人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)02切線的證明與相關(guān)計(jì)算通關(guān)專練特訓(xùn)(原卷版+解析)

微專題02切線的證明與相關(guān)計(jì)算通關(guān)專練一、單選題1．（2022秋·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AD切⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在⊙O上．若∠A＝40°，則∠C為（）A．20° B．25° C．30° D．35°2．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠P=22°，則∠POA=（

）A．55° B．58° C．68° D．88°3．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A、B、C，連接AB、AC、OB、OC，切線BD交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，PA與⊙O相切于A點(diǎn)，∠P=20°，則∠POA=（

）A．20° B．35° C．70° D．140°6．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CE，CB于點(diǎn)P、Q，連接AC，關(guān)于下列結(jié)論：①∠BAD=∠ABCA．①③ B．② C．③ D．②③7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，過(guò)⊙O上一點(diǎn)A作⊙O的切線，交直徑BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)D，連接AB，若∠B＝25°，則∠D的度數(shù)為(

)A．25° B．40° C．45° D．50°8．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，與AB、AC相交于點(diǎn)M、N，且MN∥BC，那么下列說(shuō)法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④連接AO，則S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BCA．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④9．（2023·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，P是⊙O的直徑CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠P=30°，則當(dāng)∠ACP=（

）時(shí)，直線PA是⊙O的切線．A．20° B．30° C．15° D．25°10．（2022秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，PA，PB，CD分別與同一段圓弧AB相切于點(diǎn)A，B，E，若∠P＝60°，△PCD的周長(zhǎng)為43，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．83π B．43π C．23π 11．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，若∠A=26°，則∠D等于（

）A．26° B．48° C．38° D．52°12．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，BC為⊙O的直徑，P為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線PA，A為切點(diǎn)，PA=4，PB=2，則⊙O的半徑等于（

）A．3 B．4 C．6 D．813．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則∠OAD的大小為（）A．5° B．10° C．15° D．20°14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB是⊙O的弦，AO的延長(zhǎng)線交過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線于點(diǎn)C，如果∠CAB=30°，AB=23，則OC的長(zhǎng)度為（）A．23 B．2 C．43 D．415．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，PA、PB、CD分別切⊙O于點(diǎn)A、B、E，CD分別交PA、PB于點(diǎn)C、D．下列關(guān)系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互補(bǔ)；④△PCD的周長(zhǎng)是線段PB長(zhǎng)度的2倍.則其中說(shuō)法正確的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題16．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OP，AB，設(shè)OP與AB相交于點(diǎn)C，若∠APB=60°，OC=2cm，則PC=cm．17．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB與AD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、D，C是⊙O上一點(diǎn)，且∠C＝56°，則∠A的度數(shù)為．18．（2022秋·四川南充·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P，作射線PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P=50°，點(diǎn)C在劣弧AB上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線分別與PA，PB交于點(diǎn)D，E．則∠DOE=度．19．（2023·江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，PM切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，若BE∥AO,∠EAO=30°，若⊙O的半徑為1，則AP的長(zhǎng)為．20．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）已知O、I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，∠BIC＝125°，則∠BOC的大小是度．21．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知直線CD與圓O相切于點(diǎn)C，AB為直徑，若∠BCD=40°，則∠ABC的大小等于度．22．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，兩個(gè)同心圓，小圓半徑為2，大圓半徑為4，一直線與小圓相切，交大圓于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為．23．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AD．若∠B=35°，則∠DAC的度數(shù)是度．24．（2023·江蘇·校考中考模擬）△ABC中，∠A=40°，若點(diǎn)O是△ABC的外心，則∠BOC=°；若點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC=°．25．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F，若⊙O內(nèi)切于以F、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形，則⊙O的面積=三、解答題26．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AE、AD、BC分別切⊙O于點(diǎn)E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周長(zhǎng)．27．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）如圖，OA、OB是⊙O的半徑，OA⊥OB，C為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)D，E為AD與OC的交點(diǎn)，連結(jié)OD．已知CE=5，求線段CD的長(zhǎng)．28．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度數(shù)．29．（2023·湖南永州·校聯(lián)考三模）在RtΔABC中，∠ACB=90ο，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且交BC于點(diǎn)（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF=12，⊙O的半徑為10，求CE30．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圓弧中點(diǎn)，連接CE交AD于F．(1)求證：CD與⊙O相切．(2)AF=8，EF=210，求⊙O的半徑．31．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）證明：DE為⊙O的切線；（2）連接OE，若BC=4，求CE的長(zhǎng)．32．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=BC，CD交AB于點(diǎn)E，(1)求∠BEC的度數(shù)；(2)若DF是⊙O的切線，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AC=2233．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA，垂足為D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若CD＝4，⊙O的直徑為10，求BD的長(zhǎng)度．34．（2022秋·新疆喀什·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E．以BE為弦作⊙O，交BC于點(diǎn)D，圓心O恰好在BC(1)試判斷AC與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)若直徑BD=12，∠ACB=30°，求弦BE的長(zhǎng)．35．（2022秋·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC=CD，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，(1)求證：EC是⊙O的切線；(2)若AD=5，∠E=30°，求⊙O的半徑．

