數(shù)學(xué)本講測(cè)評(píng)：第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本講檢測(cè)一、選擇題(每小題5分,共60分）1。如圖1—9,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD交CB延長線于E,則結(jié)論正確的是（)圖1-9A。△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED?！鰽EC∽△DAC解析:∵D是BC的中點(diǎn),∴AD=BC=BD=DC。∴∠ABD=∠BAD?！摺螮AB+∠BAD=90°,∠C+∠ABD=90°,∴∠EAB=∠C.∴△BAE∽△ACE。答案：C2.如圖1-10,DE是△ABC的中位線，F(xiàn)G為梯形BCED的中位線,若DE=4,則FG等于(）圖1-10A.6B。8C.10解析：∵DE是△ABC中位線，∴DE∥BC。∵FG是梯形BCED中位線，∴FG∥DE.∴==?！郌G=DE=×4=6。答案:A3?！鰽BC的三邊長分別為,2,△A′B′C′的四邊長分別為1和。如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長為（)A。B.C.D.解析：∵,∴設(shè)第三邊長為x,則，∴x=2。答案:A4。如圖1—11，D是△ABC的AB邊上的一點(diǎn),要使△ACD∽△ABC,則它們還必須具備的條件是()圖1—11A.AC∶CD=AB∶BCB.CD∶AD=BC∶ACC。CD2=AD·DBD.AC2=AD·AB解析：若使兩三角形相似，已含公共角A，則需夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.∵AC2=AD·AB，∴=。又∠A是公共角,∴△ACD∽△ABC。答案：D5。如圖1—12，△ABC中，DE∥BC,AD∶DB=1∶2,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)圖1-12A.=B。=C.=D.=解析:∵DE∥BC,∴==.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴==.∴=(）2=,故C錯(cuò)誤.而=正確.答案：C6.如圖1-13，已知ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件,不能推出△ABP與△ECP相似的是（）圖1—13A?！螦PB=∠EPCB?！螦PE=90°C。P是BC的中點(diǎn)D.BP∶BC=2∶3解析：∵ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=90°。當(dāng)A成立時(shí),∠APB=∠EPC，有△ABP∽△ECP；當(dāng)∠APE=90°時(shí),也可證出∠APB=∠PEC?！唷鰽BP∽△ECP也成立.當(dāng)BP∶BC=2∶3時(shí)，可以推出PC∶BP=1∶2,而EC∶AB=1∶2，又∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△ECP。當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，無法推出△ABP∽△ECP.答案：C7。如圖1-14，在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn),AE⊥EF，則下列結(jié)論正確的是（)圖1—14A?！螧AE=30°B。CE2=AB·CFC。CF=CDD。△ABE∽△AEF解析：∵ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°?！摺?+∠3=90°,∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2?！唷鰽BE∽△ECF.∴?！郋C·BE=AB·CF?！逧是BC中點(diǎn),BE=CE,∴CE2=AB·CF。而其他結(jié)論均無法推出。答案：B8.如圖1—15，等腰直角△ABC中，AD是直角邊BC上的中線,BE⊥AD,交AC于E,EF⊥BC，若AB＝BC=a,則EF等于（）圖1—15A。aB.aC.aD。a解析：設(shè)EF為x，∵△ABC為等腰直角三角形，EF⊥BC,∴△EFC為等腰直角三角形.∴BF=BC—CF=a-x.在Rt△ABD中，∠BAD+∠BDA=90°,∠DBH+∠BDA=90°.∴∠BAD=∠DBE.∴△ABD∽△BFE?！?。∴.解得x=a.答案：A9。如圖1-16，已知AD是△ABC的中線,E是AD上的一點(diǎn),CE交AB于F，且=，則等于(）圖1-16A。B.C。D。解析：過D作DG∥CF，∵CD=BD,∴FG=GB.∵EF∥DG，∴==?！?=.答案:B10.