數(shù)學(xué)本章整合：第三章概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專(zhuān)題探究專(zhuān)題一互斥事件與對(duì)立事件問(wèn)題（1）利用基本概念：①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事件首先是互斥事件，且必須有一個(gè)要發(fā)生．（2)利用集合的觀點(diǎn)來(lái)判斷：設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A,B,全集為I。①事件A與B互斥，即集合A∩B＝;②事件A與B對(duì)立，即集合A∩B＝,且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③對(duì)互斥事件A與B的和A＋B，可理解為集合A∪B。(3)對(duì)立事件是針對(duì)兩個(gè)事件來(lái)說(shuō)的，而互斥則可以是多個(gè)事件間的關(guān)系．(4）如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都是互斥事件，那么我們就說(shuō)A1，A2，…，An彼此互斥．（5)若事件A1,A2,A3，…，An彼此互斥,則P（A1∪A2∪…∪An）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P(An）．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．對(duì)于較復(fù)雜事件的概率，可以轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率．(6)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P（A)＝1－P（eq\x\to（A)）求解．eq\x(應(yīng)用1)從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花的點(diǎn)數(shù)為1～10,各10張）中任取1張．判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3）“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”．解：(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，也不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”,因此二者不是對(duì)立事件．(2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,且其中必有一個(gè)發(fā)生，因此它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9"這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10，因此，這二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．eq\x（應(yīng)用2)在某一時(shí)期內(nèi)，一條河流某處的年最高水位在各個(gè)范圍內(nèi)的概率如下表：年最高水位(單位：m）[8,10)[10,12)［12,14)［14,16）[16，18)概率0。10。280.380。160。08計(jì)算在同一時(shí)期內(nèi)，河流此處的年最高水位在下列范圍內(nèi)的概率：（1）［10,16）（m）；(2)[8,12)(m）；（3）［14,18）(m)．解：記該河流某處的年最高水位在［8,10），［10，12)，［12，14）,[14,16)，［16，18）（單位：m)分別為事件A,B，C，D，E,它們彼此互斥．(1)P（B＋C＋D)＝P（B）＋P(C）＋P(D）＝0.28＋0.38＋0。16＝0。82.（2）P（A＋B）＝P（A）＋P（B)＝0.1＋0。28＝0.38。(3)P(D＋E）＝P(D)＋P（E）＝0.16＋0.08＝0。24.所以年最高水位在［10,16）(m)，［8,12)(m），［14,18)（m)的概率分別為0.82,0.38,0.24.專(zhuān)題二概率與頻率關(guān)系的應(yīng)用頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率，在實(shí)際問(wèn)題中，常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計(jì)值．頻率本身是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，因此概率與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)．eq\x（應(yīng)用）下表是某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果表，請(qǐng)完成表格并回答問(wèn)題：每批粒數(shù)251070130300150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116269134717942688發(fā)芽的頻率（1）完成上面表格．(2）估計(jì)該油菜籽發(fā)芽的概率是多少？提示：（1）代入公式得頻率，（2)估計(jì)頻率的穩(wěn)定值即為概率．解：(1)從左到右依次填入:1，0.8，0。9，0.857，0。892，0。897，0。898,0。897,0。896。(2)由于每批種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0。897附近,所以估計(jì)該油菜籽發(fā)芽的概率為0.897。專(zhuān)題三古典概型問(wèn)題古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ),要掌握古典概型的兩個(gè)基本特征,即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A）＝eq\f（m，n)時(shí),關(guān)鍵是要正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,從而求出n，m。在求基本事件的總數(shù)時(shí)，可以用列舉法、列圖表或設(shè)有序數(shù)對(duì)的方法來(lái)求．eq\x(應(yīng)用1）如圖，a，b，c,d,e是處于斷開(kāi)狀態(tài)的開(kāi)關(guān),任意閉合兩個(gè)，則電路被接通的概率是__________．解析：“任意閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)"所包含基本事件有：閉合ab，ac，ad，ae，bc,bd,be，cd,ce,de，共有10個(gè),“電路被接通”包含6個(gè)基本事件(閉合ad，ae，bd，be，cd，ce),所以電路被接通的概率P＝eq\f（6,10)＝eq\f(3,5）.答案:eq\f(3,5）eq\x（應(yīng)用2）一個(gè)均勻的正四面體面上分別涂有1,2，3,4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)在隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c.（1）記z＝(b－3）2＋(c－3)2，求z＝4的概率；（2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈｛1，2,3，4｝，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率．解：（1）因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件是（b，c），有(1,1），（1,2),（1,3），（1,4)，（2,1）,（2，2），(2,3)，(2,4），（3，1)，（3，2)，(3，3），（3，4），（4，1),（4，2),（4，3），（4,4)．共有16個(gè)基本事件．當(dāng)z＝4時(shí),(b，c)的所有取值為（1，3)、(3,1),所以P（z＝4)＝eq\f(2,16）＝eq\f(1，8）。(2）①若方程一根為x＝1,則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝1，，c＝2.）)③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝2，,c＝3.)）④若方程一根為x＝4,則16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝3,,c＝4。）)綜合①②③④知,（b，c)的所有可能取值為（1，2)，（2,3），（3，4），所以“漂亮方程”共有3個(gè)，方程為“漂亮方程”的概率為P＝eq\f(3,16)。eq\x（應(yīng)用3）已知實(shí)數(shù)a，b∈｛－2，－1，1,2}，（1)求直線y＝ax＋b不過(guò)第四象限的概率;（2)求直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率．