專題03 平行線中的拐點模型之牛角模型（原卷版）

專題03平行線中的拐點模型之牛角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（牛角模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：牛角模型圖1圖2如圖1，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3如圖2，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3-∠2=180°【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°圖1圖2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長AB交DE于點F，或延長EB交CD于點F等。例1．（2023下·北京海淀·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，，平分，，則．

例2．（2023上·廣西柳州·八年級校考開學(xué)考試）空竹是我國傳統(tǒng)的一項游戲，其器材簡單但是動作花樣繁多，深受大眾喜愛．彤彤在跑步時發(fā)現(xiàn)廣場上抖空竹的老奶奶的某個動作可以抽象成一個簡單的數(shù)學(xué)圖形，，,則的度數(shù)是．例3．（2023·成都市·八年級專題練習(xí)）如圖，，則下列各式子計算結(jié)果等于180度的是（

）

A． B． C． D．例4．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，在的兩邊上分別過點A和點C向同方向作射線和，且，若和的角平分線所在的直線交于點P（P與C不重合），則的大小為．

例5．（2023春·廣東深圳·九年級校?？计谥校┮阎本€，點為直線，所確定的平面內(nèi)的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)問題應(yīng)用：如圖3，，，，求的值．例6．（2023·余干縣八年級期末）已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，則=．例7．（2023·廣東七年級課時練習(xí)）已知，點為之外任意一點．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個數(shù)學(xué)問題：如圖2，若，則_______________．課后專項訓(xùn)練1．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖所示，直線，，則（

）

A．58° B．59° C．60° D．61°2．（2023下·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，在中，，直線，頂點C在直線b上，直線a交于點D，交于點E，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．3．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，點E，F(xiàn)分別在上，G是上方一點，連接，與交于點H，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．4．（2023上·海南?？凇ぞ拍昙壓煾街行？计谥校┤鐖D，直線，，，則（

）

A． B． C． D．5．（2023下·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期中）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的個數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．36．（2023下·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）樂樂在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)模型如圖所示，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．7．（2023下·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，直線截兩條平行線，點是直線上一點，于點．若，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．8．（2023下·重慶·七年級重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，直線，在中，，點落在直線上，與直線交于點，若，則的度數(shù)為（

）.A．30° B．40° C．50° D．65°9．（2023下·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，將含有的三角板如圖放置，頂點D在直線之上，線段，分別與直線交于A，B兩點，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．10．（2023上·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，直線，將一個含30度角的直角三角尺按圖所示的位置放置（直角頂點在上），若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．11．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：把它抽象成數(shù)學(xué)問題．如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是．

12．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，點是上方一點，點分別在直線、上，連結(jié)、，平分，交的反向延長線于點，若，且，則度數(shù)為．

13．（2023下·貴州畢節(jié)·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，的頂點，分別落在直線，上，交于點，平分，若，，求的度數(shù)．

14．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谥校?）如圖a所示，，且點E在射線與之間，請說明的理由．（2）現(xiàn)在如圖b所示，仍有，但點E在與的上方．請嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．15．（2023下·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示的圖形是由和長方形拼成的，在中，，，點A在長方形的邊上，與相交于點，與相交于點．(1)如圖1，當(dāng)時，；．(2)如圖2，當(dāng)與不垂直時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

16．（2023下·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線、被直線所截，交點分別為G，H，．(1)請你添加一個條件，使直線，并說明理由；(2)如圖2，在（1）的條件下，作的平分線交于點M，作交于點N，求的度數(shù)．

17．（2023下·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期中）AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．18．（2023下·江蘇·七年級期中）已知直線，點E，F(xiàn)分別在上，O是平面內(nèi)一點(不在直線、、上)，平分，射線，交于點H．(1)如圖①，若，則，(2)如圖②，若，則；(3)直接寫出點O在不同位置時、和三個角之間滿足的數(shù)量關(guān)系．19．（2023下·重慶九龍坡·七年級統(tǒng)考期末）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．20．（2023下·廣東東莞·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，直線和直線，分別交于點，，直線上有一動點．

(1)如圖1，點在，之間運動時，，，之間有什么關(guān)系，并說明理由；(2)若點在，兩點外側(cè)運動時，如圖2和圖3（點與，不重合），試直接寫出，，之間有什么關(guān)系，不必寫理由．21．（2023下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）在一次數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們用一個含有角的直角三角板和兩條平行線展開探究．如圖，在中，，，．

(1)如圖1，點在上，點在上，與交于點，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點在上，點在上方，點在下方，與交于點，作的角平分線并反向延長與的角平分線交于點，求的度數(shù)；(3)如圖3，點在上，點在直線，之間（不含在，上），點在下方，，分別與交于點，．設(shè)，是否存在正整數(shù)和，使得．若存在，請求出和的值；若不存在，請說明理由．22．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知，且，，，若．