三角形的有關概念三角形的內角和知識梳理+九大例題分析+經典同步練習

14.1-14.2三角形的有關概念三角形的內角和

知識梳理+九大例題分析+經典同步練習

梳理

知識梳理

一、三角形的定義

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

要點：

(1)三角形的基本元素：

口三角形的邊：即組成三角形的線段；

口三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；

口三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.

(2)三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.

(3)三角形的表示：三角形用符號“□”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“匚ABC”，讀作“三角形ABC”，注

意單獨的□沒有意義；1ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，

邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.

二、三角形的內角和

三角形內角和定理：三角形的內角和為180。.

要點：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：

□在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；

□已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數(shù);

□求一個三角形中各角之間的關系.

三、三角形的分類

1.按角分類：

直角三角形

三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

要點:

口銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;

一鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.

2.按邊分類：

不等邊三角形

底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

要點：

口不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；

②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾

角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角；

③等邊三角形：三邊都相等的三角形.

四、三角形的三邊關系

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.

要點：

（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.

（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條

線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.當己知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍.

（3）證明線段之間的不等關系.

五、三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后

深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

線段

名稱

從三角形的一個頂點向它的三角形一個內角的平分線

文字三角形中，連接一個頂點

對邊所在的直線作垂線，頂點與它的對邊相交，這個角的

語言和它對邊中點的線段.

和垂足之間的線段.頂點與交點之間的線段.

1AA

圖形2/c

語言C

L)DD

作圖過點A作ADDBC于點D.取BC邊的中點D,連接作BAC的平分線AD,交

語言AD.BC于點D.

4A/4

標示4cL

圖形

DD

1.AD是E1ABC的高.1.AD是E]ABC的中線.

1.AD是LJABC的角平分

2.AD是DABC中BC邊上的2.AD是DABC中BC邊線.

局.上的中線.

符號2.AD平分C1BAC,交BC

語言3.ADC3BC于點D.1于點D.

3.BD=DC=-BC

2

4.□ADC=90°,□ADB=90°.1

3.Ell=[2=—EIBAC.

4.點D是BC邊的中點.2

(或1ADC=UADB=90°)

因為AD是E1ABC的高，所以因為AD是ABC的中因為AD平分DBAC,所以

推理ADOBC.1

線，所以BD=DC=~□1=02=~DBAC.

i/'i22

(或CADB=DADC=90°)

BC.

用途1.線段垂直.1.線段相等.

角度相等.

舉例

2.角度相等.2.面積相等.

注意1.與邊的垂線不同.

—與角的平分線不同.

事項

2.不一定在三角形內.

三角形的三條高（或它們的延一個三角形有三條中線，一個三角形有三條角平分

重要

長線）交于一點.它們交于三角形內一點.線，它們交于三角形內一

特征

點.

，典型例題

例題1.下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cm

C.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm

【答案】C

【解析】

根據(jù)三角形的三邊關系”任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊“，進行分析.解：A、3+4<8,不

能組成三角形，不符合題意；

B、8+7=15,不能組成三角形，不符合題意；

C、13+12>20,能夠組成三角形，符合題意；

D、5+5<11,不能組成三角形，不符合題意.

故選：C.

例題2.己知一個三角形三個內角度數(shù)之比為4:2:1,則這個三角形為（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】C

【解析】

由題意設三個角的度數(shù)分別為：4x、2x、x,然后根據(jù)三角形內角和等于180。進行求解即可.□三角形的三個內

角的度數(shù)之比為4:2:1,

口設三個角的度數(shù)分別為：4x、2x、x,

□三角形的內角和為180。，

O4x+2x+x=180°,

與。

解得，x=

720A

則4x=——0>90°,

7

口這個三角形是鈍角三角形,

故選c.

例題3.具備下列條件的A48c中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA-NB=NC

C.ZA:ZB:ZC=1:2:3D.ZA=ZB=3ZC

【答案】D

【解析】

根據(jù)三角形的內角和定理和直角三角形的定義逐項判斷即可.A、由NA+NB+NC=180°和NA+NB=NC

可得：□C=90。，是直角三角形，此選項不符合題意；

B、由NA-NB=NC得NA=NB+NC,又NA+N5+NC=180°，則口八=90。，是直角三角形，此選項

不符合題意；

3

C、由題意，ZC=----------xl80°=90°,是直角三角形，此選項不符合題意；

1+2+3

1QA0540°

D、由NA+N3+NC=180"得3C+3C+C=180°,解得：NC=——，則A=1B=------舛0。，不是直角

77

三角形，此選項符合題意，

故選：D.

