高中數(shù)學(xué)知識(shí)集

集合

集合內(nèi)容是高考中必考的內(nèi)容，命題以考察概念和運(yùn)算為主和集合的表示方法，一般

是容易題居多。

?？伎键c(diǎn)與核心內(nèi)容

(1)集合的概念與運(yùn)算：要求掌握集合與集合，集合與元素之間的關(guān)系，熟練掌握集合

的交并補(bǔ)的運(yùn)算，注意圖形結(jié)合思想的應(yīng)用，借助維恩圖和數(shù)軸等工具來解決集合的運(yùn)算

問題。同時(shí)注意集合元素的確定性、互異性、無序性。

(2)以集合為載體融合其他內(nèi)容考查，尤其是集合與解不等式和方程的綜合出題。

(3)借助集合相關(guān)概念給出新定義

基礎(chǔ)篇

10課標(biāo)(1)已知集合Z=Hk|W2,xeA}},5={r|Vx<4,xez},則4nB=

A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2)

考點(diǎn)：解不等式，集合的基本運(yùn)算

解析：A={x|-2<x<2},5={x|0<x<16,xez},注意B中的定義域xNO,

.-.^05={0,1,2)

答案：D

10北京1.集合尸={xeZ|0<x<3},A/={re/?|x2<9},則=

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<3}

考點(diǎn)：解不等式，集合的基本運(yùn)算

解析：尸={0,1,2},M=[—3,3],因此PAM={0,1,2}

答案：B

10湖南

1.已知集合河={1,2,3},N={2,3,4},貝M)

A.M=NB.NcMC."PIN={2,3}D.M\JN={1,4}

考點(diǎn)：集合的交集與子集的運(yùn)算

解析：MCN={l,2,3}n{2,3,4}={2,3}

答案：C

10江西

2.若集合4=卜忖尺},8==7?},則2口8=()

A.{x|-l<x<l}B.{x\x>0}

C.{x|o<x<1}D.0

考點(diǎn)：集合的性質(zhì)與交集以及絕對(duì)值不等式運(yùn)算.

解析：常見的解法為計(jì)算出集合A、B；^={x|-l<x<l},6={4”0}（注意在求

解集合B時(shí)，元素為y）解得/n8={x|04xWl}.

答案：C

（1。安徽2）若集合Z+照丹,貝3=

24J

A.（-8,o]u---,+0°

I2J

「萬、

c.（―<>o,o]U—,+°0

.2>

考點(diǎn)：解對(duì)數(shù)函數(shù)不等式，集合運(yùn)算

1/y(五

解析：log,x>—=>0<x<,所以&/=(-8,o]U/-,+°0

答案：A

提高篇

10湖北2.設(shè)集合/=4"/+卷=1,,8={（"1=3'},則ZC8的子集的個(gè)

數(shù)是

A.4B.3C.2D.1

考點(diǎn)：集合的性質(zhì)與交集以及橢圓與指數(shù)函數(shù)的圖像

解析：集合A是橢圓的點(diǎn)集，集合B是指數(shù)曲線的點(diǎn)集合，畫出橢圓匕+己=1和指

416

數(shù)函數(shù)丁=3、圖象，可知其有兩個(gè)不同交點(diǎn)，記為小、4，則ZCB的子集應(yīng)為0,{4},

{A2},{4,4}共四種，故選A.

答案：A

10四川（16）設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對(duì)任意x,yeS,都有x+y,x-y,

xyeS,則稱5為封閉集.下列命題：

①集合S=1+同為整數(shù),7?為虛數(shù)單位}為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有OeS；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足S=的任意集合T也是封閉集.其中真命題是

（寫出所有真命題的序號(hào)）

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算集合的性質(zhì)

解析：設(shè)x=a+=c+di,經(jīng)過驗(yàn)證可知①正確.

當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤-yes,取X=y,得06S,②正確

對(duì)于集合5={0},顯然滿足素有條件，但S是有限集，③錯(cuò)誤

取5={0},7={0,1},滿足SqTqC,但由于0—1=—1￡7,故7不是封閉集，

④錯(cuò)誤或取S=l,7={2},SnT=l，.但l+i=T，故7不是封閉集，④錯(cuò)誤

答案：①②

注意：這種題目是集合的新概念，同學(xué)們?cè)谧鲞@類題目的時(shí)候要注意審題，例如這道題

目中，沒有要求x不等于y,要討論這種情況。

10北京20.已知集合S“={x|x=（$廣2,…,演）,七e{0,l},i=1,2,22）.對(duì)于

A=（al,a2,--,an）,8=（"也,…也）J

定義Z與6的差為：A—B—（k一4|,|。2-4，…，1%—b”|）；

A與B之間的距離為d（48）=-用.

i=l

（I）證明：\/A,B,CGS?,有/一BWS",且d（N—C,8—C）=d（48）；

（II）證明：\/A,B,CeSn,d（A,B）,d（A,C）,d（8,C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是

偶數(shù)；

（HD設(shè)PqS“，尸中有加（加22）個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為2（P）.