微專題02切線的證明與相關(guān)計(jì)算通關(guān)專練一、單選題1．（2022秋·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AD切⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在⊙O上．若∠A＝40°，則∠C為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODA＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DOA，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵AD切⊙O于點(diǎn)D∴OD⊥AD∴∠ODA=90°∵∠A=40°∴∠DOA=90°?40°=50°∴∠BCD=故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線、圓周角定理以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，結(jié)合圖形認(rèn)真推導(dǎo)即可得解．2．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）如圖，已知PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠P=22°，則∠POA=（

）A．55° B．58° C．68° D．88°【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠OAP=90°，結(jié)合∠P=22°可得結(jié)果．【詳解】解：∵PA與⊙O相切，∴∠OAP=90°，∵∠P=22°，∴∠POA=90°?22°=68°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直．3．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】D【分析】連接OC，則∠OCD=90°，先求得∠COD=50°，進(jìn)而求得∠D【詳解】連接OC,則OA=OC,∠OCD=90°，又∵∠CAO=25°，∴∠ACO=∠CAO=25°，∴∠COD=50°，∴∠D=90°?∠COD=90°?50°=40°,故選擇：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A、B、C，連接AB、AC、OB、OC，切線BD交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBD=90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=50°，然后利用互余計(jì)算出∠D的度數(shù)．【詳解】解：∵BD為切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°，∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．5．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，PA與⊙O相切于A點(diǎn)，∠P=20°，則∠POA=（

）A．20° B．35° C．70° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠A=90°，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠POA=70°．【詳解】∵PA與⊙O相切于A點(diǎn)，∴∠A=90°，∴∠POA=90°?∠P=90°?20°=70°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．掌握?qǐng)A的切線垂直于這個(gè)圓過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CE，CB于點(diǎn)P、Q，連接AC，關(guān)于下列結(jié)論：①∠BAD=∠ABCA．①③ B．② C．③ D．②③【答案】D【分析】連接BD，由GD為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由CE垂直于AB，得到∠AEP為直角，再由一對(duì)公共角，得到三角形APE與三角形ABD相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠APE等于∠ABD，根據(jù)等量代換及對(duì)頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對(duì)等邊可得出GP=GD，選項(xiàng)②正確；由直徑AB垂直于弦CF，利用垂徑定理得到A為弧CF的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，再由C為弧AD的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對(duì)等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點(diǎn)，即為直角三角形ACQ的外心，選項(xiàng)③正確．【詳解】解：∵在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，∴弧AC=弧CD不一定等于弧BD，∴∠BAD不一定等于∠ABC，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；連接BD，延長(zhǎng)CE交⊙O于F，如圖所示：∵GD為圓O的切線，∴∠GDP=∠ABD，又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，選項(xiàng)②正確；∵直徑AB⊥CE，∴A為弧CF的中點(diǎn)，即弧AF=弧AC，又C為弧AD的中點(diǎn)，∴弧AC=弧CD，∴弧AF=弧CD，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)，∴P為Rt△ACQ的外心，選項(xiàng)③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，過(guò)⊙O上一點(diǎn)A作⊙O的切線，交直徑BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)D，連接AB，若∠B＝25°，則∠D的度數(shù)為(

