人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)專題02解一元二次方程(知識(shí)串講+9大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題02解一元二次方程考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）解一元二次方程的方法（1）解法一：直接開平方法概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得的根是，最后通過解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解?！咀⒁狻竣偃鬾≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（若n＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若b=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）②若n<0，方程無解。（2）解法二：配方法概念：配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),用直接開平方法求解一般步驟:①移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；②二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；③配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為的形式；④求解：判斷右邊等式符號(hào)，開平方并求解（3）解法三：公式法（常用解法）概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為一般步驟：①把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算);②求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解;③如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：④最后求出x1，x2（4）解法三：因式分解法（仔細(xì)觀察方程，靈活應(yīng)用）概念：將方程右邊化為0,左邊化為兩個(gè)一次因式的積,令每個(gè)因式等于0,得到兩個(gè)一元一次方程,解這兩個(gè)一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，則a＝0或b＝0一般步驟：①將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；②將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④求解歸納：右化零，左分解，兩因式，各求解（二）根的判別式概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c為常數(shù))的根的判別式為Δ＝b2－4ac①b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根。④b2－4ac≥0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)數(shù)根。（三）根與系數(shù)的關(guān)系①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝.②使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，一是要先將一元二次方程化為一般形式；二是方程的解存在，即滿足b2－4ac≥0.考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：解一元二次方程——直接開平方典例1：（2023春·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是4m?3與2m?3【變式1】（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）方程(x?2)2【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若x2+y【變式3】（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義一種運(yùn)算“⊕”，其規(guī)則為a⊕b=a2?考點(diǎn)2：解一元二次方程——配方法典例2：（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）將一元二次方程x2?8x?5=0化成(x+a)2=b（a，b為常數(shù)）的形式，則【變式1】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）方程?x【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程x2+10x?7=0，方程可變形為x+m2=n，則【變式3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程：x2+12x-15=0解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得①__________________，兩邊同時(shí)加上62（一次項(xiàng)系數(shù)12一半的平方），得②________________，即③_____________．兩邊開平方，得④_______________，即⑤_________________．所以⑥_________________．考點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用典例3：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足b=a+1，則代數(shù)式a2【變式1】（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)四川省射洪市柳樹中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知M=5x2+6，N=4x2+4x，則M_______【變式2】（2023春·四川南充·八年級(jí)四川省南充市高坪中學(xué)?？计谥校┮阎篴、b、c是ΔABC的三邊，且a2-2【變式3】（2022秋·全國·九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程2x2?5x?3=0，可以寫成（x＋h）2＝k考點(diǎn)4：利用△判斷根的情況典例4：（2023秋·上海普陀·八年級(jí)校聯(lián)考期末）不解方程，判別方程3x【變式1】（2022秋·遼寧丹東·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若a，b，c是△ABC的三邊，則關(guān)于x的方程a+bx【變式2】（2022秋·廣東東莞·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“☆”如下：a☆b=ab【變式3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）方程2x考點(diǎn)5：根據(jù)的根的情況求字母的值或取值范圍典例5：（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程k?1x2?2kx+k=6【變式1】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程a?2x2?4x?1=0【變式2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)【變式3】（2023春·北京石景山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2?2m+1考點(diǎn)6：解一元二次方程——公式法典例6：（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解一元二次方程，得：x=?5±【變式1】（2023秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個(gè)根為?2+【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知y1=2x2+7x?1,【變式3】（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明同學(xué)解方程x2∵a=1，b=?5∴b2∴x=5±∴x1=5+小明是從第______步開始出錯(cuò)．考點(diǎn)7：解一元二次方程——因式分解法典例7：（2023春·浙江溫州·八年級(jí)瑞安市飛云中學(xué)校考期中）方程x2【變式1】（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2【變式2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）一元二次方程x2【變式3】（2023春·山東德州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若x2+y考點(diǎn)8：解一元二次方程——用適當(dāng)?shù)姆椒ǖ淅?：（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)校聯(lián)考期中）用適當(dāng)方法解下列方程(1)x2(2)3xx?2【變式1】（2022秋·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程：(1)2(2)2【變式2】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┙庀铝蟹匠蹋?1)x(2)x?1【變式3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)3(2)4(3)x(4)2考點(diǎn)9：根與系數(shù)的關(guān)系典例9：（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若a和b是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，且a2+b【變式1】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為x1、x2，且x1【變式2】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程x2?2k?2x+k(1)求k的取值范圍；(2)若x1+x【變式3】（2022秋·四川眉山·九年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍．(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式4】（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．【變式5】（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．同步過關(guān)一、單選題1．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程（k＋1）x2＋2x＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（