證明：d（P）<mn

2（加-1）

考點(diǎn)：結(jié)合集合相關(guān)概念給出新定義，考查能力

規(guī)律方法：這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，這里簡(jiǎn)要分析一下.

題目所給的條件其實(shí)包含兩個(gè)定義，第一個(gè)是關(guān)于S“的，其實(shí)S“中的元素就是一個(gè)〃

維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)值都是?；蛘?,也可以這樣理解，就是一個(gè)〃位數(shù)字的數(shù)組，每

個(gè)數(shù)字都只能是0和1,第二個(gè)定義叫距離，距離定義在兩者之間，如果直觀理解就是看兩

個(gè)數(shù)組有多少位不同，因?yàn)橹挥?和1才能產(chǎn)生一個(gè)單位的距離，因此這個(gè)大題最核心的就

是處理數(shù)組上的每一位數(shù)，然后將處理的結(jié)果綜合起來，就能看到整體的性質(zhì)了.

由于每個(gè)坐標(biāo)值不是0就是1,

,,-0,x=1

我們記x=<

Lx=0

這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，若S中元素力和8的第i位數(shù)分別是x和1,那么的第"立數(shù)

就是X.

并且有，若S中元素/和8的第7?位數(shù)分別是工和亍，那么A-B的第i位數(shù)就是

k一",一訃

第一問，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)位上都是0或者1,取差的絕對(duì)值仍然是0或者1,符合豆的要求.然

后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1,每一個(gè)a和每一個(gè)b都是同時(shí)減去的，因此不

影響他們?cè)鹊牟?

這個(gè)大題最核心的是處理數(shù)組上的每一位數(shù)，所以我們研究第，.位數(shù).只要我們得到

|《Y-小-司=%—用就可以得到d（A-C,B-C）=d（A,8）.由于c,僅可能取。或1我

們就可以分類討論.當(dāng)c,=0時(shí)，結(jié)論顯然；當(dāng)弓=1時(shí)

M-黨一打一c』=,卜時(shí)=以一修.就正得了結(jié)論.當(dāng)然，如果同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)

律，題目會(huì)變得簡(jiǎn)單：對(duì)于S中元素A,設(shè)它的第i位數(shù)是q那么0<q<1從而

第二問，依舊從第i位數(shù)下手.題目要證d（48），d（4C），d（8,C）三個(gè)數(shù)中至少有

一個(gè)是偶數(shù)，那么我們可以考慮反證法，若d（4,B）,d（A,C）,d（3,C）全是奇數(shù)則

d（45）+"（4C）+"（5,C）是奇數(shù).這時(shí),我們就可以研究d（45）+d（4C）+d（8,C）.

對(duì)S中元素4B,C,設(shè)它們的第i位數(shù)分別是q,4,q.則d（48）+d（4C）+d（8,C）

就是所有,一盟+內(nèi)-司+0-0的和.由于|生一用+4-司+舊一句中q,",q對(duì)稱,

我們不妨設(shè).那么q,弓,q的取值有四種可能，它們分別取1,1,1或1,1,0或1,0,

0或0,0,0.對(duì)這四種情況分別進(jìn)行討論，我們發(fā)現(xiàn)|《一“+歸一q|+?-H不是取0就

是取2,都是偶數(shù).所以d（48）+d（4C）+d（8,C）只能是偶數(shù)，從而d（40，d（A,C）,

d（3,C）不可能全是奇數(shù).

當(dāng)然，也可以這樣證：先比較4和8有幾個(gè)不同（因?yàn)榫嚯x就是不同的有幾個(gè)），然后

比較4和C有幾個(gè)不同，這兩者重復(fù)的（就是某一位上/和5不同，4和C不同，那么這一

位上8和C就相同）去掉兩次（因?yàn)樵谇皟纱伪容^中各計(jì)算了一次），剩下的就是8和C的

不同數(shù)目，很容易得到這樣的關(guān)系式：h=k+"2i,從而三者不可能同為奇數(shù).