例題4.三角形一個外角小于與它相鄰的內角，這個三角形（）

A.是鈍角三角形B.是銳角三角形C.是直角三角形D.屬于哪一類不能確定.

【答案】A

【解析】

由三角形的外角與它相鄰的內角互為鄰補角，且根據(jù)此外角小于與它相鄰的內角，可得此外角為銳角，與它相鄰

的角為鈍角，可得這個三角形為鈍角三角形.□三角形的外角與它相鄰的內角互補，且此外角小于與它相鄰的內

角，

□此外角為銳角，與它相鄰的角為鈍角，

則這個三角形為鈍角三角形.

故選：A.

例題5.下列說法錯誤的是（）

A.三角形的三條高一定在三角形內部交于一點

B.三角形的三條中線一定在三角形內部交于一點

C.三角形的三條角平分線一定在三角形內部交于一點

D.三角形的三條高可能相交于外部一點

【答案】AA.三角形的三條高一定在三角形內部交于一點，錯誤，符合鹿意;

B.三角形的三條中線一定在三角形內部交于一點，正確，不符合題意；

C.三角形的三條角平分線一定在三角形內部交于一點，正確，不符合題意；

D.三角形的三條高可能相交于外部一點，正確，不符合題意.

故選A.

例題6.一幅三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中□a的度數(shù)是（）

A.75°B.60°C.65°D.55°

【答案】A

【解析】

首先根據(jù)三角形外角的性質得出NAEB的度數(shù)，然后利用=—NAE3即可求解.根據(jù)題意有

ZA=30°,NEBC=45°,ZAED=90°,

/.ZAEB=ZEBC-ZA=45°-30°=15°,

Za=ZAED-ZAEB=90°-15°=75°,

故選：A.

例題7.將一副常規(guī)的三角尺按如圖方式放置，則圖中N1的度數(shù)為（）

A.15°B.65°C.75°D.60°

【答案】C

【解析】

根據(jù)三角尺求出2,根據(jù)三角形的外角性質計算即可.解：22=60°-45°=15°,Nl+N2=90°,

Nl=90°—15°=75°,

故選C.

例題8.如圖，直線EFH直線GH,RtEL48c中，OC=90°,頂點4在G"上，頂點8在E尸上，且A4平分dDBE,

若口。。=26。，則的度數(shù)為（）

A.26°B.32°C.34°D.45°

【答案】B

【解析】

根據(jù)平行線的性質可得OBAH=(Z；ABE,由角平分線的定義知匚ABC=［：ABE,結合直角三角形中

的兩個銳角互余求解.□□C=90。，QCAD=26°

□□ADC=90°-26°=64°

QEFJGH,

DDBAH^DABE,□ADC=：：IEBC=64°

UBA平分口。5￡

1

□□ABC=□ABE=64°x—=32°,

2

□□BAD=CJABC=1ABE=32°

故選：B

例題9.如圖，□A+DB+DC+OD+IJE+DF=()

AB

A.180°B.360°C.540°D.以上答案都不是

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角形的內角和等于180。，用AGB表示出A,DB,用HEMF表示出DE,DF,用「CND表示出口C,DD,

然后再根據(jù)對頂角相等的性質解出它們的度數(shù)即可.解：如圖，

口三角形的內角和等于180°,

□□A+nB=180°-riAGB,□E4-DF=180°-CEMF,□C+DD=180°-CND.

對頂角相等，

□□AGB=nMGN,aEMF=DGMN,HCND=nMNG.

MGN+DGMN+i-MNG=180°,

□□A+aB+DE+nF+QC+QD

=180°-□AGB+180°-□EMF+180。-口CND

=540。-(nAGB+nEMF+aCND)

=540°-180°

=360°.

故選B

一、單選題

i.以下列長度的各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A.1cm,2cm，3cmB.2cm,3cm,5cm

C.5cm,6cm,12cmD.4cm,6cm,8cm

【答案】D

【解析】

根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，進行分析判斷.