)A．25° B．40° C．45° D．50°【答案】B【分析】連接OA．由圓周角定理求得∠DOA=50°，接下來(lái)，由切線的性質(zhì)可證明∠OAD=90°，最后在△OAD中依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠D的度數(shù)．【詳解】解：連接OA．∵∠B=25°．∴∠DOA=2∠B=50°．∵AD是⊙的切線，∴∠OAD=90°．∴∠D=180°-90°-50°=40°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，與AB、AC相交于點(diǎn)M、N，且MN∥BC，那么下列說(shuō)法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④連接AO，則S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BCA．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABO=∠CBO,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBO=∠BOM,從而得到∠ABO=∠BOM,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后即可求出ΔAMN的周長(zhǎng)=AB+AC，由ΔABC、ΔBOC內(nèi)角和為180o，及BO平分∠ABC，CO平分∠ACB可得∠A＝2∠BOC﹣180o,可得點(diǎn)O為ΔABC的內(nèi)心，可得S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC【詳解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠CBO∵M(jìn)N∥BC，∴∠CBO=∠BOM，∴∠MOB＝∠MBO，故①正確；∴BM=OM，同理CN=ON，∴△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC，故②正確；∵由ΔABC、ΔBOC內(nèi)角和為180o∴∠A+∠ABC+∠ACB=180o,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180o,∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=180o,即∠OBC+∠OCB=180o-∠BOC,可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正確；由題意得：點(diǎn)O為ΔABC的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，可得S△AOB：S△AOC：S△BOC＝12×r×AB：12×故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理及三角形的內(nèi)心，綜合性大.9．（2023·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，P是⊙O的直徑CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠P=30°，則當(dāng)∠ACP=（

）時(shí)，直線PA是⊙O的切線．A．20° B．30° C．15° D．25°【答案】B【分析】連接OA，當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，即可證明直線PA是⊙O的切線．【詳解】解：當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，直線PA是⊙O的切線．證明：連接OA．∵∠P＝30°，∠ACP=30°，∴∠PAC＝120°；∵OA＝OC，∴∠ACP=∠OAC=30°，∴∠OAP=∠PAC?∠OAC=90°，即OA⊥PA，∴直線PA是⊙O的切線．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，解題關(guān)鍵是熟記切線的判定定理，連接半徑進(jìn)行證明推理．10．（2022秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，PA，PB，CD分別與同一段圓弧AB相切于點(diǎn)A，B，E，若∠P＝60°，△PCD的周長(zhǎng)為43，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．83π B．43π C．23π 【答案】B【分析】設(shè)圓弧AB的圓心為O，連接OA，OB，由切線長(zhǎng)定理及△PCD的周長(zhǎng)得出PA＝23，求出∠AOB【詳解】解：設(shè)圓弧AB的圓心為O，連接OA，OB，∵PA，PB都是圓O的切線，∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，同理AC＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝43∴PA＝23連接PO，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∠AOP＝60°，∴∠AOB＝120°，AO＝AP×tan∠APO＝23∴AB的長(zhǎng)為120×π×2故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，弧長(zhǎng)公式，特殊角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.11．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，若∠A=26°，則∠D等于（