）A．k＞－1 B．k＜－1 C．k≠－1 D．k＜0且k≠－12．（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程x2?4x=1，變形后結(jié)果正確的是（A．x+22=5 B．x+22=2 C．3．（2023秋·湖南長沙·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+2=0兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，則A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣14．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)?？计谥校┮阎猰、n是關(guān)于x的方程x2?2x?2021=0的根，則代數(shù)式m2A．2022 B．2023 C．4039 D．40405．（2023秋·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）方程2x2?3x+2=0A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根6．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程kx2?2k+1x+k=0A．k>?14 B．k≥?14 C．k≥?14且7．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根分別是3和－5，則x2＋px＋q可分解為(

)A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)8．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情況是（

）．A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根9．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）方程ax2?2A．兩個(gè)相等的有理根； B．兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C．兩個(gè)不等的有理根； D．兩個(gè)不等的無理根．10．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解方程x2A．(x?2)2=?7 B．(x＋2)2=111．（2013·廣東廣州·中考真題）若5k+20<0，則關(guān)于x的一元二次方程x2A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判斷12．（2023·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知方程x2﹣x﹣1＝0的兩根為a、b，則代數(shù)式a2﹣2a﹣b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．213．（廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知a、b、c分別為Rt△ABC（∠C=90°）的三邊的長，則關(guān)于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）=0根的情況是（

）A．方程無實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判斷14．（2023秋·全國·九年級(jí)階段練習(xí)）下列方程中配方中有錯(cuò)誤的是（）A．x2?4x?1=0B．x2+6x+8=0C．2x2D．3x215．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）2x(x?3)?5(x?3)因式分解結(jié)果為（）A．2B．(x?5)(2x?3)C．(2x+5)(x?3)D．(2x?5)(x?3)?二、填空題16．（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）方程2x2﹣2x＝0的根為______．17．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）x2-43x+_____=()2；（2）x2+px+_____=()218．（2012·山東棗莊·中考真題）已知關(guān)于x的方程x219．（2022秋·四川綿陽·九年級(jí)校考階段練習(xí)）方程x2－8x－4=0化為(x+m)2=n的形式是_____．20．（2023秋·四川巴中·九年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的方程3x2?2x+m=021．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）方程（x?2）2=9的解是_________.22．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別是x123．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長是_____．24．（2023秋·八年級(jí)單元測試）設(shè)等腰三角形的三條邊長分別為a、b、c，已知a=4，b、c是關(guān)于x的方程x2?6x+m=0的兩個(gè)根，則25．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）x2+20x?96因式分解結(jié)果為________，方程三、解答題26．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解方程：x2＋2x－399=0.(配方法)27．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x（x+1）＝x+1．28．（2023·北京·一模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1（2023秋·山東濰坊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：（1）?4x2+4x?1=0（配方法）

（3）25(x?7)2=16(x+4)30．（2023秋·重慶黔江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范圍；(2)如果x1，x2是方程的兩個(gè)解，令w=x31．（2022秋·重慶綦江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且BC＝8，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求m的值．32．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值．解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，∴y＝4，x＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：已知a、b滿足a2＋b2－4a－6b＋13＝0．求a、b的值.33．（2022·北京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范圍；（2）如果m是非負(fù)整數(shù)，且該方程的根是整數(shù)，求m的值．34．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十二中學(xué)校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+m?1=0有x1(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，滿足mx1?235．（2023春·湖北黃石·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根為x1，x材料2：已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且解：由題知m，n是方程x2?x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1得m+n=1，mn=?1根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x?1=0的兩個(gè)根為x1，x2(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)m，n滿足7m2?7m?1=0，7n2(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t分別滿足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0

