100．13．【問題情境】：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度數(shù)；【問題遷移】：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運(yùn)動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點P在B、D兩點之間運(yùn)動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【問題應(yīng)用】：（3）在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側(cè)運(yùn)動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）110°；（2）∠APC＝∠α+∠β；（3）∠CPA＝∠α﹣∠β【解析】（1）過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長線上時，∠CPA＝∠α﹣∠β；如圖所示，當(dāng)P在DB延長線上時，∠CPA＝∠β﹣∠α．14．探究題已知：如圖1，AB∥CD，CD∥EF．求證：∠B+∠BDF+∠F＝360°．老師要求學(xué)生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對圖形進(jìn)行變式，繼續(xù)做拓展探究，看看有什么新發(fā)現(xiàn)？（1）小穎首先完成了對這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質(zhì)，小額用到的平行線性質(zhì)可能是．（2）接下來，小穎用《幾何畫板》對圖形進(jìn)行了變式，她先畫了兩條平行線AB、EF，然后在