【詳解】

解：A、1+2=3,故不能構成三角形，選項錯誤；

B、2+3=5,故不能構成三角形，選項錯誤；

C、5+6<12,故不能構成三角形，選項錯誤；

D、4+6>8,能構成三角形，選項正確，

故選：D.

【點睛】

本題考查了能夠組成三角形三邊的條件.注意：用兩條較短的線段相加，如果大于最長那條就能夠組成三角形.

2.工人師傅砌門時，如圖所示，常用木條EF固定矩形木框ABCD,使其不變形，這是利用（）.

DV-7-——P

B

A.兩點之間線段最短B.三角形的穩(wěn)定性

C.垂線段最短D.兩直線平行，內錯角相等

【答案】B

【解析】

三角形具有穩(wěn)定性，其他的多邊形不具備穩(wěn)定性，但把多邊形分割成三角形的形狀就具有了穩(wěn)定性.

【詳解】

解：如圖所示，通過連接木條形成口。￡尸，而三角形具有穩(wěn)定性，故不會變形.

故選B.

【點睛】

本題考查了三角形的穩(wěn)定性的實際應用，三角形在實際生活中有廣泛的應用，如房屋橋梁等，本題關鍵在于要知

道要使多邊形具有穩(wěn)定性，則可將其分割成三角形.

3.在三角形中，一定能將其面積分成相等兩部分的是（）

A.中線B.高線C.角平分線D.某一邊的垂直平分線

【答案】A

【解析】

根據(jù)三角形的中線、角平分線、高的性質和垂直平分線的性質即可判斷.

【詳解】

解：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，

故選：A.

【點睛】

本題考查三角形的中線的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本概念.

4.三角形的角平分線、中線和高都是（）

A.直線B.線段C.射線D.以上答案都不對

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角形的角平分線、中線和高定義判斷即可.

【詳解】

解：三角形的角平分線、中線、高都是線段.

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形的角平分線、中線和高定義，熟練掌握三角形的角平分線、中線和高定義是解題關鍵.

5.下列說法中錯誤的是（）

A.在LX5c中，若口出DB：DC=2：2：4,貝8c為直角三角形

B.在□/BC中，若口4=口8-口。，則口43C為直角三角形

C.在口力〃。中，若□4=上口8=1口。，則LL48C為直角三角形

23

D.在口45。中，□XuUBuZIDC,則EL48C為直角三角形

【答案】D

【解析】

根據(jù)三角形內角和定理求出三角形的三個內角即可判斷.

【詳解】

解：/、在EJ43C中，因為口4口&口。=2：2：4,所以□C=90。，口4=口3=45。，口48。為直角三角形，本選

項不符合題意.

B、在L/8C中，因為口4=口8-口（7，所以口5=90。，口/8。為直角三角形，本選項不符合題意.

C、在"8C中，因為□"=人[5='口。，所以IZ]C=90。，8=60。，0/4=30°,d48C為直角三角形，本選項

23

不符合題意.

D、在口/5€;中，因為口/=」3=2口。，所以14=口5=72。，口。=36。，ZU8C不是直角三角形，本選項符合題

-T*7*.

忌，

故選：D.

【點睛】

本題考查三角形內角和定理，直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和定理，屬于

中考常考題型.

6.如果三角形的三個內角的度數(shù)比是1：2：4,則它是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角形內角和定理和已知求出這個三角形的最大內角的度數(shù)，即可得出答案.

【詳解】

解：口三角形三個內角的度數(shù)比是1：2：4,

，這個三角形的最大角的度數(shù)為一4xl8(T7=20-°

77

□這個三角形是鈍角三角形，

故選：B

【點睛】

本題考查了三角形的內角和定理的應用，能求出這個三角形最大內角的度數(shù)是解此題的關鍵，注意：三角形的內

角和等于180°.

7.如圖，若E)A=60。，E1B=48。，nC=32o,貝(]EIBDC=()

A.102°B.160°C.150°D.140°

【答案】D

【解析】

如圖，延長N。，利用三角形的外角性質分別求得11、口2的值即可.

【詳解】

解：如圖，延長40,

□□1=口8+匚8/0,□2=DC+DC^￡),□N=60°,口3=48°,C1C=32°,

□□1+口2=口3+0。+口"C=480+32°+60°=140°.

故選：D.

