專題06 二次函數(shù)與線段最值問題（原卷版）

專題06二次函數(shù)與線段最值問題解題點(diǎn)撥知識(shí)要點(diǎn)1：平面內(nèi)任意兩點(diǎn)距離公式若則或知識(shí)要點(diǎn)2：平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似借助平面直角坐標(biāo)系的直角特點(diǎn)，作平行線或垂線，構(gòu)造出“A”“X”型相似或“一線三垂直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比轉(zhuǎn)化，列出數(shù)量關(guān)系求解。知識(shí)要點(diǎn)3：鉛垂線最值如圖，x軸為水平線，PD⊥X軸于E，PD叫鉛垂線。鉛垂線最值一般解法為：一設(shè)（設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)并表示出D點(diǎn)）；二列（表示出PD長(zhǎng)度）；三配（把PD的長(zhǎng)度看做關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，配方求最值）直擊中考1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于A，兩點(diǎn)（A在的左邊），是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．(1)直接寫出A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），當(dāng)時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使，兩點(diǎn)到的距離相等，求出所有滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），直線交拋物線于另一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求的值（用含的式子表示）．2．（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）如如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和的最大值；(3)點(diǎn)M為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．3．（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線與一直線相交于A(-1，0)，B(2，3)兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若C是拋物線上位于直線AB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)C作y軸的平行線交AB與D，當(dāng)t為何值時(shí)，線段CD的長(zhǎng)最大，并求其最大值；(3)若拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)N，E為直線AB上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAB交拋物線于點(diǎn)F，以M，N，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．4．（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于A（），B（4，0），過點(diǎn)A的直線與該拋物線交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上不與A，B重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的下方，且時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)直線PD為時(shí)，在直線PD上是否存在點(diǎn)Q，使△ECQ與△EDA相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明你的理由．5．（2022·甘肅慶陽·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OB＝OC．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)（D不與B重合），過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，若DF＝2EF，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在（1）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)B，C，D，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線交x軸于A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線第三象限上一點(diǎn)，且∠BOD＝135°，OD＝，(1)求a的值；(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接PD，交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥y軸，垂足為F，求的值；(3)在（2）的條件下，連接PB，若PE＋PB＝DE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（2022·四川自貢·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），PM⊥BC于點(diǎn)M，PD⊥AB于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為何值時(shí)，PM+PN的值最大？(3)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上移動(dòng)，以PC為邊作正方形CPEF、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以為對(duì)角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，連接BC．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．(3)動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、原點(diǎn)和一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、（），過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)．①_________，_________（分別用含的代數(shù)式表示）；②證明：；(3)如圖2，二次函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像平移后得到的，且與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作直線軸，設(shè)平移后點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．①與相等嗎？請(qǐng)說明你的理由；②若，求的值．11．（2022春·吉林白城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l經(jīng)過點(diǎn)B，且點(diǎn)B在拋物線上，作直線．P是該拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，以為邊作矩形．(1)求b的值；(2)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值；(3)矩形與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作G，G的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為n．當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．12．（2022·山西·中考真題）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)D，作直線BC交PD于點(diǎn)E(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接AC，過點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)F，連接DF．試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖（甲）．若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）圖（乙）中，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=﹣x