專題09 相似模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）-（解析版）

相似模型鞏固練習(xí)1． 如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測量校園內(nèi)一棵小樹的高度CD，用長為1m的竹竿AB作測量工具，移動竹竿，使竹竿影子的頂端、樹影子的頂端落在水平地面上的同一點(diǎn)E，且點(diǎn)E，A，C在同一直線上．已知EA＝3m，AC＝9m，求這棵樹的高度CD．【解答】4m．【解析】∵AB∥CD，∴△EAB∽△ECD，∴ABCD∵AB＝1，∴CD＝4．答：這棵樹的高度CD為4m．2． 如圖所示，小紅想利用竹竿來測量旗桿AB的高度，在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長2米，在同時刻測量旗桿的影長時，旗桿的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他測得落在地面上的影長為10米，落在斜坡上的影長為42米，∠DCE＝45°，求旗桿AB的高度？【解答】11米【解析】如圖，延長AD交BC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵CD＝42米，∠DCG＝45°，∴DG＝CG＝4，∵同一時刻物高與影長成正比，∴DGFG=12，解得∴BF＝10+4+8＝22，∵DG⊥BC，AB⊥BC，∴△GDF∽△BAF，∴DGAB=∴AB＝11米．答：旗桿的高度約為11米．3． 如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，DE＝40cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求樹高AB．【解答】樹高10.5米．【解析】在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，即：402+EF2＝502，∴EF＝30，由題意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴CBEF∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，∴BC0.3解得：BC＝9米，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5m．4． 如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？【解答】48mm【解析】∵四邊形EGHF為正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；設(shè)正方形零件的邊長為xmm，則KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，∵AD⊥BC，∴EFBC∴x120解得：x＝48．答：正方形零件的邊長為48mm．5． 如圖，高高的路燈掛在學(xué)校操場旁邊上方，高傲而明亮．王剛同學(xué)拿起一根2m長的竹竿去測量路燈的高度，他走到路燈旁的一個地方，點(diǎn)A豎起竹竿（AE表示），這時他量了一下竹竿的影長AC正好是1m，他沿著影子的方向走，向遠(yuǎn)處走出兩個竹竿的長度（即4m）到點(diǎn)B，他又豎起竹竿（BF表示），這時竹竿的影長BD正好是一根竹竿的長度（即2m），請你計(jì)算路燈的高度．【解答】10米．【解析】如圖，AE，BF是竹竿兩次的位置，CA和BD是兩次影子的長．由于BF＝DB＝2米，即∠D＝45°，所以，DP＝OP＝路燈的高度，在△CEA與△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，∴△CEA∽△COP即CACP設(shè)AP＝x米，OP＝h米則：1x+1=DP＝OP＝2+3+1+x＝h②，聯(lián)立①②兩式得：x＝4，h＝10，∴路燈的高度為10米．6． 雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所學(xué)的有關(guān)《測量物體的高度》的知識，測量路燈的高度AB．如圖所示，當(dāng)小明直立在點(diǎn)C處時，小亮測得小明的影子CE的長為5米；此時小明恰好在他前方2米的點(diǎn)F處的小水潭中看到了路燈點(diǎn)A的影子．已知小明的身高為1.8米，請你利用以上的數(shù)據(jù)求出路燈的高度AB．【解答】4.2米．【解析】設(shè)AB＝x米，BF＝y(tǒng)米．∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA，∴CDAB∴1.8x=由題意，∠DCF＝∠ABF＝90°，∠DFC＝∠AFB，∴△DCF∽△ABF，∴DCAB∴1.8x=由①②解得，x=21經(jīng)檢驗(yàn)，x=21∴AB＝4.2米．7． △ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如圖將它加工成正方形零件，試說明哪種方法利用率高？（得到的正方形的面積較大）【解答】圖1利用率高．【解析】當(dāng)所截的正方形的邊在△ABC的直角邊上，如圖1，設(shè)正方形CDEF邊長為x，則DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴DEAC=BD解得：x=247（即正方形BDEF邊長為247cm當(dāng)所截的正方形的邊在△ABC的斜邊上，如圖2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，則MN∥CH，AB=A∵12CH?AB=12∴CH=8×610=設(shè)正方形MNPQ邊長為x，則QM＝x，BJ=245∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴QMAB=CJ解得：x=12037（即正方形BDEF邊長為12037（cm∵247∴圖1利用率高．