B

【點睛】

本題主要考查了三角形外角的性質，三角形的外角通常情況下是轉化為內角來解決.

8.如圖，ABDCD,BDLCF,垂足為B,E1BDC=5O。，則DABF的度數(shù)為（）

A.50°B.40°C.45°D.25°

【答案】B

【解析】

首先利用三角形內角和定理計算出DC的度數(shù)，再利用平行線的性質可得DABF的度數(shù).

【詳解】

解：0BD3CF,

□□DBC=90°,

□□BDC=50°,

□□C=180o-90°-50o=40°,

□ABDCD,

□□ABF=DC=40°,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

9.如圖，直線aEJb,直線AC分別交a、b于點B、C,直線AD交a于點D.若□1=20。，02=65。，則口3度數(shù)

等于（)

A.30°B.45°C.60°D.85°

【答案】B

【解析】

先根據(jù)平行線的性質得出口2=口4,再根據(jù)三角形內角和外角的關系即可求出答案.

【詳解】

解：如圖，

□直線〃口/>,

002=04,

XQD4=ai+D3,

□□2=D1+D3,

□□3=O2-D1=65°-20°=45°.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了三角形的內角和外角之間的關系以及平行線的性質.

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和.

10.如圖，在EJABC中，口人=50。，OB平分ABC,OC平分1ACB,則CIBOC的度數(shù)為（）

A.65°B.70°C.1150D.125°

【答案】C

【解析】

由三角形內角和定理求出口28。+口”。=180。-04=130。，由角平分線的定義得出口O8C+COC8=65。，再由三角形

內角和定理即可求出8OC的度數(shù).

【詳解】

解：?.?NA=5O°,

/.zi4BC+Z4CB=180p-Z4=130o,

QOB、OC分別平分NABC、NACB,

:.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZOBC+NOCB=1(ZABC+ZAC3)=65°,

Z.BOC=180°-(ZOBC+Z.OCB)=180°-65°=115°；

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義；熟練掌握三角形內角和定理，并能進行推理計算是解決問題的

關鍵.

11.小明把一副含45°,30。角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中NC=NE=90°,NA=45°,

NO=30。，則Na+N4等于()

ao

E

A.180PB.210°C.270°D.360°

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角形內角和定理得到口13=45。，nE=60o,根據(jù)三角形的外角的性質計算即可.

【詳解】

解：□□C=_F=90°,A=45°,D=30°,

□□B=45°,OE=60°,

□□2+03=120。，

□□1=C2,14=口3,

□□a+DP=OA+l+04+rB=nA+rB+D2+a3=900+1200=2100,

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形的外角性質、三角形內角和定理，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解

題的關鍵.

12.如圖，在口A3C中，80是NABC的平分線，CO是外角NACM的平分線，BO與CD相交于點。，

若NA=70°,則ZBDC是()

A.15°B.30°C.35°D.70°

【答案】C

【解析】

□DCM=D+ODBC,nACM=OA+ABC,再結合角平分線，得至1A=2E1D即可.

【詳解】

解：口8。是NABC的平分線，

□□ABC=2CDBC,

同理，nACM=2CDCM,

□□ACM=OA+LABC,

[2；DCM=UA+2「DBC

□□DCM=OD+ODBC,

□□A=2DD,

□ZA=70°,

aZBDC=35°,

故選：c.

【點睛】

本題考查了角平分線性質和三角形外角的性質，解題關鍵是利用外角的性質和角平分線性質得到口A與匚D的關

系.

二、填空題

13.若一個三角形三邊的長分別為5,11,2k,則k的取值范圍是—.

【答案】3<k<8

【解析】

根據(jù)三角形的三邊關系：口兩邊之和大于第三邊，：〕兩邊之差小于第三邊即可得到答案.

【詳解】

□ll-5<2k<5+ll

即6<2k<16

□3<k<8

故答案為3<k<8

【點睛】

此題主要考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟練掌握三角形的三邊關系定理.

14.小華要從長度分別為5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中選出三根擺成一個三角形，那么他選的三根

木棒的長度分別是：,，（單位：cm）.

【答案】6116

【解析】

先分析出共有四種情況，再根據(jù)三角形三邊關系即可求解

【詳解】

解：每三根組合，有5cm,6cm,11cm；5cm,6cm,16cm；11cm,16cm,5cm；11cm,6cm,16cm四種情況.