第三問，首先理解P中會(huì)出現(xiàn)個(gè)距離，所以平均距離就是距離總和再除以而

距離的總和仍然可以分解到每個(gè)數(shù)位上，第一位一共產(chǎn)生了多少個(gè)不同，第二位一共產(chǎn)生了

多少個(gè)不同，如此下去，直到第〃位.然后思考，第一位一共機(jī)個(gè)數(shù)，只有0和1會(huì)產(chǎn)生

一個(gè)單位距離，因此由機(jī)個(gè)第一位數(shù)產(chǎn)生的距離數(shù)就是這m個(gè)數(shù)中0的個(gè)數(shù)乘以1的個(gè)數(shù)

（PS：要產(chǎn)生一個(gè)單位距離，必須找到一個(gè)第一位是。的，在找到一個(gè)第一位是1的.這樣

的找法一共有”這m個(gè)第一位數(shù)中0的個(gè)數(shù)乘以1的個(gè)數(shù)”這么多種，從而m個(gè)數(shù)組第一

位數(shù)產(chǎn)生的距離就是”這m個(gè)第一位數(shù)中0的個(gè)數(shù)乘以1的個(gè)數(shù)”）其它位與此類似.那么

我們?cè)O(shè)這m個(gè)數(shù)組中第i位一共有％個(gè)1,那么就有（m-/,）個(gè)0.因此在這個(gè)位置上所產(chǎn)生的

距離總和為“機(jī)一，）

這時(shí)我們?cè)倩氐筋}目要證的不等式.要證2（P）<,

2\m-1）

只需證

d總（P）<

?一2（掰-i）

即

%（p）<絲

試加-1）-2（加-1）

2

化簡(jiǎn)得

"總（尸）

對(duì)第i位來說，總距離為4（加-/,）,這里，，，為定值，

利用二次函數(shù)性質(zhì)，我們知道

/>,m2

這樣，一切就水到渠成了.

此外，這個(gè)問題需要注意一下數(shù)學(xué)語言的書寫規(guī)范.

解析：⑴設(shè)4=（%,出,…%），8=（優(yōu)也，…"），C=（cl,c2,---c?）eS?

因q,bte{0,1},故舊-也歸{0,1},（/=1,2,???,?）

即4一8=（何一仇|他一切,…Sn

又q,4,c,e（0,l）,

當(dāng)q.=0時(shí)，有||q-q||=-可；

當(dāng)q=i時(shí),有M-令-qH。一勾）一（i一，1=\a1~bA

故d（3—C,8—C）=f|q—ft,|=d（A,B）

i=i

（2）法一：對(duì)S中元素4B,C,設(shè)它們的第i位數(shù)分別是q,4，c,.€{0,1}

|%-可+性-c/+|a,.—cj中，a”b”G對(duì)稱，我們不妨設(shè)q2a2q.那么勾，bj,

G的取值有四種可能，它們分別取1,1,1或1,1,0或1,0,0或0,0,0.這時(shí)，

\at-d）.|+|d,.-c,.|+\at-c（.|的值分別為0或2或2或0.所以-bj+%-cJ+a-q|必是

偶數(shù).

從而

d（46）+[（4c）+d（B,c）=￡舊一&I+￡|q-q|+￡\at-qI

/=]i=li=l

=￡初一同+l《—c,|+%—c/

i=l

所以d（48）+d（4C）+d（8,C）是偶數(shù).

若4（48），d（A,C）,d（B,C）,都是奇數(shù)，則d（48）+d（4C）+d（8,C）也是奇數(shù),

由上面結(jié)論，d（48）+d（4C）+d（8,C）是偶數(shù)推出矛盾，故d（48）+d（4C）+d（8,C）

至少有一個(gè)是偶數(shù).

法二：設(shè)一=（%,生,…%），3=（可也,…々）,C=（c,,c2,???￡?）€Sn

記d（48）=%，d（A,C）=l,d（B?=h

記。=（0,0,…0）eS“，由第一問可知：

d（A,B）=d（A-A,B_A）=d（0,B_A）=k

d（4c）=d（z-ac-z）=4（o,c-/）=/

d（B,C）=d（B-4c-力=h

即.一⑷中1的個(gè)數(shù)為h忖一⑷中1的個(gè)數(shù)為斐（i=l,2,…,〃）

設(shè)r是使=歸-q|=1成立的i的個(gè)數(shù),則有h=k+l-2i,

由此可知,k,I,〃不可能全為奇數(shù)，即d(46)，d(4C),d(8,c)三個(gè)數(shù)中至少

有一個(gè)是偶數(shù).