8． 如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB．他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝30cm，測得AM＝10m，邊DF離地面的高度DM＝1.5m，求樹高AB．【解答】樹高為9米．【解析】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，∴BC0.3∴BC＝7.5米，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米，∴樹高為9米．9． 在一個陽光明媚的上午，某實(shí)驗(yàn)中學(xué)課外實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識測量校園內(nèi)球體景觀燈燈罩的半徑，小周和他所在的小組計(jì)劃借助影長進(jìn)行測量，小周先在地面上立了一根0.4米長的標(biāo)桿AB，并測得其影長AC為0.3米，同一時刻在陽光照射下，小周再測景觀燈（NG）的影長GH為1.8米，然后小組其他成員測得景觀燈KG的高度為2.3米（記燈罩頂端為K）．已知此時太陽光所在直線NH與燈罩所在⊙O相切于點(diǎn)M．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算燈罩的半徑．【解答】見解析【解析】設(shè)OM＝r，∵同一時刻物高與影長成正比，∴ABAC即0.40.3解得NG＝2.4m，在Rt△NGH中，NH=NG2設(shè)⊙O的半徑為r，連接OM，∵M(jìn)H與⊙O相切于點(diǎn)M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴OMGH即r1.8又NO＝NK+KO＝（NG﹣KG）+KO＝2.4﹣2.3+r＝0.1+r，則r1.8解得r＝0.15（m）答：燈罩的半徑為0.15米．10．如圖，小明晚上由路燈A下的點(diǎn)B處走到點(diǎn)C處時，測得自身影子CD的長為1米，他繼續(xù)往前走3米到達(dá)點(diǎn)E處（即CE＝3米），測得自己影子EF的長為2米，已知小明的身高是1.5米，求路燈AB的高度．【解答】6m【解析】∵M(jìn)C∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴DCDB=MCAB∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴NEAB=EFBF∴1BC+1解得BC＝3，∴1.5AB解得AB＝6，答：路燈A的高度AB為6m．11．已知不等臂蹺蹺板AB長為3米．蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的點(diǎn)H的距離OH＝0.6米．當(dāng)蹺蹺板AB的一個端點(diǎn)A碰到地面時（如圖1），AB與直線AH的夾角∠OAH的度數(shù)為30°．（1）當(dāng)AB的另一個端點(diǎn)B碰到地面時（如圖2），蹺蹺板AB與直線BH的夾角∠ABH的正弦值是多少？（2）當(dāng)AB的另一個端點(diǎn)B碰到地面時（如圖2），點(diǎn)A到直線BH的距離是多少米？【解答】（1）13【解析】（1）證明：在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，∠AOH＝30°，OH＝0.6，∴AO＝2OH＝2×0.6＝1.2（m），∴OB＝AB﹣OA＝3﹣1.2＝1.8（m），在Rt△BOH中，∵∠BHO＝90°，OH＝0.6，OB＝1.8，∴sin∠ABH=OH（2）過點(diǎn)A向直線BH作垂線，垂足為M，在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，sin∠ABM=13，∴AM=AB?答：∠ABH的正弦值為13，點(diǎn)A到直線BH12．如圖，在陽光下，某一時刻，旗桿AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB在地面上的影長BC為20m，在墻面上的影長CD為4m，同一時刻，小明又測得豎立于地面長1m的標(biāo)桿的影長為0.8m，求旗桿AB的高度，【解答】29m【解析】作DE⊥AB于E，∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，∴四邊形BCDE為矩形，∴DE＝BC＝20m，BE＝DC＝4m，∵同一時刻物高與影長所組成的三角形相似，∴10.8解得AE＝25m，∴AB＝25+4＝29m．答：旗桿的高度為29m．13．李師傅用鏡子測量一棵古樹的高，但樹旁有一條小河，不便測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，第一次把鏡子放在C點(diǎn)（如圖所示），人在F點(diǎn)正好在鏡中看到樹尖A；第二次他把鏡子放在C′處，人在F′處正好看到樹尖A．已知李師傅眼睛距地面的高度為1.7m，量得CC′為12m，CF為1.8m，C′F′為3.84m，求樹高．【解答】見解析【解析】根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)∴1.7x解得x=10y=∴這棵古樹的高為10m．14．光污染是繼廢氣、廢水、廢渣和噪聲等污染之后的一種新的環(huán)境污染源，主要包括白亮污染、人工白晝污染和彩光污染，如圖，小明家正對面的高樓外墻上安裝著一幅巨型廣告宣傳牌AB，小明想要測量窗外的廣告宣傳牌AB的高度，他發(fā)現(xiàn)晚上家里熄燈后對面樓上的廣告宣傳牌從A處發(fā)出的光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C處射進(jìn)房間落在地板上F處，從窗戶的最低點(diǎn)D處射進(jìn)房間向落在地板上E處（B、O、E、F在同一直線E），小明測得窗戶距地面的高度O