根據(jù)三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，得其中只有11,6,16能組成三角形.

故答案為：6,11,6

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形三邊關系并根據(jù)題意分出四種情況是解題關鍵.

.如圖，、分別是的邊上的點，相交于點若

15DEUABCAC,ABBD,CE0,SAOCO=1,SAOf(E=2,SAOBC=3,

那么SH?UBAD0E=.

【解析】

連接DE,利用”等高的兩個三角形的面積的比等于對應的底的比''性質，代入己知數(shù)據(jù)可求得SDOE,然后設SADE

x2c

-------xA---1-2

=x，得方程：,2=3，即可求得四邊形ADOE的面積.

1+-——-——

34

【詳解】

連接DE,

因為沁ODSAOCD0D

,將已知數(shù)據(jù)代入可得SDOE=一

OBS&OBCOB3

2

則由獸型=丁3=.SMBDxH-----F2AD

設SADE=X,---=a=

S^CED1+]CDS^CBD----------------------CD

x2。

XH-----F2

得方程3

1+-

34

40

解得：x=—-

21

2]8

所以四邊形ADOE的面積=x+-=—

37

[8

故四邊形ADOE的面積是—.

7

1Q

故答案為：—

【點睛】

考查了三角形面積的理解和掌握，解題關鍵是利用“等高的兩個三角形的面積的比等于對應的底的比”性質.

16.若a,b,c是L2ABC的三邊長，則化簡|。+匕—。|+|8一0-4的結果是

【答案】2a

【解析】

根據(jù)a,b,c為三角形三邊長，利用三角形三邊關系判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數(shù)意義化簡

即可.

【詳解】

解：□“，b,c為三角形三邊上，

□a+6-c>0,b-c-a<0,

則原式=a+b-c-b+a+c=2a,

故答案為：2a.

【點睛】

此題考查了三角形三邊關系以及整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

17.如圖，在A4BC中，點。是8c上的中點，點E是4。上的中點，連結8E,若5岫防=3,則A4BC的面積

為—,

【答案】12

【解析】

根據(jù)中線的性質可得SABE=SBDE=3,從而得到SABD=6,根據(jù)中線的性質可得SADC=SABD=6,所以可得L1ABC

的面積.

【詳解】

解：□點E是/。上的中點，

SABE=SBDE=3,

S-ABD=SABE+SBDE=6,

□點。是BC上的中點，

SADC^S.ABD=6,

□SABC=SADC+SABD=12.

故答案為12.

【點睛】

本題考查了三角形中線的性質.三角形中線分三角形所得的兩個三角形面積相等.

18.如圖，8。是□ABC的中線，A8=5cm,BC=3cm,那么△A8O的周長比「CB。的周長多cm.

【答案】2

【解析】

由BO是□ABC的中線，可得A￡>=CQ,再利用C\皿一CMC=A3+8O+A。一3C—CD—AD,可得

答案.

【詳解】

解：；BO是DABC的中線，

AD—CD,

AB=5cm,BC=3cm,

印『=

CtA\DRLn/—DCLA.AB+BD+AD—BC—CD—AD

—AB—BC=5—3=2cm.

故答案為：2.

【點睛】

本題考查的是三角形的中線的性質，掌握三角形的中線的性質是解題的關鍵.

19.如圖，在口ABC中，ZACB=6S°,/1=/2.若「為口43。的角平分線82，CP的交點，則NBPC=

；若P為口43。內一點，則NBPC=.

C

Zi/\

2

B

【答案】112°112°

【解析】

若P為口43。的角平分線BP,CP的交點，可求出N3CP及N2的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內角和定理得出答

案；若P為口43。內一點，可整體求出N2+N3CP的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內角和定理得出答案.

【詳解】

解：若P為口43。的角平分線BP,CP的交點，

0ZACB=68°,

□Nl=NBCP=34°,

口Nl=Z2=34°,

0NBPC=180°-NBCP-N2=180°—34°—34°=112°；

若P為口43。內一點，

N1=N2,

□ZACB=Z1+NBCP=N2+ZBCP=68°，

ZBPC=180。-(N2+NBCP)=180°-68°=112°；

故答案為：112。，112。.

【點睛】

本題考查了三角形角平分線的定義及三角形內角和定理，熟練掌握整體思想的應用是解題的關鍵.