解：實(shí)數(shù)對(duì)(a，b）的所有取值為(－2，－2),（－2，－1)，(－2,1），(－2,2)，（－1，－2)，（－1，－1)，(－1，1),（－1,2)，（1,－2）,(1，－1），（1，1)，(1，2),（2,－2)，(2，－1），（2,1）,（2，2），共16種．設(shè)“直線y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第四象限"為事件A，“直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)"為事件B。(1)若直線y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥0，，b≥0。））即滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b）有（1，1），（1,2)，（2，1)，(2,2),共4種．則P（A）＝eq\f(4,16）＝eq\f（1,4）。故直線y＝ax＋b不經(jīng)過(guò)第四象限的概率為eq\f(1，4）.(2）若直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則必須滿足eq\f(｜b|，\r（a2＋1）)≤1，即b2≤a2＋1。若a＝－2，則b＝－2，－1，1,2符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)有4種不同取值；若a＝－1，則b＝－1，1符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）有2種不同取值；若a＝1,則b＝－1,1符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)有2種不同取值；若a＝2,則b＝－2，－1,1,2符合要求,此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b)有4種不同取值．∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)共有12種不同取值．∴P(B)＝eq\f(12,16)＝eq\f（3,4）。故直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率為eq\f（3，4）.專(zhuān)題四幾何概型問(wèn)題若試驗(yàn)同時(shí)具有基本事件個(gè)數(shù)的無(wú)限性和每個(gè)事件發(fā)生的等可能性兩個(gè)特征，則此試驗(yàn)為幾何概型,由于基本事件個(gè)數(shù)的無(wú)限性,其概率就不能應(yīng)用P(A）＝eq\f（m,n)求解，因此需轉(zhuǎn)化為幾何度量(如長(zhǎng)度、面積、體積等）的比值求解．幾何概型是新增內(nèi)容，在高考中很少考查隨機(jī)模擬，主要涉及幾何概型的概率求解問(wèn)題，難度不會(huì)太大，題型可能較靈活，涉及面可能較廣．幾何概型的三種類(lèi)型分別為長(zhǎng)度型、面積型和體積型，在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握,要把實(shí)際問(wèn)題作合理的轉(zhuǎn)化；要注意古典概型和幾何概型的區(qū)別，正確地選用幾何概型解題．eq\x(應(yīng)用1)ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2,BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,取到的點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為(）A．eq\f(π，4）B．1－eq\f(π，4)C．eq\f(π,8）D．1－eq\f（π，8)解析：如圖所示，若取到的點(diǎn)P到O的距離大于1，則點(diǎn)P在陰影部分內(nèi)，陰影部分的面積為，所以所求的概率為。答案:Beq\x（應(yīng)用2）在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少？解：取出10mL麥種，其中“含有麥銹病種子”這一事件記為A，則P（A）＝eq\f(取出種子的體積,所有種子的體積）＝eq\f(10，1000）＝eq\f（1，100)。答:含有麥銹病種子的概率為eq\f(1,100）。專(zhuān)題五概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合,是新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考試題的一個(gè)亮點(diǎn)，其中所涉及的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是基礎(chǔ)知識(shí)，所涉及的概率是古典概型，雖然是綜合題，但是難度不大，屬于中檔以下難度．eq\x(應(yīng)用1）（2013·四川資陽(yáng)一模,文16）某校團(tuán)委會(huì)組織該校高中一年級(jí)某班以小組為單位利用周末時(shí)間進(jìn)行了一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，且每個(gè)小組有5名同學(xué),在實(shí)踐活動(dòng)結(jié)束后,學(xué)校團(tuán)委會(huì)對(duì)該班的所有同學(xué)都進(jìn)行了測(cè)評(píng),該班的A，B兩個(gè)小組所有同學(xué)所得分?jǐn)?shù)(百分制)的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損,但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高1分．（1)若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過(guò)85分的概率；(2)現(xiàn)從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m,n，求|m－n|≤8的概率．解：（1)A組學(xué)生的平均分為eq\f（94＋88＋86＋80＋77,5）＝85（分)，∴B組學(xué)生平均分為86分,設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為x，則eq\f（91＋93＋83＋x＋75,5）＝86，解得x＝88，∴B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別為93,91,88,83,75,其中有3人的分?jǐn)?shù)超過(guò)85分,∴在B組學(xué)生隨機(jī)選1人，其所得分超過(guò)85分的概率為eq\f(3，5）.（2)A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94，88,86,80，77，在A組學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件（m，n)有（94，88)，（94,86），(94，80）,（94,77）,（88,86），(88，80)，（88,77），(86,80)，（86，77),（80，77),共10個(gè)，隨機(jī)抽取2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)m，n滿足|m－n|≤8的基本事件有(94,88），（94，86)，（88,86），(88,80），（86,80),（80，77）,共6個(gè)．∴｜m－n｜≤8的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3，5）。eq\x(應(yīng)用2)某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)［25,55］歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200。6第二組[30，35)195p第三組［35，40)1000.5第四組[40,45)a0.4第五組[45,50)300。3第六組［50,55］150.3（1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n,a，p的值；(2)從年齡段在［40,50)的“低碳族"中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40，45）歲的概率．解：（1）第二組的頻率為1－(0。04＋0.04＋0。03＋0.02＋0。01)×5＝0.3，所以高為eq\f（0。3，5）＝0。06.頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為eq\f（120，0。6）＝200,頻率為0.04×5＝0.2,所以n＝eq\f（200,0。2)＝1000。由題可知,第二組的頻率為0。3，所以第二組的人數(shù)為1000×0。3＝300，所以p＝eq\f(195，300）＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15,所以第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60。(2）因?yàn)閇40,45）歲年齡段的“低碳族"與[45，50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30＝2∶1,所以