）A．26° B．48° C．38° D．52°【答案】C【分析】連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DOC=2∠A，根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠D和∠DOC互余，進(jìn)而求得∠D的度數(shù)．【詳解】解：連接OC，如圖所示∵AB是⊙O直徑∴OC=OA∵△AOC是等腰三角形∴∠A=∠OCA∵∠A=26°∴∠OCA=26°∴∠DOC=2∠D=52°∵DC且⊙O于點(diǎn)C∴∠D=90°?52°=38°故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，BC為⊙O的直徑，P為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線PA，A為切點(diǎn)，PA=4，PB=2，則⊙O的半徑等于（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】設(shè)圓的半徑是x，則OA=OB=x，利用切線的性質(zhì)得到△OAP是直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：連接OA．設(shè)圓的半徑是x，則OA=OB=x．∵PA切⊙O于點(diǎn)A，OA是半徑，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∴PA2+OA2=OP2，∴42+x2=(x+2)2，解得：x=3．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理．掌握切線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則∠OAD的大小為（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】B【分析】連接OB，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，得到∠OAB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)圓周角定理求出∠BAD，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接OB，由圓周角定理得，∠AOB=2∠C=130°，∵OA=OB，∴∠OAB=12∵∠ABC=45°，∠C=65°，∴∠BAC=180°-45°-65°=70°，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD=35°，∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=10°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB是⊙O的弦，AO的延長(zhǎng)線交過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線于點(diǎn)C，如果∠CAB=30°，AB=23，則OC的長(zhǎng)度為（）A．23 B．2 C．43 D．4【答案】D【分析】連接OB，作OH⊥AB于H，根據(jù)垂徑定理求出AH，根據(jù)余弦的定義求出OA，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠OBC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：連接OB，作OH⊥AB于H，則AH=HB=12AB=3在Rt△AOH中，OA=AHcos∠A∠BOC=2∠A=60°，∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，∴∠C=30°，∴OC=2OB=4，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，PA、PB、CD分別切⊙O于點(diǎn)A、B、E，CD分別交PA、PB于點(diǎn)C、D．下列關(guān)系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互補(bǔ)；④△PCD的周長(zhǎng)是線段PB長(zhǎng)度的2倍.則其中說(shuō)法正確的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【詳解】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知PA=PB，故①正確；同理可知CA=CE，可知CO為∠ACE的角平分線，所以∠ACO=∠DCO，故②正確；同理可知DE=BD，由切線的性質(zhì)可知∠OBD=∠OED=90°，可根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°知∠BOE+∠BDE=180°，即∠BOE和∠BDE互補(bǔ)，故③正確；根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得CE=CA，BD=DE，而△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PB，故④正確.故選D.二、填空題16．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OP，AB，設(shè)OP與AB相交于點(diǎn)C，若∠APB=60°，OC=2cm，則PC=cm．【答案】6【分析】由切線長(zhǎng)定理可知PA=PB，由垂徑定理可知OP垂直平分AB，所以O(shè)P平分∠AOB，可得∠APO=30°,利用直角三角形30度角的性質(zhì)可得OA、OP的長(zhǎng)，【詳解】解：∵PA，PB是⊙O的兩條切線∴PA=PB，∴∠OAP=90由垂徑定理可知OP垂直平分AB，∴OP平分∠AOB，∠ACO=90∴∠APO=∴∠AOC=60∴∠OAC=在RtΔOAC中，OA=2OC=4在RtΔOAP中，OP=2OA=8∴OP?PC=8?2=6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)與三角形的性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有切線長(zhǎng)定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)，靈活的將圓與三角形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.17．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB與AD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B、D，C是⊙O上一點(diǎn)，且∠C＝56°，則∠A的度數(shù)為．【答案】68°．【分析】連接OB、OD，由切線的性質(zhì)可得∠OBA=∠ODA=90°，再利用圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)，在四邊形ABOD中由四邊形的內(nèi)角和可求得∠A．【詳解】解：連接OB、OD，由切線的性質(zhì)可得∠OBA＝∠ODA＝90°，∵∠C＝56°，∴∠BOD＝2∠C＝112°，在四邊形ABOD中，∠A+∠ABO+∠BOD+∠ODA＝360°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣112°＝68°，故答案為68°．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，利用圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)再利用四邊形的內(nèi)角和求∠A是解題的關(guān)鍵18．（2022秋·四川南充·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P，作射線PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P=50°，點(diǎn)C在劣弧AB上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線分別與PA，PB交于點(diǎn)D，E．則∠DOE=度．【答案】65【分析】連接OA，OC，OB，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠AOB=130°，依據(jù)切線的性質(zhì)及角平分線的判定定理可得DO平分∠ADC，EO平分∠BEC，再由各角之間的數(shù)量關(guān)系可得∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，根據(jù)等量代換可得∠DOE=1【詳解】解：如圖所示：連接OA，OC，OB，∵PA、PB、DE與圓相切于點(diǎn)A、B、E，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，∵∠P=50°，∴∠AOB=180°?