(3)顯然P中會(huì)產(chǎn)生4個(gè)距離，也就是說2(p)=—］￡d(A,B),其中表

CnA,BePA,BeP

示P中每?jī)蓚€(gè)元素距離的總和.

分別考察第i個(gè)分量，不妨設(shè)P中第/個(gè)分量一共出現(xiàn)了4個(gè)1,那么自然有個(gè)0,

因此在這個(gè)分量上所產(chǎn)生的距離總和為以機(jī)-4)Wg,(i=1,2,-??,?),

那么n個(gè)分量的總和1>(48)=￡>(加F)W〃?1="己

A,BeP/=144

即Z（P）=（Zd（48）《空mn

JA,BeP&J2（/w-1）

09北京20.已知數(shù)集2=｛%,°2,…,<%<…<°"，〃？2)具有性質(zhì)P；對(duì)

任意的i,j(l<z<j<n),q%與也兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于/.

%

(I)分別判斷數(shù)集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(II)證明：q=1,且-*%：~+%.、=a；

a；'+a-'+---+a；'

(III)證明：當(dāng)〃=5時(shí)，ax,a2,a4,牝成等比數(shù)列.

考點(diǎn)：集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方

法.本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.

解析：(I)由于3x4與二均不屬于數(shù)集｛1,3,4｝,.?.該數(shù)集不具有性質(zhì)P.

由于1x2,1x3,1x6,2x3,|,；,|,［都屬于數(shù)集｛1,2,3,6｝,

...該數(shù)集具有性質(zhì)P.

PS：3不是4的因子，而1,2,3,6都是6的因子.從而我們可以猜想(證明也是很容

易的)對(duì)于正整數(shù)〃，由〃的所有正因子組成的正整數(shù)的集合具有性質(zhì)P且這個(gè)集合是有限

集.對(duì)于有限集我們常常先討論它的最大元與最小元，因?yàn)樗鼈兺哂泻芎玫男再|(zhì).由正

整數(shù)〃的所有因子組成的正整數(shù)的集合是一個(gè)很好的例子，這些集合具有(ID(III)問中的性

質(zhì)，并且我們很容易將這些證明推廣到一般情形.

(II)4=｛。］,%4-。"｝具有性質(zhì)產(chǎn)，.?.凡”"與冬■中至少有一個(gè)屬于/,

由于1Wq<的<.??<4“，anan>an,故?！啊！比稳?

從而l="e〃，a,=1

%

1=a,<a2<-??<an,akan>an,故處a〃任/(左=2,3,…

由“具有性質(zhì)P可知&G4(%=1,2,3,???,?).

ak

?q+的+…/—〃

?,_]_]_]-a”?

Q]+。2+??,+〃〃

(HI)由(II)知，當(dāng)〃=5時(shí)，有&=&，—=ci3fBPa5=a2a4=aj,

%的

?「1=%<&<…<%，***>。2〃4=a5，a3a4任力，

由/具有性質(zhì)產(chǎn)可知幺￡4.

由知知二。；，得&=且1＜色=。2，—=ci2t

。2。3。2。3a2

...生=4_=&.=&.=%,即q,a2,a3,a4,%是首項(xiàng)為匕公比為的成等比

a4a3a2a{

數(shù)列.

注意：解決這類題目時(shí)，讀懂新概念，從第一問開始，通常第一問比較簡(jiǎn)單，同時(shí)為后

面兒?jiǎn)柼峁┓椒ê徒Y(jié)論。

函數(shù)

核心問題與考試熱點(diǎn)：

①函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)的圖象.

②基本初等函數(shù)

③函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念

④運(yùn)用函數(shù)的思想來觀察，分析和解決問題，數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想.

高考命題以基本概念為考察對(duì)象，題型中選擇題和填空題和大題都可能出現(xiàn).

函數(shù)三要素

二、函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的

定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的

最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化.具體要求是：1.正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義,

能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)

性和奇偶性.2.從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征

的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法.3.培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀

點(diǎn)分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.

［點(diǎn)評(píng)］在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí);可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了

導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來處理函數(shù)的單調(diào)

進(jìn)性，顯得更加簡(jiǎn)單、方便.

三、函數(shù)的圖象

圖象變換：

①y=f(x)「軸對(duì)稱>y=/(-X)

②y=f(x)一軸對(duì)稱〉v=-f(x)

@y=fM原點(diǎn)對(duì)稱〉y=x)

④y=f(x)fy=/(|x|),把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

⑤y=/(x)-y=〃x)I把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱.(注

意：它是一個(gè)偶函數(shù))

⑥伸縮變換：y=/(x)-y=/(3x),y=/(x)-y=A/(3x+@)具體參照三角函數(shù)的圖象變

換.