如圖1-17,ABCD中,E是BC上一點(diǎn),BE∶EC=2∶3，AE交BD于F,則BF∶FD等于(）圖1-17A。2∶5B.3∶5C.2∶3解析：∵BE∶EC=2∶3,∴BE∶BC=2∶5。又∵ABCD中，ADBC，∴BE∶AD=2∶5.△BEF∽△DAF.∴BF∶FD=BE∶AD=2∶5。答案：A11。若m=，則m的值為（）A。B?！?C.或-1D。解析：當(dāng)x+y+z=0時(shí)，m==—1.當(dāng)x+y+z≠0時(shí),m=。答案:C12.如圖1-18,梯形ABCD,AB∥CD，E是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn),S△DEC∶S△DBC=1∶3，則S△DCE∶S△ABD為（)圖1—18A.1∶5B.1∶6C.1∶7解析：∵△DEC與△DBC同高，∴S△DEC∶S△DBC=DE∶DB=1∶3?！逥C∥AB,∴△DCE∽△BAE?！?(）2=.又△DEC與△ADE同高,∴=。∴S△DCE∶S△ABD=1∶6.答案:B二、填空題（每小題4分，共16分）13.兩個(gè)相似三角形的面積比是1∶2，則它的外接圓面積之比是___________。解析：三角形面積比等于相似比的平方，而相似三角形外接圓面積之比也等于相似比的平方.答案：1∶214。如圖1—19,已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4,BD=8，DE=5，則BF=____________.圖1-19解析：∵DE∥BC，DF∥AC，∴DECF是平行四邊形.∴FC=DE=5.∵DF∥AC，∴=，即?！郆F=10。答案：1015.如圖1—20,已知△ABC中，AD是BC邊上的中線,F是AD上一點(diǎn)，且AF∶FD=1∶5，連結(jié)CF并延長交AB于E，則AE∶EB=___________。圖1-20解析:過D作DH∥CE交AB于H,∵DH∥EF,∴=1∶5.∵DH∥CE，D為中點(diǎn)，∴HE=HB?！郃E∶EB=1∶10.答案:1∶1016.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線相交于O,△AOB與△COD的面積分別為p2和q2，則梯形ABCD的面積是___________。圖1-21解析：∵DC∥AB，∴△COD∽△AOB.∴=（)2?！?()2?！?.∵=，=,∴S△AOD=pq。同理,S△BOC=pq?！郤梯形ABCD=S△COD+S△AOD+S△BOC+S△AOB=q2+pq+pq+p2=(p+q）2。答案：(p+q）2三、解答題(共74分)17.(12分）如圖1—22，已知ABCD中，P為對(duì)角線BD上的點(diǎn)，過P作直線分別交BA、BC的延長線于Q、R，交CD、AD于S、T,求證:PQ·PT=PR·PS.圖1—22證明：∵AB∥CD，∴=.∵TD∥BR，∴=。∴=.∴PQ·PT=PR·PS.18。(12分）如圖1-23,延長正方形AEDC的邊DC到B,連結(jié)BE交AC于F，作FG∥BD,交AB于G.求證:GF=FC。圖1-23證明：∵FC∥ED,∴=.∵GF∥AE，∴=?！??！逜BCD為正方形，∴AE=ED.∴GF=FC。19。(12分）在△ABC中,M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn),且AE=AB,連結(jié)EM并延長交BC的延長線于D,求證:BC=2CD。圖1—24證明:過C作CF∥DE,交AB于F,∴=，?！郃M=MC,∴EF=AE=AB?！郆F=AB?！?2?！?2.∴BC=2CD。20.（12分)如圖1—25,已知C是線段AB上一點(diǎn),△ACD與△BCE是兩個(gè)等邊三角形，AE交CD于G,BD交CE于H,求證:GH∥AB.圖1—25證明：∵△ACD與△BCE是等邊三角形，∴∠ACD=∠CBE=60°?！郉C∥BE?！?,=.∵BC=BE，AC=DC,∴=?！??！郍H∥AB.21。(12分）如圖1-26，已知AE、AF分別為△ABC的內(nèi)外角平分線,O為EF中點(diǎn)，求證：=。圖1—26證明：∵AE、AF分別是△ABC的內(nèi)外角平分線，∴AE⊥AF。∵O為EF的中點(diǎn)，∴OA=OE,∠OEA=∠OAE.∵∠OAE=∠CAE+∠OAC，∠OEA=∠B+∠BAE,∠BAE=∠CAE,∴∠OAC=∠B。又∵∠BOA=∠AOC，∴△OBA∽△OAC.∴=.又∵=,∴=.22。（14分）如圖1—27,在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.(1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC.（2)當(dāng)=時(shí),求。(3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長