專題02解一元二次方程考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）解一元二次方程的方法（1）解法一：直接開平方法概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得的根是，最后通過解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解?！咀⒁狻竣偃鬾≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（若n＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若b=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）②若n<0，方程無解。（2）解法二：配方法概念：配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),用直接開平方法求解一般步驟:①移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；②二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；③配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為的形式；④求解：判斷右邊等式符號(hào)，開平方并求解（3）解法三：公式法（常用解法）概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為一般步驟：①把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算);②求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解;③如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：④最后求出x1，x2（4）解法三：因式分解法（仔細(xì)觀察方程，靈活應(yīng)用）概念：將方程右邊化為0,左邊化為兩個(gè)一次因式的積,令每個(gè)因式等于0,得到兩個(gè)一元一次方程,解這兩個(gè)一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，則a＝0或b＝0一般步驟：①將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；②將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④求解歸納：右化零，左分解，兩因式，各求解（二）根的判別式概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c為常數(shù))的根的判別式為Δ＝b2－4ac①b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根。④b2－4ac≥0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)數(shù)根。（三）根與系數(shù)的關(guān)系①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝.②使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，一是要先將一元二次方程化為一般形式；二是方程的解存在，即滿足b2－4ac≥0.考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：解一元二次方程——直接開平方典例1：（2023春·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是4m?3與2m?3【答案】1【分析】根據(jù)題意，可得兩根互為相反數(shù)，進(jìn)而得到4m?3+2m?3=0，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵ax∴x=±b∴方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，∴4m?3+2m?3=0，∴m=1；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開方法解一元二次方程，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）方程(x?2)2【答案】x1=6【分析】利用直接開平方法可得方程的解．【詳解】解：原方程兩邊直接開平方可得：x?2=6或者x?2=?∴x1=6故答案為：x1=6【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，根據(jù)方程特點(diǎn)可以利用直接開平方法求解．【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若x2+y【答案】3或7/7或3【分析】根據(jù)x2+y2?5【詳解】解：∵x2∴x2∴x2+y∴x2+y故答案為：3或7．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵把x2+y【變式3】（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義一種運(yùn)算“⊕”，其規(guī)則為a⊕b=a2?【答案】x1=2【分析】先根據(jù)新定義得到x2?3【詳解】解：∵x⊕3=0，∴x2∴x2所以x1=2，故答案為：x1=2，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成nx+m2考點(diǎn)2：解一元二次方程——配方法典例2：（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）將一元二次方程x2?8x?5=0化成(x+a)2=b（a，b為常數(shù)）的形式，則【答案】?84【分析】方程利用配方法整理后判斷即可求出a與b的值．【詳解】解：方程x2變形得：x2配方得：x2?8x+16=21，即則a=?4，故ab=?4×21=?84，故答案為：?84．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）方程?x【答案】x=2±【分析】利用配方法解方程即可．【詳解】解：?xxx?2x?2=±x=2±3故答案為：x=2±3【點(diǎn)睛】此題考查了利用配方法解一元二次方程，正確掌握配方的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程x2+10x?7=0，方程可變形為x+m2=n，則【答案】534【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：x2∴x2∴x2即x+52∴m=5，n=34．故答案為：5，34【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程：x2+12x-15=0解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得①__________________，兩邊同時(shí)加上62（一次項(xiàng)系數(shù)12一半的平方），得②________________，即③_____________．兩邊開平方，得④_______________，即⑤_________________．所以⑥_________________．【答案】x2+12x=15x2+12x+62=15+36（x+6）2=51x+6=±51x+6=51，或x+6=-51x1=51?6；x2=【解析】略考點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用典例3：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足b=a+1，則代數(shù)式a2【答案】3【分析】將b=a+1代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：∵b=a+1∴a2+2b?6a+5==a?2∵a?22∴a?22故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)四川省射洪市柳樹中學(xué)校考階段練習(xí)）已知M=5x2+6，N=4x2+4x，則M_______【答案】>【分析】計(jì)算M?N，然后將結(jié)果配方，即可求解．【詳解】解：∵M(jìn)=5x∴M?N=5x∴M>N,故答案為：>．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·四川南充·八年級(jí)四川省南充市高坪中學(xué)?？计谥校┮阎篴、b、c是ΔABC的三邊，且a2-2【答案】直角三角形【分析】等式配方成a2-2a+b-2b【詳解】解：∵a2∴a2∴(a∴a-1=0，b-1-1=0∴a=1，b=2，∵12∴ΔABC故答案為：直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2【變式3】（2022秋·全國·九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程2x2?5x?3=0，可以寫成（x＋h）2＝k【答案】(x?【分析】根據(jù)配方法的一般步驟進(jìn)行配方即可．