注：一個(gè)重要結(jié)論：若"a—x)=/(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來.

因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn).復(fù)

習(xí)函數(shù)圖像要注意以下方面.1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法一一描點(diǎn)法和圖象變換

法.2.會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題.3.用數(shù)形

結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.4.掌握知識(shí)之間的聯(lián)

系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

四、二次函數(shù)

五、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

六、函數(shù)的零點(diǎn)

函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=fM,我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零

點(diǎn)方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)

連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判別方法：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象

是連續(xù)不斷一條曲線，并且有/(a)?/(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).

即存在cd(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

［點(diǎn)評(píng)］:如果函數(shù)“X)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且〃aA/(b)<0,則函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,

b)上有零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，二分法，函數(shù)的應(yīng)用都是函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容.

基礎(chǔ)篇

1

(10安徽2)若集合力=(xlog]xN—,,則6?/?=

22

(、乃)、

(-°0,o]U—,+°0--,+oo

A.B.I2

、2J7

V2]-V2、

C.(-8,0]U彳，+8

-2--+8D.

J7

考點(diǎn)：集合運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的運(yùn)算

規(guī)律方法：利用函數(shù)性質(zhì)

解析：對(duì)于函數(shù)，首先考慮定義域，則x>0；該題目中的對(duì)數(shù)函數(shù)為遞減，所以XW也，

2

最后篇4=(-8,o］U—本題注重基礎(chǔ)，而且綜合眾多考點(diǎn)，是一道好題，具有代

I2人

表性。

答案：A

(10廣東9)函數(shù)，f(x)=lg(x—1)的定義域是(1,+8).

考點(diǎn)：函數(shù)定義域和集合運(yùn)算

解析：xT>0,所以x>l

答案：{x\x>1}

2A+l,x<l

(10陜西5)已知函數(shù)/(x)={若/(/(O))=4a,則實(shí)數(shù)。等于

x'+ax,x>1

14

A.一B.一C.2D.9

25

考點(diǎn)：分段函數(shù)

規(guī)律方法：果斷直接代入

解析：直接代入，/(0)=2,/(/(0))=/(2)=4+2a=4a,所以a=2

答案：C

(10課標(biāo)5)已知命題

Pi：函數(shù)y=2'-2r在R為增函數(shù),

p2：函數(shù)y=2'+27在R為減函數(shù)，

則在命題名：Pip2,%：P|A772，%：（「P1）VP2和%:P|人（力2）中，真命

題是

A.<7,，%B.q2,%C.q],q4D.%，/

考點(diǎn)：初等函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的基礎(chǔ)知識(shí)

規(guī)律方法：初等函數(shù)的單調(diào)性的變化，真值表的使用

解析：2、是單調(diào)增函數(shù)，2一、為減函數(shù)，一2r為增函數(shù)，增函數(shù)和仍為增函數(shù)，所以

了=2、一二在R上是增函數(shù)，所以印真命題，「四假命題；

2

由于夕=2'+二？2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有最小值，在R既不是增函

22

數(shù)也不是減函數(shù)，所以P2假命題，「小真命題，所以P|VP2為真命題，P1人P2為假命題,

（」Pl）vp2為假命題，PlV（—P2）為真命題

答案：C

（10廣東3）若函數(shù)/（X）=3、+3r與g（x）=3’-37的定義域均為R,則

A.“X）與g（x）均為偶函數(shù)B.7（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)

C./（x）與g（x）均為奇函數(shù)D./（x）為偶函數(shù).g（x）為奇函數(shù)

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，函數(shù)奇偶性

解析:/（7）=3-，+3'=/由，g（_x）=3r-3'=-g（x）

答案：D

注意：判斷函數(shù)奇偶性，首先檢查函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則非奇非偶;

若對(duì)稱，才將-X代入判斷。

（10安徽4）若/（X）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足/（1）=1,/（2）=2,則

A.-1B.1C.-2D.2

考點(diǎn)：函數(shù)周期性、奇函數(shù)的性質(zhì)

