蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步精講精練2.5直線與圓的位置關(guān)系(切線的判定與性質(zhì)十大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.5直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系&切線的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系相離相切相交定義直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相離直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相切直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系d＞rd＝rd＜r公共點(diǎn)名稱切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱切線割線總結(jié)直線與圓相離?d＞r直線與圓相切?d=r直線與圓相交?d＜r知識(shí)點(diǎn)二圓的切線的判定定理知識(shí)點(diǎn)二圓的切線的判定定理◆1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆2、幾何語言表示：（如右圖）∵OA為☉O的半徑，BC⊥OA于A，∴直線l是☉O的切線◆3、判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：（1）定義法：（如圖1）直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線；（2）數(shù)量關(guān)系法：（如圖2）圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；（3）判定定理：（如圖3）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆4、常見證切線作輔助線的方法：（1）有交點(diǎn)，連半徑，證垂直；（2）無交點(diǎn)，作垂直，證相等(證明d=r).知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三圓的切線的性質(zhì)定理◆1、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．◆2、幾何語言表示：∵直線l是☉O的切線，A是切點(diǎn)，∴直線l⊥OA.題型一判斷直線和圓的位置關(guān)系題型一判斷直線和圓的位置關(guān)系【例題1】（2023?南潯區(qū)二模）已知平面內(nèi)有⊙O與直線AB，⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)O到直線AB的距離為3cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷解題技巧提煉本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷．①d＜r?直線和圓相交；②d＝r?直線和圓相切；③d＞r?直線和圓相離．【變式1-1】（2023春?寧遠(yuǎn)縣期中）已知⊙O的半徑是10，圓心O到直線l的距離是13，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【變式1-2】（2022秋?大名縣校級(jí)期末）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行【變式1-3】（2023?江夏區(qū)校級(jí)模擬）已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)M，N，若⊙O半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，則直線MN與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【變式1-4】（2022秋?廣陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個(gè)半徑為3的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點(diǎn)B在⊙A內(nèi) B．直線BC與⊙A相離 C．點(diǎn)C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切【變式1-5】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有何位置關(guān)系？為什么？（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．題型二根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)題型二根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例題2】（2022秋?江夏區(qū)校級(jí)期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定解題技巧提煉直線和圓的位置關(guān)系與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)間的關(guān)系：1、直線和圓相交?兩個(gè)公共點(diǎn)，2、直線和圓相切?一個(gè)公共點(diǎn)，3、直線和圓相離?沒有公共點(diǎn)．【變式2-1】已知⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為9cm，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【變式2-2】（2022秋?武漢期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【變式2-3】已知⊙O的半徑是3，圓心O到直線l的距離是4，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【變式2-4】已知⊙O的直徑等于8cm，圓心O到直線l上一點(diǎn)的距離為4cm，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．1或2題型三已知直線和圓的位置關(guān)系確定取值范圍題型三已知直線和圓的位置關(guān)系確定取值范圍【例題3】（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5解題技巧提煉解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，得到圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，然后求其取值范圍即可．【變式3-1】（2022秋?連云港期中）直線l與⊙O相離，且⊙O的半徑r等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【變式3-2】（2022秋?青龍縣月考）如圖，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以點(diǎn)M為圓心，r為半徑作⊙M，⊙M與線段AC有交點(diǎn)時(shí)，則r的取值范圍是．【變式3-3】（2023?前郭縣二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．【變式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB有唯一公共點(diǎn)，求半徑r的取值范圍．題型四利用直線與圓的位置關(guān)系求最值題型四利用直線與圓的位置關(guān)系求最值【例題4】（2022秋?涼山州期末）點(diǎn)A是半徑為2的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O到直線MN的距離為3．點(diǎn)P是MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過程中若∠POA＝90°，則線段PA的最小值是．解題技巧提煉本題主要考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系中的相切來解決問題，結(jié)合勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．利用“過直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半徑為1，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．【變式4-2】（2023春?市南區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P(m，3m+23)，過點(diǎn)P作該圓的一條切線，切點(diǎn)為A．3 B．2 C．3 D．