∠P=130°，∵OA=OB=OC，∴DO平分∠ADC，EO平分∠BEC，∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，∴∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，∴∠DOE=∠COD+∠COE=1故答案為：65．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的切線的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．19．（2023·江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，PM切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，若BE∥AO,∠EAO=30°，若⊙O的半徑為1，則AP的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠E，根據(jù)圓周角定理求出∠AOP＝60°，解直角三角形求出即可．【詳解】∵BE∥AO，∠EAO＝30°，∴∠E＝∠OAE＝30°，∴∠AOP＝2∠E＝60°，∵PM切⊙O于點(diǎn)A，∴∠OAP＝90°，∴AP＝OA×tan∠AOP＝1×tan60°＝3，故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠AOP＝60°和∠PAO＝90°是解此題的關(guān)鍵．20．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）已知O、I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，∠BIC＝125°，則∠BOC的大小是度．【答案】140【分析】作ΔABC的外接圓，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得：∠IBC=12∠ABC，∠ICB=【詳解】解：如圖所示，作ΔABC的外接圓，∵點(diǎn)I是ΔABC的內(nèi)心，∴BI，CI分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC∵∠BIC=125°，∴∠IBC+∠ICB=180°?125°=55°，∴∠ABC+∠ACB=2∠IBC+∠ICB∴∠A=70°，∵點(diǎn)O是ΔABC的外心，∴∠BOC=2∠A=140°，故答案為：140．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)心與外心的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，熟練掌握三角形內(nèi)心與外心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知直線CD與圓O相切于點(diǎn)C，AB為直徑，若∠BCD=40°，則∠ABC的大小等于度．【答案】50°/50度【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】連接OC，如圖所示：∵直線CD與圓O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，又∵∠BCD=40°，∴∠OCB=50°．∵OC、OB都為圓O的半徑，即OC=OB，∴∠ABC=∠OCB=50°，故答案是：50°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和運(yùn)用了等腰三角形等邊對(duì)等角，解決本題的關(guān)鍵是正確的做出輔助線．22．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，兩個(gè)同心圓，小圓半徑為2，大圓半徑為4，一直線與小圓相切，交大圓于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為．【答案】43【詳解】【分析】作OP垂直于AB，垂足為P,連接OA，運(yùn)用切性質(zhì)可得到直角三角形，再根據(jù)勾股定理得OP，根據(jù)垂徑定理,得AB=2OP.【詳解】作OP垂直于AB，垂足為P,連接OA.因?yàn)椋本€與小圓相切，所以，OP=2，AB=2OP,所以，OP=42所以，AB=2OP=43故答案為43【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：切線性質(zhì)，垂徑定理.解題關(guān)鍵點(diǎn)：由切線性質(zhì)得到直角三角形，由垂徑定理得到線段長(zhǎng)度.23．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AD．若∠B=35°，則∠DAC的度數(shù)是度．【答案】35【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠BAC=55°，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAD=90°，即可求解．【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠C=90°，∵∠B=35°，∴∠BAC=55°，∵AD與⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．故答案為：35【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇·?？贾锌寄M）△ABC中，∠A=40°，若點(diǎn)O是△ABC的外心，則∠BOC=°；若點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC=°．【答案】80110．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)圓周角定理求出即可，再根據(jù)題意，求出∠IBC+∠ICB度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BIC．【詳解】如圖1時(shí)，由圓周角定理得：∠BOC=2∠A=2×40°=80°；如圖2時(shí)，同樣由圓周角定理得：∠BOC=2∠A=80°；∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=1∴∠IBC+∠ICB=12∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=110°，故答案為80，110．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)切圓和外接圓的應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.25．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F，若⊙O內(nèi)切于以F、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形，則⊙O的面積=【答案】100π【分析】連接OB，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，則BE=EF，BC=CF；再由BE:EA=5:3可以設(shè)BE=5x，EA=3x，則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF2=CD2+DF2，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；在Rt【詳解】連接OB，由于把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD則BE=EF，BC=CF；由BE:EA=5:3，設(shè)BE=5x，EA=3x，則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF2=CD2+DF2，即在Rt△EBC中，EB2+B解得：x=3，則BE=15，BC=30．再由SΔEBC=解得：r=10；則⊙O的面積為πr【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的翻折問(wèn)題，能夠利用勾股定理求解直角三角形；同時(shí)也考查了切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，難度不大，解題時(shí)要理清思路．三、解答題26．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AE、AD、BC分別切⊙O于點(diǎn)E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】C△ABC＝40.【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，將△ABC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AD＋AE求解．【詳解】∵AD,AE切于⊙O于D,E，∴AD＝AE＝20∵AD,BF切于⊙O于D,F∴BD＝BF同理：CF＝CE∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40.故答案為C△ABC＝40.【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理.27．