20.如圖，在LABC中，BD平分DABC,連接CD,若口A=E)D=40。，□ACD=30°,則ZIDCE的度數(shù)為.

【答案】70°.

【解析】

由三角形的外角的性質定理得到口ZCE=EU+EU8C,DDCE=CBD+D,再由己知ABD=QCBD,QA=D

=40°,口2(7。=30。解方程組可求得結果.

【詳解】

HBD平分.NBC,

QQABD=UCBD,

口3CE=UA+^ABC=40°+2□CBD,

□DDCE+DACD=QA+2QCBD,

UQDCE=QCBD+riD,□^=□￡>=40°,UACD=30°,

□□DCE+3O0=40°+2□CBD,即口。8=2□CBD+10°Q,

QDCE=40°+:CBDU,

由□□得UDCE=70。，

故答案為：70°.

【點睛】

本題主要考查了三角形的外角的性質定理，角平分線的定義，熟練應用三角形的外角的性質定理是解決問題的關

鍵.

21.如圖，在I0ABC中，ADDBC,AE平分EJBAC,若口1=30。，02=20°,則LJB=.

【答案】500.

【解析】

利用角平分線的定義結合N1的度數(shù)可得出NC4E的值，進而可得出NDAE、NWO的值，在AAB。中利用

三角形內角和定理可求出DB的值，此題得解.

【詳解】

解：????!￡平分NB4C,Nl=30,

.'.ZC4E=Zl=30p,

.-.ZDAE=ZCAE-Z2=\0P,

.\ZBAD=Zl+ZDAE=4(r.

ADVBC,

：.ZADB=9Q°,

：.ZB=\^P-ZBAD-ZAI)B=5CP.

故答案為50°.

【點睛】

本題考查了三角形內角和定理，角平分線的行政，熟悉相關性質是解題的關鍵.

22.如圖，DABC中，BD、3E分別是高和角平分線，點尸在CA的延長線上，F(xiàn)H1BC,交8。于點G,

交BC于點H；下列結論：

□NDBH=乙F；

□2NBEF=NBAF+NC；

□NBGH=ZC；

NF=N3AC—NC；

其中正確的結論有.

F

【答案】□口

【解析】

由8。為口45。的高線，根據(jù)同角的余角相等可得口正確；根據(jù)三角形外角的性質和角平分線的

性質變形得到2NBEf=2NC+NABC,進而可得口錯誤；由NGO尸=90。易求得NF+NBGH=90。，根

據(jù)同角的余角相等可得□正確；根據(jù)NC+Nb=90。且N84D=ZBAC<90。，變形可得

NF>NBAC—NC,故□錯誤.

【詳解】

解：□□/

aZFHC=90°,即/。+//=90°,

□B。為DABC的高，

BD1AC,即N6OC=90°,

ZC+ZDBH=90°,

□NDBH=NF,

故□正確；

□□NBEF=NC+NEBC,

□2ZBEF=2NC+2ZEBC,

□BE為NABC的平分線，

□2ZEBC=ZABC,

□2NBEF=2ZC+ZABC=ZC+(180°-ZMZ>)"C+/BAD,

故口錯誤；

□DZBDC=90°,

ZGDF=90°,

□ZF+ZFG￡>=90°,

□NFGD=NBGH,

□ZF+ZBG77=90°,

ZF+ZC=90°,

□ZBGH=ZC,

故口正確；

ZC+ZF=90°,NBDA=90°,

□□R4O為直角三角形，

□NBAD=N8AC<90°,

□N8AC<NC+",

□ZF>ZBAC-ZC,

故□錯誤，

□正確的結論有

故答案為：.

【點睛】

本題考查的是三角形內角和定理，三角形的高線、角平分線的概念以及三角形外角的性質等知識，靈活運用是解

題的關鍵.

三、解答題

23.已知，口43。的三邊長為4,9,X.

（1）求□ABC的周長的取值范圍；

（2）當口43。的周長為偶數(shù)時，求X.

【答案】（1）18<Z\ABC的周長<26；（2）7,9或11.

【解析】

（1）直接根據(jù)三角形的三邊關系即可得出結論；

（2）根據(jù)軸線為偶數(shù)，結合（1）確定周長的值，從而確定x的值.