【詳解】解：原方程可以化為：x2移項(xiàng)，得x2等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2配方，得(x?5故答案是：(x?5【點(diǎn)睛】本題考查配方法解一元二次方程，一般步驟為：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，掌握配方法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：利用△判斷根的情況典例4：（2023秋·上海普陀·八年級(jí)校聯(lián)考期末）不解方程，判別方程3x【答案】方程無實(shí)數(shù)根【分析】先化為一般式，再根據(jù)根的判別式解答即可．【詳解】解：∵3x∴3x∴a=3,b=4,c=2，∴b2∴方程無實(shí)數(shù)根．故答案為：方程無實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式Δ=b2?4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)【變式1】（2022秋·遼寧丹東·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若a，b，c是△ABC的三邊，則關(guān)于x的方程a+bx【答案】沒有實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a+b>c，即a+b2由a+bx2?2cx+a+b=0∴關(guān)于x的方程a+bx故答案為沒有實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·廣東東莞·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“☆”如下：a☆b=ab【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)運(yùn)算“☆”的定義將方程1☆x【詳解】解：∵1☆x∴1×x∴x2∴Δ=-1∴方程1☆x故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a【變式3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）方程2x【答案】有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【分析】先把一元二次方程化為一般式，確定a=2，b=?26【詳解】解：把方程2x2+3=2∵a=2，∴Δ方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的一般式，實(shí)數(shù)混合計(jì)算，掌握一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的一般式，實(shí)數(shù)混合計(jì)算，當(dāng)判別式△＞0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，△＜0，方程沒有實(shí)根是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)5：根據(jù)的根的情況求字母的值或取值范圍典例5：（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程k?1x2?2kx+k=6【答案】k≥0且k≠1【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程k?1x∴Δ解得：k≥0，∵k?1≠0，∴k≠1，∴k的取值范圍為k≥0且k≠1，故答案為：k≥0且k≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，列出關(guān)于k【變式1】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程a?2x2?4x?1=0【答案】a<?2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a?2≠0且Δ<0【詳解】解：根據(jù)題意得a?2≠0且Δ=解得：a<?2．故答案為：a<?2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2?4ac【變式2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)【答案】±2【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式等于0，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【詳解】∵方程x2∴△=b解得：m=±23故答案為：±2【點(diǎn)睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0當(dāng)Δ=當(dāng)Δ=當(dāng)Δ=【變式3】（2023春·北京石景山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2?2m+1【答案】m≥?【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式，得出關(guān)于m的不等式，解出即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ=解得：m≥?1∴m的取值范圍是m≥?1故答案為：m≥?1【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的判別式、解不等式，熟練掌握一元二次方程的根與判別式之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：解一元二次方程——公式法典例6：（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解一元二次方程，得：x=?5±【答案】3【分析】根據(jù)求根公式x=?b±【詳解】解：根據(jù)題意得：a=3，b=5，c=1，則該一元二次方程是3x故答案為：3x【點(diǎn)睛】本題考查的是利用公式法額一元二次方程方程，掌握求根公式：x=?b±【變式1】（2023秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個(gè)根為?2+【答案】?5【分析】由題意知，a＝1，b＝2，c＝﹣4，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：由題意知，a＝1，b＝2，c＝﹣4，∴4ac?=故答案為：?5．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的求根公式的理解，掌握“求根公式：x=?b±【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知y1=2x2+7x?1,【答案】1或?【分析】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】解：當(dāng)y12x解得x=1或x=?3故答案為：1或?【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3】（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明同學(xué)解方程x2∵a=1，b=?5∴b2∴x=5±∴x1=5+小明是從第______步開始出錯(cuò)．【答案】一【分析】根據(jù)一元二次方程的解法步驟即可解答．【詳解】解：原方程化為：x2∴a=1，故答案為：一．【點(diǎn)睛】本題主要考查用公式法解一元二次方程，將一元二次方程化成一般式是運(yùn)用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：解一元二次方程——因式分解法典例7：（2023春·浙江溫州·八年級(jí)瑞安市飛云中學(xué)?？计谥校┓匠蘹2【答案】x1=0【分析】利用因式分解法解答即可．【詳解】解：x2∴xx?6∴x=0或x?6=0，解得：x1=0，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因數(shù)分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2【答案】14【分析】先利用因式分解法求出方程的兩根，再結(jié)合構(gòu)成三角形的條件求出第三邊的長即可得到答案．【詳解】解：∵x2∴x?2x?6∴x?2=0或x?6=0，解得x=2或x=6，當(dāng)x=6時(shí)，三角形三邊長為3，5，6，能構(gòu)成三角形，則三角形周長為3+5+6=14；當(dāng)x=2時(shí)，三角形三邊長為3，5，2，不能構(gòu)成三角形；綜上所述，該三角形的周長為14，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方，構(gòu)成三角形的條件，正確求出方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）一元二次方程x2【答案】x【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴xx?2023∴x=0或x?2023=0，解得x1故答案為：x1【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·山東德州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若x2+y【答案】8【分析】將x2+y2看作一個(gè)整體，令x2+y【詳解】解：令x2∵x2∴mm?3解得：m1=8，∴x2故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知式子的值，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將x2+y考點(diǎn)8：解一元二次方程——用適當(dāng)?shù)姆椒ǖ淅?