（2023·吉林長(zhǎng)春·?？家荒＃┤鐖D，OA、OB是⊙O的半徑，OA⊥OB，C為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)D，E為AD與OC的交點(diǎn)，連結(jié)OD．已知CE=5，求線段CD的長(zhǎng)．【答案】5【分析】利用切線的性質(zhì)與OA⊥OB，證明∠DEC=∠ADC，從而可得答案．【詳解】解：∵CD切O于點(diǎn)Ｄ，∴∠ODC=90ο又∵OA⊥OC，即∠AOC=90ο∴∠A+∠AEO=90ο，∠ADO+∠ADC=∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠ADC=∠AEO；又∵∠AEO=∠DEC，∴∠DEC=∠ADC，∴CD=CE，∵CE=5，∴CD=5．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度數(shù)．【答案】∠BOC=145°，∠BDC=140°【分析】如圖，在⊙D上取點(diǎn)H，連接BH,CH,由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解∠H，再利用圓周角定理求解∠BDC,O為△ABC的內(nèi)心，可得OB,OC分別平分∠ABC,∠ACB,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=【詳解】解：如圖，在⊙D上取點(diǎn)H，連接BH,CH,∵四邊形ABHC為⊙D的內(nèi)接四邊形，∠A=110°，∴∠H=180°?110°=70°，∴∠BDC=2∠H=140°,∵O為△ABC的內(nèi)心，∴OB,OC分別平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1=1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?35°=145°.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)心的含義，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·湖南永州·校聯(lián)考三模）在RtΔABC中，∠ACB=90ο，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且交BC于點(diǎn)（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF=12，⊙O的半徑為10，求CE【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)8.【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等可得：OE∥BC，所以∠OEA=90°，則AC是⊙O的切線；（2）作弦心距OH，先求BH的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求OH的長(zhǎng)，問(wèn)題得解．【詳解】解：(1)連接OE.∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB,∵BE平分∠ABC,∴∠OBE=∠EBC∴∠EBC=∠OEB∴OE∥BC∴∠OEA=∠C∵∠ACB=90°∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切線;(2)連接OF,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H,由題意可知四邊形OECH為矩形∴OH=CE∵BF=12,OH⊥BF∴BH=在Rt△BHO中,OB=10,∴OH=∴CE=OH=8【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理、垂徑定理等知識(shí)，注意在圓中常利用勾股定理計(jì)算圓中的線段．30．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圓弧中點(diǎn)，連接CE交AD于F．(1)求證：CD與⊙O相切．(2)AF=8，EF=210，求⊙O的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)⊙O的半徑為6．【分析】（1）如圖，作輔助線，證明∠OCD=90°即可解決問(wèn)題；（2）連接OE，證明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理構(gòu)建方程，解方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC；∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB；∵AB是⊙O的直徑，∴∠A+∠OBC=90°，而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB，∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴DC為⊙O的切線；（2）解：連接OE，∵AB是⊙O的直徑，E是AB下半圓弧中點(diǎn)，∴AE=BE=12∴EO⊥AB，設(shè)OA=OE=R，OF=8-R，在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2，∴（210）2=R2+（8-R）2，∴R=6（不符合題意的根已經(jīng)舍棄）．∴⊙O的半徑為6．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．31．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）證明：DE為⊙O的切線；（2）連接OE，若BC=4，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1．【分析】(1)連接CD、OD,根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角可得CD⊥AB,因?yàn)锳C=BC,由三線合一可知D為AB中點(diǎn),則OD為△ABC的中位線,可得OD∥AC,由DE⊥AC,可得OD⊥DE即可證明.(2)根據(jù)(1)中條件求出CD,再根據(jù)∠A=30°,∠ADC=90°,可知∠ACD=60°,利用三角函數(shù)求出CE即可.【詳解】（1）證明：連接OD，CD，如圖所示：∵BC為圓O直徑，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵ΔABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是ΔABC的中位線，∴OD//AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D點(diǎn)在圓O上，∴DE為圓O的切線；（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=12BC=2∵AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=1∵DE⊥AC，∴CE=CD?cos【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線和直角三角形的混合,關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識(shí).32．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=BC，CD交AB于點(diǎn)E，(1)求∠BEC的度數(shù)；(2)若DF是⊙O的切線，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AC=22【答案】(1)75°(2)2【分析】（1）由題意可以求出∠B和∠BCD的度數(shù)，從而得到∠BEC的度數(shù)；（2）根據(jù)AC求出圓半徑，然后可以得到直角三角形FOD和圓扇形OAD的面積，求出兩者之差即得解答．（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵AC=∴∠B=∠CAB．∴∠B=45°．∵∠BOD=120°，∴∠DCB=1∴∠BEC=180°?∠B?∠DCB=180°?45°?60°=75°．（2）∵DF是⊙O的切線，∴∠FDO=90°，又∠DOB=120°，∴∠FOD=60°，∠OFD=30°，∵AC=22∴AB=ACsin45°∴OD=2，F(xiàn)D=23，∴所求陰影面積=S=1=23【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)概念、圓周角定理、圓切線的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算等是解題關(guān)鍵．33．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA，垂足為D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若CD＝4，⊙O的直徑為10，求BD的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8.