【初中數(shù)學++】角平分線+課件++華師大版數(shù)學八年級上冊

第13章全等三角形

13.5逆命題與逆定理

華師大版-數(shù)學-八年級上冊3.角平分線

教學目標1．了解角平分線的性質及判定；【重點】2．能利用三角形全等證明角平分線的性質定理，理解和掌握角平分線性質定理和它的逆定理．能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題.【難點】情境導入如圖，用紙剪一個角，把紙片對折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，你看到了什么？探索新知如圖，OC是∠AOB的平分線，

P是

OC上任一點，作

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D和點E.將∠AOB沿

OC對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？如何表達，并簡述你的證明過程.對折后

PD、PE能夠完全重合，PD=PE.角是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？DPACBEO探索新知下面我們來證明剛才得到的結論.已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是

OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D和點E.

求證：PD=PE.證明：∵OC平分∠AOB，P是

OC上一點，∴

∠DOP=∠BOP.∵

PD⊥OA，PE⊥OB

，∴

∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE

中，∵

∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP，∴△OPD≌△OPE(A.A.S.).∴PD＝PE.DPACBEO探索新知角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且

PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.這一定理描述了角平分線的性質，那么反過來會有什么結果呢？寫出性質定理與逆命題的條件與結論，想想看，其逆命題是否是一個真命題？探索新知條件結論性質定理逆命題一個點在角的平分線上這個點到這個角兩邊的距離相等一個點到角兩邊的距離相等這個點在這個角的平分線上你一定發(fā)現(xiàn)到角兩邊距離相等的點的確在該角的平分線上.我們可以通過“證明”說明這一結論正確.掌握新知分析：為了證明點

P在∠AOB的平分線上，可以先作射線

OP，然后證明Rt△PDO≌Rt△PEO，從而得到∠AOP=∠BOP.已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是

D、E，PD=PE.求證：點

P在∠AOB的角平分線上.BADOPE掌握新知在Rt△PDO和Rt△PEO

中，

OP

=

OP（公共邊），PD=PE（已知），證明：作射線

OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴

∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(

H.L.).(全等三角形的對應角相等).∴∠AOP=∠BOPBADOPE∴

點

P在∠AOB的平分線上.掌握新知判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.幾何語言描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點

P在∠AOB的平分線上.性質和判定定理互為逆定理，根據(jù)上述兩條定理，我們就能證明：三角形的三條角平分線交于一點.掌握新知證明如下：如圖，設△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，過點P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別是E，F(xiàn)，D.ABCPMNDEF∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理，PE=PF.∴PD=PF.∴點P在∠BAC的平分線上(角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上).∴△ABC的三條角平分線相交于一點P.鞏固練習1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是

E，F(xiàn)，DE=

DF，∠FDB=66°，則∠EBF=

°，BE=

.EBDFACG48BF鞏固練習2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1，AB=4，則△ABD的面積是

．2鞏固練習3.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于

E，F(xiàn)在

AC上，BD=DF.求證：CF=EB.FAEDB證明：∵

AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴

CD＝DE.∵

在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=ED，DF=DB