2【變式4-3】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線y=34x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C（1，0）為圓心，1為半徑的圓上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則△A．5 B．10 C．15 D．20題型五切線的判定---連半徑證垂直題型五切線的判定---連半徑證垂直【例題5】（2023春?保德縣校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)D，過D作AC的垂線，垂足為E．求證：DE是⊙O切線．?解題技巧提煉【變式5-1】（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥CD，垂足為D，AC平分∠DAB．求證：DC為⊙O的切線．【變式5-2】（2023?義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點(diǎn)D，D是BC的中點(diǎn)．（1）求BC的長；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【變式5-3】（2022?昭平縣一模）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的長；（2）若C是OP的中點(diǎn)，求證：PB是⊙O的切線．【變式5-4】（2023?嵐山區(qū)開學(xué)）如圖，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，過點(diǎn)C作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)E，連接CD．求證：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切線．題型六切線的判定---作半徑證垂直題型六切線的判定---作半徑證垂直【例題6】（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．求證：AC是⊙O的切線．解題技巧提煉直線與圓沒有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通?！白鞔怪保C半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.【變式6-1】如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上O與BC相切于點(diǎn)M．求證：CD與⊙O相切．【變式6-2】（2022?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【變式6-3】如圖，OC平分∠AOB，D是OC上任意一點(diǎn)，⊙D和OA相切于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證：OB與⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半徑為3，求CE的長．題型七切線判定多結(jié)論問題題型七切線判定多結(jié)論問題【例題七】（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結(jié)論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時(shí)需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-1】如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點(diǎn)，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點(diǎn)，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點(diǎn)，且DC＝DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【變式7-2】如圖，AB是⊙O的直徑，線段BC與⊙O的交點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-3】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點(diǎn)D在⊙O上，連接OD，若∠EAD＝25°，下列說法中不正確的是（）A．D是劣弧BE的中點(diǎn) B．CD是⊙O的切線 C．AE∥OD D．∠OBC＝120°【變式7-4】（2022秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠ABC＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①CE＝CF；②∠E＝30°；③線段EF的最小值為23；④當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．題型八利用切線的性質(zhì)求角度題型八利用切線的性質(zhì)求角度【例題8】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P＝40°，當(dāng)∠B等于（）時(shí)，PA與⊙O相切．A．20° B．25° C．30° D．40°解題技巧提煉已知切線，通常需連接過切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)可得到直角，然后結(jié)合圓周角定理及其推論，找到要求的角與已知角之間的聯(lián)系，從而求出角度.【變式8-1】（2023?李滄區(qū)三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AC交⊙O于D，∠C＝38°．點(diǎn)E在AB右側(cè)的半圓上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），則∠AED的大小是（）A．62° B．52° C．38° D．28°【變式8-2】（2022秋?棲霞市期末）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AC切⊙O于點(diǎn)C，D點(diǎn)在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°【變式8-3】（2023?安岳縣二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，EA切⊙O于點(diǎn)A，交CD的延長線于點(diǎn)E．若∠ABC＝75°，則∠E的度數(shù)為．【變式8-4】（2023?福鼎市模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在BC的延長線上，AD與⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，則∠BAD等于（）A．95° B．100° C．110° D．120°【變式8-5】（2023?臨汾模擬）如圖，已知點(diǎn)D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長線于點(diǎn)C，BE與⊙O相切，交直線CD于點(diǎn)E．（1）判斷BE與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度數(shù)．題型九利用切線的性質(zhì)求線段長題型九利用切線的性質(zhì)求線段長【例題9】（2023?開州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，BC與⊙O相切于點(diǎn)C，線段BO交⊙O于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC于點(diǎn)D．若CD＝3，AB＝4，則⊙O的半徑等于（）?A．4 B．5 C．6 D．12解題技巧提煉利用切線的性質(zhì)求線段長度時(shí)，通常利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，抓住題目中的已知條件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量關(guān)系求解.當(dāng)題目中含有特殊角時(shí)，可以含30°或45°的直角三角形的性質(zhì)求解.【變式9-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P為BA延長線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)D，連接BC．若CD＝2，BD＝4，則⊙O的半徑為（）A．3 B．2 C．2.5 D．25【變式9-2】（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C．22 D．【變式9-3】（2023春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O是斜邊AB邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點(diǎn)D，連接AD，若AD＝BD，⊙O的半徑為4，則CD的長度為（）?A．23 B．4 C．3 D．5【變式9-4】（2022?