：（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)校聯(lián)考期中）用適當(dāng)方法解下列方程(1)x2(2)3xx?2【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：x2∵a=1,b=4,c=?3，Δ=∴x=?b±∴x1（2）解：3xx?2∴3x?1x?2即3x?1=0或x?2=0，解得：x1【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程：(1)2(2)2【答案】(1)x1=(2)y1=?2【分析】（1）整理后，利用公式法求解即可；（2）整理后，利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：2x整理得：2xa=2，∵Δ=?92?4×2×8∴x=9±∴x1=9+（2）解：2y整理得2yy+2∴y+22y?1∴y+2=0或2y?1=0，解得y1=?2，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．【變式2】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)校考期中）解下列方程：(1)x(2)x?1【答案】(1)x1=2+(2)x1=1【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：x2x2x2x?22x?2=±6∴x1=2+6（2）x?12x?12x?12x?1x?1+3x?1x+2∴x?1=0或x+2=0，∴x1=1，【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，熟練掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)3(2)4(3)x(4)2【答案】(1)x1=(2)x1=(3)x1=?2(4)x1=1【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；（2）根據(jù)因式分解法求解即可；（3）根據(jù)因式分解法求解即可；（4）根據(jù)因式分解法求解即可；【詳解】（1）解：3x3x∴a=3，∴Δ=∴x=?b±∴x1=2+（2）解：4x?34x?35x?12x?3∴5x?12=0或x?3=0，∴x1=12（3）解：xx?3xx?3xx?3x+2x?3∴x+2=0或x?3=0，∴x1=?2，（4）解：2x2x?1x?3∴2x?1=0或x?3=0∴x1=1【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)9：根與系數(shù)的關(guān)系典例9：（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若a和b是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，且a2+b【答案】(1)見詳解(2)m=1或m=?3【分析】（1）利用一元二次方程的根的判別式證明即可；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=m+2，ab=m?1，再根據(jù)完全平方公式變形得到關(guān)于m的一元二次方程，最后求解即可．【詳解】（1）證明：對(duì)于關(guān)于x的一元二次方程x2可知Δ=∵m2∴m2∴無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：若a和b是該一元二次方程的兩個(gè)根，則有a+b=m+2，ab=m?1，又∵a2∴a2即m2解得m=1或m=?3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為x1、x2，且x1【答案】(1)見解析(2)m=5或m=?2【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其正負(fù)即可作出判斷；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之積與兩根之和，已知等式變形代入計(jì)算即可求出m的值．【詳解】（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程x2∵m?1∴Δ=m=m=m?1則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x∵x∴x1+整理得：m2?3m?10=0，即∴m?5=0或m+2=0，解得：m=5或m=?2．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程x2?2k?2x+k(1)求k的取值范圍；(2)若x1+x【答案】(1)k<1(2)k的值為?1?【分析】（1）由要保證一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就必須使其根的判別式Δ>0恒成立，即得出關(guān)于k的不等式，解出k（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于k的一元二次方程，再解這個(gè)方程即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程為x2∴a=1，b=?2k?2，c=∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=解得：k<1；（2）解：∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x∴x1+x∵x1∴2k?2整理，得：k2解得：k1=?1?6∴k的值為?1?6【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次方程根的情況求參數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2?4ac，且當(dāng)Δ>0時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)【變式3】（2022秋·四川眉山·九年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍．(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)k<1且(2)不存在，見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求解；（2）用含k的式子表示出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0，計(jì)算出k的值，再結(jié)合題意進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）∵一元二次方程kx∴Δ=解得k<1且k≠0（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使方程兩實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為0設(shè)方程kx2+(k?2)x+x∴1即k?2=0，且k≠0解得k=2又∵k<1∴不存在實(shí)數(shù)k，使方程兩實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為0【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和，兩根之積是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)1<m<2【分析】（1）表示出Δ，根據(jù)Δ的數(shù)值判斷即可；（2）利用公式求出兩根，根據(jù)兩根及其條件列出不等式，并解不等式即可．【詳解】（1）解：依題意，得∵Δ∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：方程x由（1）得Δ∴x=?(?2m)±42×1=m±1，∴∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1>m?1∴m+1>2∴1<m<2．∴m的取值范圍是1<m<2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：根的判別式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式5】（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．【答案】(1)見解析(2)m=1【分析】（1）證明Δ≥0（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出答案即可．【詳解】（1）解：證明：∵Δ==(m?4)∵(m?4)∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解方程x2可得(x?2)(x?m+2)=0，解得x1=2，若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，則m?2<0，故m<2，∴正整數(shù)m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，用到的知識(shí)點(diǎn)：（1）Δ>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）同步過關(guān)一、單選題1．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程（k＋1）x2＋2x＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（

