數(shù)學(xué)版本章整合：第一章統(tǒng)計(jì)案例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一概念辨析題本章主要通過數(shù)學(xué)案例使大家初步掌握了獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析的方法的應(yīng)用，但在案例中的有些概念和結(jié)論都是在統(tǒng)計(jì)意義下給出的，因此在理解上有所偏差，學(xué)習(xí)時(shí)要多結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行體會．【例1】試分析下列說法正確與否:(1）在調(diào)查某社區(qū)居民的月收入x(單位:元）和其月消費(fèi)y（單位：元）的關(guān)系時(shí)，抽取了一個(gè)樣本容量為100的樣本，用最小二乘法求得回歸直線方程是eq\o（y,\s\up6(^）)＝0。6x＋300,居民張先生若月收入3000元，則他一定月消費(fèi)2100元;(2)在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)?zāi)硢挝徽衅感姓ぷ魅藛T和技術(shù)工作人員所招聘的男女人數(shù)時(shí),得到了χ2的觀測值為4。2，這就證明該單位在兩類工作崗位上的招聘中一定存在性別歧視．解：（1）說法錯(cuò)誤．由回歸直線方程計(jì)算得eq\o（y，\s\up6(^)）＝0。6×3000＋300＝2100,則該社區(qū)內(nèi)所有的月收入3000元的居民的平均月消費(fèi)為2100元，或者說該社區(qū)內(nèi)月收入3000元的居民的月消費(fèi)的估計(jì)值為2100元．（2）說法錯(cuò)誤．根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，當(dāng)χ2的觀測值為4。2時(shí)，有95％的把握認(rèn)為該單位在兩類工作崗位上的招聘中存在性別歧視，即該單位在招聘工作中存在性別歧視的嫌疑很大，概率高達(dá)95%，即使是這樣也不能100％肯定該單位在招聘工作中存在性別歧視．另一方面，由于男女在選擇工作崗位上的心理不同，也會造成各個(gè)崗位招聘男女人數(shù)的差異，導(dǎo)致計(jì)算的χ2的觀測值過大，因此,單純從這個(gè)計(jì)算結(jié)果不能得出該單位在兩類工作崗位上的招聘中一定存在性別歧視的結(jié)論．專題二相互獨(dú)立事件對于兩個(gè)事件A，B，如果有P(AB)＝P(A）P(B)，則稱事件A與B相互獨(dú)立．A與B獨(dú)立還可以理解為：事件A是否發(fā)生都對事件B發(fā)生的概率沒有影響,即事件A與事件B無關(guān)．除了通過定義來判斷兩事件是否為相互獨(dú)立事件，實(shí)際中常結(jié)合問題的實(shí)際含義來判斷．【例2】甲、乙二人分別對一目標(biāo)射擊一次，記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A,“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件B。則在A與B，eq\x\to（A)與B,A與eq\x\to(B）,eq\x\to（A)與eq\x\to(B）中，滿足相互獨(dú)立的有（)A．1對B．2對C．3對D．4對解析:∵A與B為相互獨(dú)立事件，∴eq\x\to（A）與B,A與eq\x\to(B），eq\x\to(A)與eq\x\to(B）也都是相互獨(dú)立事件．答案:D互動探究:甲射擊擊中目標(biāo)的概率是0。5，乙射擊擊中目標(biāo)的概率是0。3,現(xiàn)在兩人同時(shí)射擊，求目標(biāo)被擊中的概率．解：設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件A，“乙擊中目標(biāo)”為事件B,目標(biāo)未被擊中為事件eq\x\to(A)eq\x\to(B)，事件A，B是相互獨(dú)立的，則目標(biāo)被擊中的概率為P＝1－P（eq\x\to（A)eq\x\to（B））＝1－P（eq\x\to（A)）P(eq\x\to(B））＝1－(1－P（A)）（1－P(B)）＝1－(1－0.5）(1－0。3)＝1－0.35＝0.65.即目標(biāo)被擊中的概率為0。65。專題三獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)上的反證法，要確定兩個(gè)事件是否具有相關(guān)關(guān)系，其基本思想是：先假設(shè)兩個(gè)事件沒有關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)假設(shè)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行分析，得到一個(gè)χ2統(tǒng)計(jì)量，通過計(jì)算這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的觀測值，再由統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到的兩個(gè)臨界值，確定我們的假設(shè)是否成立,以及假設(shè)的不合理程度．【例3】某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：API[0,50］（50,100](100,150］（150，200]（200，250］（250，300］＞300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中重度污染重度污染天數(shù)413183091115（1)若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)API（記為w）的關(guān)系式為S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0，0≤w≤100，,4w－400,100〈w≤300,,2000,w〉300，))試估計(jì)在本年度內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元的概率；(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染．完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95％的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？附:P(χ2≥k0）0。050.0250.0100.0050.001k03。8415。0246.6357。87910.828χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2，n1＋n2＋n＋1n＋2).