【詳解】

解：（1）?.?□ABC的三邊長分別為4,9,X,

.-.9-4<x<9+4,即5cx<13,

二9+4+5<△ABC的周長<9+4+13,

即：18〈△ABC的周長<26；

（2）?.?□ABC的周長是偶數(shù)，由（1）結果得□ABC的周長可以是20,22或24,

\x的值為7,9或11.

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關系，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關

鍵.

24.如圖，在/8C中，氏4。是鈍角，完成下列畫圖.（不必尺規(guī)作圖）

（1）口氏4c的平分線49；

（2）邊上的中線5E；

（3）邊上的高BF.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

(1)按照角平分線的定義畫圖即可;

(2)按照中線的定義畫圖即可；

(3)按照高的定義畫圖即可.

【詳解】

解：(1)如圖所示：即為所求；

(2)如圖所示：BE即為所求；

(3)如圖所示：8尸即為所求.

【點睛】

本題考查了三角形的中線、角平分線和高的畫法，解題關鍵是熟練掌握它們的畫法，準確畫圖.

25.如圖，在□NBC中，ADQBC,ZE平分EIB4C,匚5=72°,aC=30o,

□求口歷JE的度數(shù)；

□求E1D4E的度數(shù).

【答案】QQBAE=39°iQDDAE=2\°.

【解析】

□先根據(jù)三角形內角和定理計算出口B/Cn78。，然后根據(jù)角平分線定義得到□胡E=~1歷1C=39。；

□根據(jù)垂直定義得到口4)3=90。，則利用互余可計算出12184)=90。-08=18。，然后利用匚'E=□比！E-口84。

進行計算即可；

【詳解】

解：□□□5+aC+D5/4C=180°,

□□5JC=180°-72°-30°=78°,

□4E平分EIBXC,

□□BNE=—184c=39。；

2

UQAD^BC,

□□4)8=90°,

□□5J￡>=90°-口8=18°,

UUDAE=UBAE-口B/O=39°-18°=21°.

【點睛】

本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，垂直的定義，角的計算等知識.三角形內角和定理:三角形內

角和是180°.

26.如圖，在中，BD是匚48c的角平分線.DE//BC,交AB于點E,DJ=60o,ZBDC=88°,求0BDE

各內角的度數(shù)

【答案】UEBD=QBDE=28°,□￡￡￡)=124°

【解析】

先根據(jù)三角形外角性質計算出口人8口=28。，再根據(jù)角平分線的定義得到口?8口=口人8口=28。，然后利用平行線的性

質由DEnBC得1EDB=UCBD=28。，最后根據(jù)三角形內角和定理計算nBED的度數(shù).

【詳解】

解：□□BDC=QA+ABD,

□□ABD=88°-60°=28°,

□BD是E3ABC的角平分線，

□□CBD=DABD=28°,

□DEOBC,

□□EDB=iCBD=28。，

□□BED=180°-28°-28°=l24。，

即1BDE的三個內角的度數(shù)分別為28。，28°,124°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖，理清圖中各角度之間的

關系是解題的關鍵.

27.如圖，點B在AC上，A/與分別交于H、G,已知Nl=50°,N2=130°,ZABD=ZA.

(1)證明：NC=NA；

(2)求NC的度數(shù).

【答案】3)見解析；(2)65°

【解析】

(1)根據(jù)平行線的判定得出BO//CE,根據(jù)平行線的性質得出NABO=NC即可;

(2)由(1)的結論結合三角形的外角性質求出即可.

【詳解】

(1)證明：Z1=5O°,Z2=13O°

□Zl+Z2=180°

ABDUCE

□NABO=NC

□/ABD=NA

□NC=NA

(2)解：口/4=/。,/4+/。=/2且N2=130°

ZC=-Z2=-xl30°=65°

22

【點睛】

本題考查了平行線的性質和判定和三角形的外角性質，能熟練地運用平行線的性質和判定進行推理是解此題的關

鍵.

28.如圖，在口43。中，AO是高，AE,是角平分線，它們相交于點0,ZBAC=50°,ZC=60°,

求NOAC和NEOF的度數(shù).

【答案】C1DAC=3O。，□EOF=120°

【解析】

在Rt」ACD中，根據(jù)兩銳角互余得出DDAC度數(shù)；匚ABC中由內角和定理