人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專(zhuān)題24.9切線長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專(zhuān)題24.9切線長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓【名師點(diǎn)睛】1.切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．【典例剖析】【例1】（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長(zhǎng)為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長(zhǎng)；（2）∠COD的度數(shù)．【例2】（2021秋?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，過(guò)D作直線DG∥BC．（1）若∠ACB＝80°，則∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求證：DE＝CD；（3）求證：DG是⊙O的切線．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2019秋?江都區(qū)期中）如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長(zhǎng)度為（）A．8 B．9 C．10 D．112．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．203．（2021秋?莆田期末）如圖，AB、AC、BD分別切⊙O于點(diǎn)P、C、D．若AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021秋?高陽(yáng)縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化6．（2021秋?上思縣期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝5，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．107．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，P為圓O外一點(diǎn)，PA，PB分別切圓O于A，B兩點(diǎn)，若PA＝5，則PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2020秋?文昌期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．44 B．42 C．46 D．479．（2022?平泉市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC邊上（不與B，C重合），點(diǎn)O為△ADC的內(nèi)心，則∠AOC不可能是（）A．150° B．120° C．110° D．100°10．（2022?館陶縣一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），若點(diǎn)O是△BEC的內(nèi)心，則∠COE（）A．大小為定值，等于112.5° B．大小不確定，可以等于90° C．大小為定值，等于127.5° D．大小不確定，隨著點(diǎn)E的變化而變化二．填空題（共8小題）11．（2022?新民市一模）已知一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是6，那么這個(gè)等邊三角形內(nèi)切圓半徑是．12．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若∠BDE+∠CFE＝110°，則∠A的度數(shù)是°．13．（2022?蚌埠二模）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)，△ABM的內(nèi)切圓與AB，BM分別相切于點(diǎn)D，E，連接DE．若DE∥AM，則∠C的大小為．14．（2022?福建模擬）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，I是△BCD的內(nèi)心，點(diǎn)O與點(diǎn)I關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，則∠A的度數(shù)是．15．（2022?平?jīng)龆＃┤鐖D，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝9，CD＝15，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．16．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長(zhǎng)為8cm，那么△PDE的周長(zhǎng)為．17．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，則∠COD的度數(shù)是．18．（2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接AO、BO、CO、DO，記△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系為．三．解答題（共4小題）19．（2021秋?無(wú)為市校級(jí)月考）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)．C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點(diǎn)，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長(zhǎng)．20．（2022春?昌江區(qū)校級(jí)期末）如圖，三所學(xué)校分別記作A，B，C，AB＜AC＜BC，體育場(chǎng)記作O，它是△ABC的內(nèi)心，O，A，B，C每?jī)傻刂g有道路相連，一直長(zhǎng)跑隊(duì)伍從體育場(chǎng)O出發(fā)，跑遍各校再回到O點(diǎn)，指出哪條線路跑的距離最短，并說(shuō)明理由．21．（2022?巢湖市二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，連接DB、DC．（1）求證：DB＝DC＝DI；（2）若⊙O的半徑為10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面積．22．（2021秋?昆明期末）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，AO的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連結(jié)CD．求證：OD＝CD．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專(zhuān)題24.9切線長(zhǎng)定理與內(nèi)切圓【名師點(diǎn)睛】1.切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．【典例剖析】【例1】（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長(zhǎng)為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長(zhǎng)；（2）∠COD的度數(shù)．【分析】（1）可通過(guò)切線長(zhǎng)定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形PCD的周長(zhǎng)等于PA+PB的結(jié)論，即可求出PA的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠ACD和∠BDC的度數(shù)和，然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得出∠DCO和∠ODE的度數(shù)和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠COD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圓O的切線，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周長(zhǎng)＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的長(zhǎng)為6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圓O的切線，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．