解析：/（3）-/（4）=/（-2）-/（-1）=-/（2）+/（1）=-2+1=-1

答案：A

注意：周期函數(shù)也是高考熱點(diǎn)，通常題目中是抽象函數(shù)，利用函數(shù)的周期性，在選擇和

填空題中可以引入具體函數(shù)作為輔助工具來用。

5.（2009北京文理）為了得到函數(shù)y=lgf的圖像，只需把函數(shù)歹=lgx的圖像上

所有的點(diǎn)()

A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

考點(diǎn)：函數(shù)圖像的平移變換。

規(guī)律方法：左加右減，上加下減

解析：y=lg-^=lg(x+3)-lgl0=lg(x+3)-l,根據(jù)圖像變換規(guī)律左加右減，上

加下減確定答案。

答案：c

(10安徽6)設(shè)abc>0,二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c的圖象可能是

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖像

規(guī)律方法：排除法

解析：當(dāng)。<0時(shí)，b、c異號(hào)，(A)中c<0,故b>0,--2<0,故不符；(B)中，c>0,

2a

故b<0,---->0故不符;當(dāng)a>0時(shí).，b、c同號(hào)，(C)(D)兩圖中c<0,故6<0,----->0,

2a2a

選項(xiàng)(D)符合

答案：D

(10四川4)函數(shù)f(x)=x2+mx+l的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱的充要條件是

A.m——2B.m—2C.m=~\D.m—\

考點(diǎn)：二次函數(shù)

My

解析：函數(shù)=x2+mx+l的對(duì)稱軸為x=-...,于是----=lnm=-2

22

答案：A

(10四川3)2logs10+logs0.25=()

A.0B.1C.2D.4

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算

解析：2log510+log50.25

=log5100+log50.25

=logs25

=2

答案：C

（10全國(guó)I8）設(shè)a=logs2,b=ln2,c=52,貝?。?/p>

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)，不等式的判斷

規(guī)律方法：換底公式、不等式中的倒數(shù)法則.

解析：不同底的對(duì)數(shù)比較大小，先將題目化成同底進(jìn)行比較，如果不能化成同底，則

適當(dāng)放縮進(jìn)行比較。a=log32=---,b=ln2=---，而log23>log,e>1,所以a

log23log,e

<b,c=53=卡,而石>2=log24>log23,所以c<a,綜上c<a<b.

答案：C

（10全國(guó)II2）函數(shù)丁=上當(dāng)二D（X>1）的反函數(shù)是

A.^=e2x+1-l（x>0）B.y=e2x+'+l（x>0）

C.y=e2x+'-l（xeR）D.y=e2x+l+l（xeR）

考點(diǎn)：本試題主要考察反函數(shù)的求法及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互化.

解析：由原函數(shù)解得X=e21+1,即/T（x）=e2，T+l,又X>1,1>0;

/.ln（x-l）eA,-.y&R,原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域.?.在反函數(shù)中xe火.

答案:D

（10上海8）對(duì)任意不等于1的正數(shù)a,函數(shù)f（x）=log“（x+3）的反函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)

P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0,—2）

考點(diǎn)：函數(shù)圖像和反函數(shù)的特點(diǎn)

規(guī)律方法：指數(shù)函數(shù)丫=優(yōu)必過（0,1）,其反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)歹=log“x必過（1,0）

解析：/（x）=log〃a+3）的圖像必過定點(diǎn)（一2,0）,所以其反函數(shù)的圖像過定點(diǎn)（0,-

2）

答案：（0,-2）

（10福建4）函數(shù)/（x）=1,+2x—3,“'°的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

-2+lnx,x>0

A.0B.1C.2D.3

考點(diǎn)：分段函數(shù)零點(diǎn)的求法

規(guī)律方法：分類討論

解析：當(dāng)xWO時(shí)，令了2+2%-3=0解得x=-3；

當(dāng)x>0時(shí)，令-2+lnx=0解得x=e2,所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，選C.

答案：C

注意：分類討論時(shí)要注意分類討論的取值范圍，例如在求解x?+2x-3=0時(shí),

x=—3或者x=l,注意到x〈0,所以舍去x=l.

（10天津2）函數(shù)/（x）=2*+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）

考點(diǎn)：函數(shù)根的存在性定理

解析：因?yàn)?（—1）=2一|一3<0,/（0）=2。-0=1>0,所以根在（-1,0）區(qū)間內(nèi)；

另外函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，所以有且只有一個(gè)根。

答案：B

提高篇

（09山東）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足/（X）可二X）則“2009）的值為

f（x-1）-f（x-2）

（）

A.-1B.0C.1D.2

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算

規(guī)律方法：歸納推理

解析：由已知得/（-l）=10g22=l,/（0）=0,/⑴=/（0）—=

/（2）=/（1）-/（0）=-1,/（3）=/⑵-/⑴=-1-㈠）=0,

/（4）=/（3）-/（2）=0-（-1）=1,/⑸=/（4）一/（3）=1,/（6）=/（5）-/（4）=0,

所以函數(shù)/（x）的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).，所以/（2009）=/（5）=L

答案：C.