）A．k＞－1 B．k＜－1 C．k≠－1 D．k＜0且k≠－1【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k+1≠0且△=22-4（k+1）?0＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得k+1≠0且△=22-4（k+1）?0＞0，解得k≠-1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式及一元二次方程的定義，熟練掌握根的判別式是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程x2?4x=1，變形后結(jié)果正確的是（A．x+22=5 B．x+22=2 C．【答案】C【分析】根據(jù)配方法可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由方程x2?4x=1兩邊同時(shí)加上4可得故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖南長沙·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+2=0兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，則A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+2=0兩實(shí)數(shù)根為x1∴x1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1、x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，4．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)?？计谥校┮阎猰、n是關(guān)于x的方程x2?2x?2021=0的根，則代數(shù)式m2A．2022 B．2023 C．4039 D．4040【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出m2?2m=2021，【詳解】解：∵m、n是關(guān)于x的方程x2∴m2?2m=2021，m==2021?2×2+2023=4040，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）方程2x2?3x+2=0A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△＝?7＜0，進(jìn)而可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根．【詳解】2a＝2，b＝-3，c＝2，∵△＝b2?4ac＝9?4×2×2＝?7＜0，∴關(guān)于x的一元二次方程2x故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程kx2?2k+1x+k=0A．k>?14 B．k≥?14 C．k≥?14且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵方程kx∴Δ=?2k+1解得：k≥?14且故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，當(dāng)Δ=7．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根分別是3和－5，則x2＋px＋q可分解為(