非重度污染重度污染合計(jì)供暖季非供暖季合計(jì)100解:(1）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元”為事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，頻數(shù)為39，所以P（A）＝eq\f（39,100）。（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：非重度污染重度污染合計(jì)供暖季22830非供暖季63770合計(jì)8515100χ2＝eq\f(100×（63×8－22×7)2，85×15×30×70)＝4。575＞3.841.所以有95％的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)．【例4】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例．(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例?說明理由．解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為eq\f(70,500)＝14％。（2）由公式得χ2＝eq\f(500×（40×270－30×160)2，200×300×70×430)＝9.967.由于9。967＞6.635，所以有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．（3)由(2)的結(jié)論知,該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，要先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層,并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好．專題四線性回歸分析線性回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．散點(diǎn)圖中的點(diǎn)大致分布在一條直線附近時(shí),可以選擇直線的回歸分析．它的基本思想是用最小二乘法求出回歸直線方程中的待定系數(shù),使得隨機(jī)誤差的平方和最小．可以說回歸分析的基本思路是用“最好”的曲線去擬合收集到的樣本數(shù)據(jù)，其衡量標(biāo)準(zhǔn)是“隨機(jī)誤差的平方和最小”．【例5】假設(shè)某設(shè)備的使用年限x(年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2。23。85.56。57.0試求：（1)y與x之間的回歸方程；(2）當(dāng)使用年限為10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是多少?解:(1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖,如圖所示：從散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)都集中分布在一條直線附近,因此y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．利用題中數(shù)據(jù)得：eq\o（b,\s\up6（^))＝eq\f(∑(xi－\x\to（x))（yi－\x\to(y）)，∑(xi－\x\to（x）)2)＝eq\f（112.3－5×4×5，90－5×42)＝1.23，eq\o(a，\s\up6（^）)＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6（^）)eq\x\to（x)＝5－1.23×4＝0.08，∴線性回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^)）＝1.23x＋0.08。（2)當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o（y，\s\up6(^)）＝1.23×10＋0。08＝12.38(萬元)，即當(dāng)使用10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是12。38萬元．專題五非線性回歸分析在實(shí)際問題中，當(dāng)變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系時(shí),就不能用線性回歸方程來描述它們之間的相關(guān)關(guān)系，需要進(jìn)行非線性回歸分析,然而非線性回歸方程一般很難估計(jì)出，因此常采用變量代換的方法，把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,然后用線性回歸的方法進(jìn)行研究．【例6】在彩色顯像中，根據(jù)經(jīng)驗(yàn),形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x之間有下面類型的關(guān)系式:y＝ae－eq\f(b，x),其中b＞0?，F(xiàn)對y及x同時(shí)作11次觀察,獲得11組數(shù)據(jù)如下表所示：編號xiyi10。050。1020。060。1430。070.2340.100.3750。140。5960。200。7970.251.0080。311。1290。381。19100.431。25110.471。29求出y對x的回歸方程．解：令y′＝lny,x′＝eq\f（1，x)，則y＝ae－eq\f(b,x）變換為y′＝lna－bx′。令eq\o（a,\s\up6（^）)′＝lna，eq\o（b,\s\up6(^））′＝－b，將觀察的數(shù)據(jù)(xi，yi)轉(zhuǎn)化為(xi′，yi′)，如下表所示:編號xi′yi′x′eq\o\al(2，）ixi′yi′120－2。303400－46.06216.667－1.966277。79－32。77314。286－1.47204.09－21410－0。994100－9.9457.143－0。52851.02－3.7765－0.23625－1.1874016083。2260.11310.410。3692。6320。1746。930.46102.3260。2235.410。52112.1280。2554。530。54∑87.408－6.7321101.18－112。84所以eq\x\to(x′)＝eq\f(1，11）∑xi′＝7.95,eq\x\to（y′）＝eq\f(1，11)∑yi′＝－0.612，eq\o（b，\s\up6（^））′＝eq\f(∑xi′yi′－11\x\to（x′)\x\to（y′),∑x′\o\al（2，)i－11\x\to(x′）2）＝－0。146，eq