注意：在出現(xiàn)f（2009）、f（2010）等時(shí)，一般有規(guī)律性、周期性，通過歸納猜想可以確

定下來，同學(xué)們可以多嘗試計(jì)算一下，絕對(duì)不要輕易放棄。

（10安徽9）動(dòng)點(diǎn)/（X/）在圓/+/=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12

秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間/=0時(shí)，點(diǎn)/的坐標(biāo)是（，,且

122J，則當(dāng)0W/W12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)〃的縱

坐標(biāo)N關(guān)于f（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性和解析幾何

規(guī)律方法：數(shù)圖結(jié)合

解析：畫出圖形，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A與x軸正方向夾角為a,則

，=0時(shí)&=色，每秒鐘旋轉(zhuǎn)乙，在［0,1］上ae,在

3632_

［7,12］與號(hào),動(dòng)點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)y關(guān)于，都是單

調(diào)遞增的.其實(shí)作為一個(gè)選擇題，我們畫出圖形發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是一個(gè)先增后減再增的趨勢(shì)，所

以是兩個(gè)區(qū)間，只有D符合。

答案：D

(10全國(guó)I10)已知函數(shù)F(x)=|lgx1,若OVaVb,且f(a)=/(b),則a+2b的取值范

圍是

A.(2^2,4-00)B.上亞,+00)C.(3,+8)D.［3,+8)

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域

規(guī)律方法：均值不等式的使用何時(shí)取等號(hào)，通過函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)值域

解析：因?yàn)?(a)=/(b),所以|lgo|=Igbl,所以。=b(舍去)，或6=’,所以o+2b

a

22

=〃+—,又OVaVb,所以0<a<lVb,令/(〃)=〃+—,由“對(duì)勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)

aa

2

/(a)在(0,1)上為減函數(shù)，所以/(a)>/(1)=1+1=3,即a+2b的取值范圍是(3,+

答案：D

注意：考生在做本小題時(shí)極易忽視a的取值范圍，而利用均值不等式求得。+

2b=。+2>2血，從而錯(cuò)選A,這也是命題者的用苦良心之處.

a

|lgx|,0<x<10

(10課標(biāo)11)已知函數(shù)/(x)=11若a”,c互不相等，且/(。)=/⑹

—x+6,x>10

I2

=/(c),則abc的取值范圍是

A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形和性質(zhì)，方程問題

規(guī)律方法：數(shù)形結(jié)合，利用圖像處理函數(shù)與方程問題

-Igx0<x<l

解析：/(x)=<Igx1<x<10,b,c互不相等，不妨設(shè)a<b<c

1，

——x+6

I2

由/1)=/(/)),得-lga=lgb,即必=1,根據(jù)圖形可得0<f(b)=f(c)<l,

/.abc=c,顯然10<c<12

答案：C

(10陜西10)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人

數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之

間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為

x"|「x+3[「x+4]「x+5

A.v=—B.v=----C.v=----D.v=----

考點(diǎn)：通過函數(shù)考查學(xué)生分析解決問題的能力

規(guī)律方法：特殊值發(fā)

解析：特殊取值法，依照題意,我們假設(shè)一種特殊情況(這種情況很極端但相對(duì)好算)，

若這個(gè)班只有6個(gè)人,則根據(jù)“各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表”這一條件,

這時(shí)，班中應(yīng)該沒有代表入選.不過當(dāng)這個(gè)班有7個(gè)人時(shí)，班中就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)代表.這一結(jié)論

說明x=6時(shí)y=0,x=7時(shí)y=l排除A,C,D,所以選B.