【例2】（2021秋?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，過(guò)D作直線DG∥BC．（1）若∠ACB＝80°，則∠ADB＝80°；∠AEB＝130°．（2）求證：DE＝CD；（3）求證：DG是⊙O的切線．【分析】（1）由圓周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得∠AEB＝130°；（2）由三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性質(zhì)可得∠BED＝∠DBE，可證DE＝CD；（3）由垂徑定理可得OD⊥BC，由平行線的性質(zhì)可得OD⊥DG，可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，連接OD，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB＝80°，∴∠ABC+∠BAC＝100°，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，∴∠BAE+∠ABE＝50°，∴∠AEB＝130°，故答案為：80°，130°；（2）證明：∵∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，∴BD＝DE，∴DE＝CD；（3）證明：∵＝，∴OD⊥BC，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，又∵OD是半徑，∴DG是⊙O的切線．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2019秋?江都區(qū)期中）如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長(zhǎng)度為（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)對(duì)邊和相等進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)．【解答】解：∵⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，解得：AD＝11．故選：D．2．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由切線長(zhǎng)定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，則可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長(zhǎng)為16．故選：C．3．（2021秋?莆田期末）如圖，AB、AC、BD分別切⊙O于點(diǎn)P、C、D．若AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC＝AP，BP＝BD，求出BP的長(zhǎng)即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故選：C．4．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC＝AP，BP＝BD，求出BP的長(zhǎng)即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故選：B．5．（2021秋?高陽(yáng)縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．6．（2021秋?上思縣期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝5，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．10【分析】由切線長(zhǎng)定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，故可求得三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周長(zhǎng)＝10，故選：D．7．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，P為圓O外一點(diǎn)，PA，PB分別切圓O于A，B兩點(diǎn)，若PA＝5，則PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用切線長(zhǎng)定理求解．【解答】解：∵PA，PB均為⊙O切線，∴PB＝PA＝5，故選：D．8．（2020秋?文昌期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．44 B．42 C．46 D．47【分析】根據(jù)圓外切四邊形的對(duì)邊之和相等求出AD+BC，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝44，故選：A．9．（2022?平泉市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC邊上（不與B，C重合），點(diǎn)O為△ADC的內(nèi)心，則∠AOC不可能是（）A．150° B．120° C．110° D．100°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠BAC＝100°，由O為△ADC的內(nèi)心，可得∠OAC＝∠DAC，∠OCA＝∠ACB＝15°，所以∠AOC＝165°﹣∠DAC，由點(diǎn)D在線段BC上（不與B、C重合），可得0°＜∠DAC＜120°，進(jìn)而可得105°＜∠AOC＜165°．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵O為△ADC的內(nèi)心，∴∠OAC＝∠DAC，∠OCA＝∠ACB＝15°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝165°﹣∠DAC，∵點(diǎn)D在線段BC上（不與B、C重合），∴0°＜∠DAC＜120°，∴0°＜∠DAC＜60°，∴105°＜∠AOC＜165°，∴∠AOC不可能是100°．故選：D．10．（2022?館陶縣一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），若點(diǎn)O是△BEC的內(nèi)心，則∠COE（）A．大小為定值，等于112.5° B．大小不確定，可以等于90° C．大小為定值，等于127.5° D．大小不確定，隨著點(diǎn)E的變化而變化【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠DBC＝45°，然后根據(jù)點(diǎn)O是△BEC的內(nèi)心，∠OEC＝∠BEC，∠OCE＝∠BCE，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，∴∠DBC＝45°，∵點(diǎn)O是△BEC的內(nèi)心，∴∠OEC＝∠BEC，∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC+∠OCE＝（∠BEC+∠BCE）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COE＝180°﹣（∠OEC+∠OCE）＝180°﹣67.5°＝112.5°．故選：A．二．填空題（共8小題）11．（2022?新民市一模）已知一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是6，那么這個(gè)等邊三角形內(nèi)切圓半徑是．【分析】構(gòu)造內(nèi)切圓半徑，三角形邊的一半，圓心和頂點(diǎn)連線形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函數(shù)即可求解．