專題07 新定義問題（中考重難點題型）20題（原卷版）

專題07新定義問題（中考重難點題型）20題（原卷版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含綜合知識點新定義類型題。一、單選題1．（2022上·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，如圖，已知在的網(wǎng)格圖形中，點A、B、C、D都在格點上，如果，那么圖中所有符合要求的格點D的個數(shù)是（

）．A．3 B．5 C．7 D．92．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖中的格點三角形，那么該網(wǎng)格中所有與相似且有一個公共角的格點三角形的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題3．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）定義：如果以一條線段為對角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”．例如，圖①中正方形即為線段的“對角線正方形”．如圖②，在中，，，，點P在邊上，如果線段的“對角線正方形”有兩邊同時落在的邊上，那么的長是．4．（2023上·上海青浦·九年級?？茧A段練習(xí)）新定義：平行于三角形一邊的直線被其他兩邊所截得的線段叫做“三角形的弦”，已知等邊三角形的一條弦的長度為2cm，且這條弦將等邊三角形分成面積相等的兩個部分，那么這個等邊三角形的邊長為cm．5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內(nèi)部或邊上，那么稱為的中內(nèi)?。阎谥?，，，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內(nèi)弧，那么長度的最大值等于．6．（2023·上海青浦·?？家荒＃┬露x：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為．7．（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測）新定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做等底．如圖，是等高底三角形，是等底，點關(guān)于直線的對稱點是點，連接，如果點是的重心，那么的值是．

8．（2022上·上海崇明·九年級統(tǒng)考期末）定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做“對等四邊形”，如圖，在中，，點A在邊BP上，點D在邊CP上，如果，，，四邊形ABCD為“對等四邊形”，那么CD的長為．9．（2021上·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）定義：如果兩條線段將一個三角形分成個互相沒有重合部分的等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線（如圖1所示）．如圖2，已知在中，，，，則的三分線中，較短的那條長為．（只需寫出一種情況即可）．10．（2022上·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期中）定義：如果將一個三角形繞著它的一個角的頂點旋轉(zhuǎn)后，使這個角的一邊與另一邊重疊，再將所旋轉(zhuǎn)后的三角形進(jìn)行相似縮放，使重疊的兩條邊相互重合，我們稱這樣的圖形變換為三角形轉(zhuǎn)似，這個三角形的頂點稱為轉(zhuǎn)似中心，所得的三角形稱為原三角形的轉(zhuǎn)似三角形．如圖，在中，，是以點為轉(zhuǎn)似中心的順時針的一個轉(zhuǎn)似三角形，那么以點A為轉(zhuǎn)似中心的逆時針的另一個轉(zhuǎn)似三角形（點分別與對應(yīng)），其中邊的長為11．（2024上·上海崇明·九年級統(tǒng)考期末）定義：P為內(nèi)一點，連接，在和中，如果存在一個三角形與相似，那么就稱P為的自相似點，根據(jù)定義求解問題：已知在中，是邊上的中線，如果的重心P恰好是該三角形的自相似點，那么的余切值為．三、解答題12．（2023上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）定義：對于拋物線（、、是常數(shù)，），若，則稱該拋物線是黃金拋物線，已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線是黃金拋物線，與軸交于點，頂點為．(1)求此黃金拋物線的表達(dá)式及點坐標(biāo)；(2)點在這個黃金拋物線上．①點在這個黃金拋物線的對稱軸上，求的正弦值．②在射線上是否存在點，使以點、、所組成的三角形與相似，且相似比不為1．若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．（2022上·上海·九年級上海市民辦新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥校┪覀兌x【，，】為函數(shù)的“特征數(shù)”，如：函數(shù)的“特征數(shù)”是【2，，5】，函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，1，2】(1)若一個函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到一個圖像對應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______；(2)將“特征數(shù)”是【0，，】的圖像向上平移2個單位，得到一個新函數(shù)，這個函數(shù)的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的兩個函數(shù)圖像分別與軸交于A、兩點，與直線分別交于、兩點，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、、、四點為頂點的四邊形的面積；(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，，】的函數(shù)圖像有交點，求滿足條件的實數(shù)的取值范圍．14．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）綜合實踐九年級第一學(xué)期教材第2頁結(jié)合教材圖形給出新定義對于下圖中的三個四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形，得到四邊形；放大四邊形，得到四邊形．

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動．將一個圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形．圖中，四邊形和四邊形都與四邊形形狀相同．我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似形．如圖，對于兩個多邊形，如果它們的對應(yīng)頂點的連線相交于一點，并且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例，那么這兩個多邊形就是位似多邊形，這個點就是位似中心．(1)填空：在上圖中位似中心是點________；________多邊形是特殊的________多邊形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐標(biāo)系中（如下圖），二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，點B是此函數(shù)圖像上一點（點A、B均不與點O重合），已知點B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，以點O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似．

①畫出，并求經(jīng)過O、、三點的拋物線的表達(dá)式；②直線與二次函數(shù)的圖像交于點M，與①中的拋物線交于點N，請判斷和是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說明理由．15．（2022上·上海閔行·九年級統(tǒng)考期中）已知，在中，，，，點、分別在邊、上，且均不與頂點重合，（如圖1所示），設(shè)，．(1)當(dāng)點與點重合時（如圖2所示），求線段的長；(2)在圖1中當(dāng)點不與點重合時，求關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域；(3)我們把有一組相鄰內(nèi)角相等的凸四邊形叫做等鄰角四邊形．請閱讀理解以上定義，完成問題探究：如圖1，設(shè)點在邊上，，如果四邊形是等鄰角四邊形，求線段的長．16．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，半圓的直徑，點是上一點（不與點、重合），點是的中點，分別連接、．

(1)當(dāng)是圓的內(nèi)接正六邊形的一邊時，求的長；(2)設(shè)，，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(3)定義：三角形一邊上的中線把這個三角形分成兩個小三角形，如果其中有一個小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個三角形的中腰線．分別延長、相交于點，連接．是的中腰線，求的長．17．（2022·上海青浦·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中（如圖），已知拋物線，其頂點為．(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點的坐標(biāo)；(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點叫做這條拋物線的“不動點”．①試求拋物線的“不動點”的坐標(biāo)；②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與軸交于點，且四邊形是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．18．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，把一條線段繞其一個端點順時針旋轉(zhuǎn)，并把這條線段伸長或縮短，稱這樣的運動叫做線段的“旋似”，經(jīng)“旋似”運動后新線段和原線段的夾角為“旋似角”，新線段長和原線段長比值為“旋似比”：如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一點，把線段繞點做“旋似”運動，點的對應(yīng)點是點，若“旋似角”為，

(1)當(dāng)“