答案：B

注意：高考中遇到函數(shù)題，會(huì)有很多是考能力，同學(xué)們要鎮(zhèn)定，采用特殊值法往往能受

到奇效

log,x,x>0

(10天津8)若函數(shù)f(x)=?與'，若f(a)>/(一加，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

log,(-l),A-<0

A.(-1,0)U(0,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(—1,0)U(1,+<x>)D.(—8,—1)U(0,1)

考點(diǎn)：分段函數(shù)求值、不等式求解、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)

規(guī)律方法：分類討論

解析：當(dāng)Q>0時(shí)，由/(a)>/(一。)得：log?Q>log】a,即log?a>log2—,即Q>',

2aa

解得a>l；當(dāng)〃<0時(shí)，由/(a)>/(一a)得:log)(-a)>log2(-a)log2(-d),即

2

log2|^--j>log2(-tz)

即—>ci9解得—l<a<0,故選C.

a

答案：C

(10江西9).給出下列三個(gè)命題：

①函數(shù)y='ln^~竺二與y=Intan'是同一函數(shù)；

21+cosx2

②若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)歹=/(2x)與

y=；g(x)的圖像也關(guān)于直線夕=x對(duì)稱；

③若奇函數(shù)/(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x都有/(x)=/(2—x),則/(x)為周期函數(shù).

其中真命題是

A.①②B.①③C.②③D.②

考點(diǎn)：函數(shù)相同的判斷、函數(shù)周期性的判斷

規(guī)律方法：需要三要素都相同函數(shù)才相同，有兩個(gè)不同對(duì)稱的函數(shù)必然是周期函數(shù)

解析：①中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，故錯(cuò)誤；排除A、B,驗(yàn)證③，

/(7)=范-(-x)]=/(2+x),又通過奇函數(shù)得/(—x)=—/(x),

/(x)=-/(2+X)=-(-/(2+2+x))=/(4+X),所以/(X)是周期為4的周期函數(shù)，所以③

對(duì)。

答案:C

10江西15.直線y=l與曲線一忖+a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是.

考點(diǎn)：函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的解法

規(guī)律方法：數(shù)形結(jié)合

解析：本題的關(guān)鍵是將圖形畫出來，如圖，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線丁=1與曲線

a>1

y=/-國(guó)+。過(0,a),且其最小值為"二L觀圖可知，。的取值必須滿足＜

4a-1

14-----<1

4

解得l<a<*.

4

答案:

(10北京14)如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形P48C沿X軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)尸(xj)的軌跡

方程是y=/(x),則函數(shù)/(x)的最小正周期為；y=/(x)在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖

象與x軸所圍區(qū)域的面積為

說明：“正方形PZ8C沿x軸滾動(dòng)”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).沿x軸正

方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)/為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)3落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)8為中

心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).類似地，正方形P46C沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).

考點(diǎn)：函數(shù)周期性與面積計(jì)算

規(guī)律方法：從題目中提煉出來具體函數(shù)，并通過函數(shù)來進(jìn)行計(jì)算。

解析：不難想象，從某一個(gè)頂點(diǎn)(比如4)落在x軸上的時(shí)候開始計(jì)算，到下一次A點(diǎn)落

在x軸上，這個(gè)過程中四個(gè)頂點(diǎn)依次落在了x軸上，而每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)間距離為正方形的邊長(zhǎng)1,

因此該函數(shù)的周期為4.下面考察P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，不妨考察正方形向右滾動(dòng)，P點(diǎn)從x軸

1

上開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，首先是圍繞A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)々個(gè)圓，該圓半徑為1,然后以B點(diǎn)為中心，滾動(dòng)

到C點(diǎn)落地，其間是以8P為半徑，旋轉(zhuǎn)90°,然后以C為圓心，再旋轉(zhuǎn)90°,這時(shí)候以

答案：4,兀+1

(09四川)己知函數(shù)/(X)是定義在實(shí)數(shù)集火上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X

、

都有V(X+1)=(1+x)/(x),則/的值是

7

考點(diǎn)：抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)的奇偶性

規(guī)律方法：賦值法，代入具體值去求解抽象函數(shù)。

解析：令》=一，則一一/-=-/一一=-/-=>,/-=0；令x=0,則

22

/(0)=0

由必(》+1)=(1+》)/(》)得/(x+l)=-/(X),所以

53

0n//?小。)=。,

答案：A.

(10福建10)對(duì)于具有相同定義域。的函數(shù)/(X)和g(x),若存在函數(shù)h(x)=kx+b(k,

b為常數(shù))，對(duì)任給的正數(shù)m,存在相應(yīng)的x°GD,使得當(dāng)xGD且x>x0時(shí)，總有

0<f(x)—h(x)<m

\J；?則稱直線/：y=kx+b為曲線y=/(x)與y=g(x)的“分漸近線”.給

出定義域均為。={x|x>l}的四組函數(shù)如下:

@f(x)—x2,g(x)=4；②f(x)=10"+2,g(x)=&―-；

?，、x2+1,、xInx+1忘”、2x2..,

③/(x)=-----,g(x)=------