【解答】解：如圖：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB，則AD＝3，因?yàn)椤螼AD＝30°，所以O(shè)D＝tan30°?AD＝．故答案為：．12．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若∠BDE+∠CFE＝110°，則∠A的度數(shù)是40°．【分析】連接OD，OE，OF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，∵∠BDE+∠CFE＝110°，∴∠ODE+∠OFE＝180°﹣110°＝70°，∵OD＝OE，OF＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，∴∠OED+∠OEF＝∠ODE+∠OFE＝70°，∴∠DEF＝70°，∴∠DOF＝2∠DEF＝140°，∴∠A＝360°﹣∠ADO﹣∠AFO﹣∠DOF＝40°，故答案為：40．13．（2022?蚌埠二模）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)，△ABM的內(nèi)切圓與AB，BM分別相切于點(diǎn)D，E，連接DE．若DE∥AM，則∠C的大小為30°．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM＝BM＝MC，然后證明△BDE是等邊三角形，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝MC，∴∠MAB＝∠MBA，∵DE∥AM，∴∠MAB＝∠EDB，∴∠MBA＝∠EDB，∴EB＝ED，∵△ABM的內(nèi)切圓與AB，BM分別相切于點(diǎn)D，E，∴BD＝BE，∴BD＝BE＝ED，∴△BDE是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠C＝30°故答案為：30°．14．（2022?福建模擬）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，I是△BCD的內(nèi)心，點(diǎn)O與點(diǎn)I關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，則∠A的度數(shù)是72°．【分析】連接OB，OD，IB，ID，證得四邊形BIDO是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形內(nèi)心的定義推出∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC，設(shè)∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC＝x，根據(jù)圓周角定理，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出x，即可求出∠A．【解答】解：連接OB，OD，IB，ID，∵點(diǎn)O與點(diǎn)I關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，∴BO＝BI，DO＝DI，∵BO＝DO，∴BO＝BI＝DO＝DI，∴四邊形BIDO是菱形，∴∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB，∵I是△BCD的內(nèi)心，∴∠IBD＝∠IBC，∠IDB＝∠IDC，∴∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC，設(shè)∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC＝x，∵∠C+4x＝180°，∠BOD+2x＝180°，∴∠C＝180°﹣4x，∠BOD＝180°﹣2x，∵∠A＝∠BOD＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，∠A+∠C＝180°，∴180°﹣4x+90°﹣x＝180°，解得x＝18°，∴∠A＝90°﹣18°＝72°，故答案為：72°．15．（2022?平?jīng)龆＃┤鐖D，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝9，CD＝15，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為48．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝24，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，故答案為：48．16．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長(zhǎng)為8cm，那么△PDE的周長(zhǎng)為16cm．【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長(zhǎng)定理將切線PA、PB的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△PDE的周長(zhǎng)．【解答】解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周長(zhǎng)為16cm．故答案為16cm．17．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，則∠COD的度數(shù)是72°．【分析】直接利用切線的性質(zhì)定理結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠2+∠3＝∠DOC＝72°．【解答】解：如圖所示：連接圓心與各切點(diǎn)，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案為：72°．18．（2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接AO、BO、CO、DO，記△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系為S1+S3＝S2+S4．【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，設(shè)DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d）＝S2+S4．【解答】解：如圖設(shè)切點(diǎn)分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，設(shè)DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1＝r（a+b），S2＝r（b+c），S3＝r（c+d），S4＝r（a+d），∴S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d），S2+S4＝r（a+d）+r（b+c）＝r（a+b+c+d），∴S1+S3＝S2+S4．故答案為S1+S3＝S2+S4．三．解答題（共4小題）19．（2021秋?無(wú)為市校級(jí)月考）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)．C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點(diǎn)，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長(zhǎng)．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周長(zhǎng)＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．20．（2022春?昌江區(qū)校級(jí)期末）如圖，三所學(xué)校分別記作A，B，C，AB＜AC＜BC，體育場(chǎng)記作O，它是△ABC的內(nèi)心，O，A，B，C每?jī)傻刂g有道路相連，一直長(zhǎng)跑隊(duì)伍從體育場(chǎng)O出發(fā)，跑遍各校再回到O點(diǎn)，指出哪條線路跑的距離最短，并說(shuō)明理由．【分析】先判斷出所跑的路線有三條，得出此三種路線所跑的路程，再判斷出△OAB'≌△OAB，OB'＝OB，再比較三條路線中，最短的那條路線，即可得出結(jié)論．【解答】解：路線O→A→B→C→O的距離最短；理由：若不考慮順序，所跑的路線有三條：第一條路線為：O→A→B→C→O（或O→C→B→A→O），所走的路程為OA+AB