)A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)【答案】C【詳解】由題意知，因式分解法求方程的根可得x2＋px＋q=(x－3)(x＋5)

，選C.8．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情況是（

）．A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0中Δ=∴方程2x2－3x＋1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）方程ax2?2A．兩個(gè)相等的有理根； B．兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C．兩個(gè)不等的有理根； D．兩個(gè)不等的無理根．【答案】B【分析】根據(jù)方程根的判別式的值等于0，得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【詳解】解:∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式b2-4ac=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的判別式的值大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；小于0，方程沒有實(shí)數(shù)根．10．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解方程x2A．(x?2)2=?7 B．(x＋2)2=1【答案】D【分析】方程移項(xiàng)后，配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2∴(x?2)2故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．11．（2013·廣東廣州·中考真題）若5k+20<0，則關(guān)于x的一元二次方程x2A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【答案】A【分析】先求出k的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可解答．【詳解】解：5k+20<0得k<?4∴方程x2+4x∴方程x2故選A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式、一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．12．（2023·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知方程x2﹣x﹣1＝0的兩根為a、b，則代數(shù)式a2﹣2a﹣b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，則a2﹣2a﹣b變形a2﹣a﹣a﹣b＝1﹣（a+b），再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝1，然后利用整體思想計(jì)算．【詳解】∵a為方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，∴a2﹣2a﹣b＝a2﹣a﹣a﹣b＝1﹣（a+b），∵x2﹣x﹣1＝0的兩根為a、b，∴a+b＝1，∴a2﹣2a﹣b＝1﹣（a+b）＝1﹣1＝0．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)，計(jì)算過程中可以選用整體代入的方法求代數(shù)式的值.13．（廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知a、b、c分別為Rt△ABC（∠C=90°）的三邊的長，則關(guān)于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）=0根的情況是（

）A．方程無實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)勾股定理可得a2+b2=c2，△=(2b)2－4（c+a）（c－a）=4考點(diǎn)：（1）、根的判別式；（2）、勾股定理14．（2023秋·全國·九年級(jí)階段練習(xí)）下列方程中配方中有錯(cuò)誤的是（）A．x2?4x?1=0B．x2+6x+8=0C．2x2D．3x2【答案】C【分析】把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，配方即可．【詳解】A、x2-4x-1=0化為（x-2）2=5，故正確；B、x2+6x+8=0化為（x+3）2=1，故正確；C、2x2?7x?6=0D、3x2?4x?2=0故選C【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．15．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）2x(x?3)?5(x?3)因式分解結(jié)果為（）A．2B．(x?5)(2x?3)C．(2x+5)(x?3)D．(2x?5)(x?3)?【答案】D【詳解】根據(jù)因式分解的方法，可提公因式（x-3）為：（x-3）（2x-5）.故選D.點(diǎn)睛：此題主要考查了因式分解，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式積的形式.根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式a2?b二、填空題16．（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）方程2x2﹣2x＝0的根為______．【答案】x1＝0，x2＝1/x1＝1，x2＝0【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：2x（x﹣1）＝0，2x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故答案為x1＝0，x2＝1．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解題關(guān)鍵．17．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）x2-43x+_____=()2；（2）x2+px+_____=()2【答案】49x?23p【分析】（1）二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即(2（1）二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即(p【詳解】（1）x2-43x+(23（2）x2+px+(p2)故答案為

(1).49；x?23(2).p【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法.解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的特征.選擇配方法時(shí)，若二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．18．（2012·山東棗莊·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2【答案】－3【分析】設(shè)方程的另一根為a，由一個(gè)根為2，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即為方程的另一根．【詳解】∵方程x2設(shè)另一個(gè)根為a，∴2a=－6，解得：a=－3．故答案為：－3【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)方程有解，此時(shí)設(shè)方程的解為x1，x2，則有x1+x2=?ba，x1x219．（2022秋·四川綿陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）方程x2－8x－4=0化為(x+m)2=n的形式是_____．【答案】x?4【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊為：x2?8x=4，再配方得【詳解】解：x2∴x2∴x?42故答案為：x?42【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程的配方法的適用，涉及了完全平方公式的運(yùn)用．20．（2023秋·四川巴中·九年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的方程3x2?2x+m=0【答案】53【分析】先把x=?1代入方程3x2?2x+m=?0得到關(guān)于m【詳解】把x=?1代入方程3x得3+2+m=0，解得m=?5，設(shè)方程的另一個(gè)根為t，則?1·t=m3，解得【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．21．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）方程（x?2）2=9的解是_________.【答案】x【詳解】開方得x?2=±3即：當(dāng)x?2=3時(shí),x1=5；當(dāng)x?2=?3時(shí),x2=故答案為5或?1.22．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別是x1【答案】1【分析】對(duì)比求根公式即可得出結(jié)論．【詳解】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的求根公式是：x=?b±b2故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了求根公式．熟記求根公式是解答本題的關(guān)鍵．23．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長是_____．【答案】7【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分類討論：當(dāng)三角形的腰為3，底為1時(shí)，易得三角形的周長；當(dāng)三角形的腰為1，底為3時(shí)不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去．【詳解】x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．①當(dāng)三角形的腰為3，底為1時(shí)，三角形的周長為3+3+1=7；②當(dāng)三角形的腰為1，底為3時(shí)不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去．所以三角形的周長為7．故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值都為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了三角形三邊的關(guān)系．24．（2023秋·八年級(jí)單元測試）設(shè)等腰三角形的三條邊長分別為a、b、c，已知a=4，b、c是關(guān)于x的方程x2?6x+m=0的兩個(gè)根，則【答案】8或9【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得b+c=6，bc=m，分a=4為腰長和底邊長兩種情況，分別求出相應(yīng)的m的值，繼而利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證后即可得答案.【詳解】∵b、c是關(guān)于x的方程x2∴b+c=6，bc=m，當(dāng)a=4為腰長時(shí)，b=4、c=2（或b=2，c=4），此時(shí)m=8，∵4，4，2可組成三角形，∴m=8符合題意；當(dāng)a=4為底邊長時(shí)，∵b+c=6，b=c，∴b=c=3，∴m=9，∵3，3，4可組成三角形，∴m=9符合題意，故答案為：8或9.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.25．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）x2+20x?96因式分解結(jié)果為________，方程【答案】（x+24）(x-4)x1=-24

