專題08相似三角形的存在性 （含2024年一模）（原卷版）

專題08相似三角形的存在性相似三角形存在性問題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問題的計(jì)算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應(yīng)用更為突出）①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大小；②若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長(zhǎng)度，之后用相似來列方程求解。易錯(cuò)點(diǎn)一：二次函數(shù)中相似三角形的存在性1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）綜合實(shí)踐九年級(jí)第一學(xué)期教材第2頁(yè)結(jié)合教材圖形給出新定義對(duì)于下圖中的三個(gè)四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形，得到四邊形；放大四邊形，得到四邊形．

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)．將一個(gè)圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形．圖中，四邊形和四邊形都與四邊形形狀相同．我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似形．如圖，對(duì)于兩個(gè)多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那么這兩個(gè)多邊形就是位似多邊形，這個(gè)點(diǎn)就是位似中心．(1)填空：在上圖中位似中心是點(diǎn)________；________多邊形是特殊的________多邊形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐標(biāo)系中（如下圖），二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是此函數(shù)圖像上一點(diǎn)（點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似．

①畫出，并求經(jīng)過O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；②直線與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)M，與①中的拋物線交于點(diǎn)N，請(qǐng)判斷和是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說明理由．2．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)于拋物線（、、是常數(shù)，），若，則稱該拋物線是黃金拋物線，已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線是黃金拋物線，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求此黃金拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上．①點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線的對(duì)稱軸上，求的正弦值．②在射線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，且相似比不為1．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2023·上海·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是，；

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以D、C、B為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．4．（2024上·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知點(diǎn)、、、在同一個(gè)二次函數(shù)的圖像上．

(1)請(qǐng)從中選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)坐標(biāo)，求二次函數(shù)解析式；(2)如果射線平分，交軸于點(diǎn)，①現(xiàn)將拋物線沿對(duì)稱軸向下平移，頂點(diǎn)落在線段的點(diǎn)處，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；②如果點(diǎn)在射線上，當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)求點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2024上·上海崇明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在直角坐標(biāo)平面中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn)．

備用圖(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，將拋物線向下平移個(gè)單位后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，過B、E兩點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)F．①如果，求的值；②如果與相似，求m的值．易錯(cuò)點(diǎn)二：幾何圖形中相似三角形的存在性1．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為的圓中，、都是圓的半徑，且，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求的大?。?2)如果設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)，如果以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值．2．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）如圖1，點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，以為鄰邊作平行四邊形，與邊交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)G，如果，且的面積與平行四邊形面積相等，求的值；(3)如圖2，聯(lián)結(jié)，若平分，，求線段的長(zhǎng)．3．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知線段AB＝4，以AB為直徑作半圓，過圓心O作AB的垂線OQ交半圓于點(diǎn)E，P是上的點(diǎn)，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交OQ于點(diǎn)C，連結(jié)PB交OQ于點(diǎn)F．(1)我們知道∠APB＝90°，證明方法如下：聯(lián)結(jié)OP，∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠APO，∵OB＝OP，∴∠OPB＝∠OBP．在△APB中，∠PAO＋∠APO＋∠OPB＋∠OBP＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，即∠APB＝90°請(qǐng)?jiān)儆靡环N其他方法證明∠APB＝90°．(2)如圖2，以PB，PC為鄰邊作，當(dāng)CD與⊙O相切時(shí)，求PC的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且．當(dāng)△MFP與△ABP相似時(shí)，求的值．4．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)C作，分別交、于點(diǎn)E、F．(1)當(dāng)時(shí)，求的正切值；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域；(3)聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，與邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若與相似，求的值．5．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖1，在△ABC中，，以點(diǎn)A為圓心、AC為半徑的⊙A交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC上，滿足，過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)延長(zhǎng)EF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖2所示，求的值；(3)以點(diǎn)B為圓心、BE為半徑作⊙B，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷⊙A與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由．6．（2023·上海·一模）如圖，在中，，是邊上的中線，，，點(diǎn)Q是延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

(1)當(dāng)點(diǎn)B為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)過點(diǎn)B作交于F，當(dāng)和相似時(shí)，求的長(zhǎng)．7．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）梯形中，，于點(diǎn)，，，以為直徑，以為直徑，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)（如圖），設(shè)．(1)記兩圓交點(diǎn)為、（在上方），當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)與線段交于、時(shí)，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)連接，線段與交于點(diǎn)，分別連接、，若與相似，求的值．8．（2022·上海浦東新·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知等腰中，是邊上的中位線，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是底邊上一動(dòng)點(diǎn)，線段與線段交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．

(1)若，證明：，且；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與以為直徑的圓相切，求的長(zhǎng)；(3)若，且與相似，求的長(zhǎng)．9．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的正切值；(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)，如果與相似，求線段的長(zhǎng)．1．（2023·上海寶山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，將該拋物線位于軸上方的部分沿軸翻折，得到的新圖象記為“圖象”，“圖象”與軸交于點(diǎn)．(1)寫出“圖像U”對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式及定義域；(2)求的正切值；(3)點(diǎn)在軸正半軸上，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，交“圖象”于點(diǎn)，如果與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接，試判斷與是否相似，并說明理由；(3)將拋物線平移，使新拋物線的頂點(diǎn)E落在線段上，新拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，連接，如果四邊形的面積為3，求新拋物線的解析式．3．（2024·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上兩點(diǎn)，且平分交于．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．4．（2022下·上海普陀·九年級(jí)校考期中）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B．點(diǎn)在拋物線上，直線BC交x軸于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接AB，求∠B的余切值；(3)點(diǎn)G為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作CB的垂線交x軸于點(diǎn)M（位于點(diǎn)E右側(cè)），當(dāng)△CGM與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．5．（2023下·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知等腰和等腰有公共的頂點(diǎn)A，且，，，點(diǎn)E恰好落在邊上（與B、C不重合），連接．

(1)求證：；(2)若與相交于點(diǎn)F，求證：；(3)若，，且，請(qǐng)畫出符合條件的圖形，并求的長(zhǎng)．6．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線：：經(jīng)過點(diǎn)在，，與y軸的交點(diǎn)為C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線為(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)A在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，若相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（2023上·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的周長(zhǎng)最小，求滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在y軸右側(cè)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)E，連接．若與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2023上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，將該直線向上平移，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，平移后所得直線與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求的正切值；(2)如果四邊形是等腰梯形，求平移后的直線表達(dá)式；(3)如果與相似，求這時(shí)四邊形的面積．9．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸上，的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，且．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，過點(diǎn)A且垂直于的直線交軸于點(diǎn)F，在直線上截取，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，求經(jīng)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D，E，P為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2020·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，為拋物