，x2=4【詳解】運(yùn)用十字相乘法對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，x2+20x-96=（x+24）（x-4）．然后把x2+20x-96=0方程因式分解為（x+24）（x-4）=0然后根據(jù)ab=0式的方程的解法，可得x+24=0或x-4=0，解得x1=-24，x2=4．故答案為：（x+24）（x-4）；-24，4．點(diǎn)睛：本題考查的是二次三項(xiàng)式的因式分解和因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解并求出方程的兩個(gè)根．三、解答題26．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解方程：x2＋2x－399=0.(配方法)【答案】x1=－21，x2=19【詳解】試題分析：先移項(xiàng)，然后配方解出x即可.試題解析：x2＋2x－399=0,移項(xiàng)，得x2＋2x=399，配方，得x2＋2x+12=399+12，即（x+1）2=400，解得，x+1=±20，即x1=－21，x2=19.點(diǎn)睛：配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）解出未知數(shù).27．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x（x+1）＝x+1．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）x1【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1）∵x2﹣4x∴x2﹣4x即(x?2)2則x﹣2＝±3，∴x1＝5，x（2）∵2x（x＋1）﹣（x＋1）＝0，∴（x＋1）（2x﹣1）＝0，則x＋1＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝－1，x【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根據(jù)方程的特點(diǎn)，靈活選擇解題方法是解題的關(guān)鍵．28．（2023·北京·一模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ＞0，由此可證出此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x【詳解】（1）根據(jù)題意可知：Δ=∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有題意得：x∴x1+【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的表達(dá)式，并會(huì)熟練計(jì)算．29．（2023秋·山東濰坊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：（1）?4x2+4x?1=0（配方法）（3）25(x?7)2=16(x+4)【答案】（1）x1=x2=12；（2）x1=?5【分析】(1)只能用配方法，系數(shù)化1，加減一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，直接開平方即可，(2)利用公式法，先計(jì)算判別式的值，代入公式即可，(3)利用直接開平方法，注意平方根的意義即可，(4)因式分解法，把方程用十字相乘法分解即可．【詳解】（1）?4x2+4x?1=0（配方法），x2-x+14(x-12)2x1=x2=12（2）2x2+25x+1=0，△=b2-4ac=20-8=12，x=?b±bx1=?5+32，x（3）25(x?7)2=16(x+4)2，5(x-7)=±4(x+4)，

5x-35=4x+16，x=51，5x-35=-4x-16，9x=19，x=199

x1=51，x2=199（4）(3x?2)2+5(2?3x)+4=0，(3x?2)2-5(3x?2)+4=0，(3x-2-4)(3x-2-1)=0，3x-6=0，x=2，3x-3=0，x=1，x1=2，x2=1．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解法，掌握解方程的方法，同時(shí)注意指定方法解決問題不可改變方法，按要求做是解題的關(guān)鍵．30．（2023秋·重慶黔江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一