瀘縣一模）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的弦，過O作OH⊥AC于點(diǎn)H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半徑和AC的長．【變式9-5】（2023?銀川校級(jí)四模）如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．（1）求證：⊙D與AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．題型十切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型十切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題10】（2022秋?嘉陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，在⊙O中，PA是直徑，PC是弦，PH平分∠APB且與⊙O交于點(diǎn)H，過H作HB⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)B．（1）求證：HB是⊙O的切線；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直徑．解題技巧提煉切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用問題主要里結(jié)合利用了垂徑定理、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2022?淮安二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點(diǎn)D，且AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E．（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的長．【變式10-2】（2022?儀征市一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．【變式10-3】（2022?盤錦模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)C作CE∥AD與BA的延長線交于點(diǎn)E．（1）求證：CE與⊙O相切；（2）若AD＝4，∠D＝60°，求線段AB，BC的長．【變式10-4】（2023?牧野區(qū)校級(jí)三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作AE⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半徑．

（蘇科版）九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.5直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系&切線的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系相離相切相交定義直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相離直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相切直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系d＞rd＝rd＜r公共點(diǎn)名稱切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱切線割線總結(jié)直線與圓相離?d＞r直線與圓相切?d=r直線與圓相交?d＜r知識(shí)點(diǎn)二圓的切線的判定定理知識(shí)點(diǎn)二圓的切線的判定定理◆1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆2、幾何語言表示：（如右圖）∵OA為☉O的半徑，BC⊥OA于A，∴直線l是☉O的切線◆3、判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：（1）定義法：（如圖1）直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線；（2）數(shù)量關(guān)系法：（如圖2）圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；（3）判定定理：（如圖3）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆4、常見證切線作輔助線的方法：（1）有交點(diǎn)，連半徑，證垂直；（2）無交點(diǎn)，作垂直，證相等(證明d=r).知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三圓的切線的性質(zhì)定理◆1、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．◆2、幾何語言表示：∵直線l是☉O的切線，A是切點(diǎn)，∴直線l⊥OA.題型一判斷直線和圓的位置關(guān)系題型一判斷直線和圓的位置關(guān)系【例題1】（2023?南潯區(qū)二模）已知平面內(nèi)有⊙O與直線AB，⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)O到直線AB的距離為3cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷【分析】根據(jù)點(diǎn)O到直線AB的距離與圓的半徑大小作比較即可．【解答】解：∵點(diǎn)O到直線AB的距離為3cm，且⊙O的半徑為3cm，∴3cm＝3cm，即直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷．①d＜r?直線和圓相交；②d＝r?直線和圓相切；③d＞r?直線和圓相離．【變式1-1】（2023春?寧遠(yuǎn)縣期中）已知⊙O的半徑是10，圓心O到直線l的距離是13，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【分析】運(yùn)用直線與圓的三種位置關(guān)系，結(jié)合10＜13，即可解決問題．【解答】解：∵⊙O的半徑為10，圓心O到直線l的距離是13，而10＜13，∴點(diǎn)O到直線l的距離大于半徑，∴直線l與⊙O相離．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．【變式1-2】（2022秋?大名縣校級(jí)期末）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∵⊙O的半徑為一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，∴r＝3，∵d＞r，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．【變式1-3】（2023?江夏區(qū)校級(jí)模擬）已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)M，N，若⊙O半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，則直線MN與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根據(jù)直線上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定得出直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，即點(diǎn)M到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)N到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)M在⊙O外，點(diǎn)N在⊙O上，∴直線MN與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022秋?廣陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個(gè)半徑為3的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點(diǎn)B在⊙A內(nèi) B．直線BC與⊙A相離 C．點(diǎn)C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BH＝CH=12BC＝4，則利用勾股定理可計(jì)算出AH＝3，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法對(duì)A選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系對(duì)C選項(xiàng)和【解答】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12在Rt△ABH中，AH=A∵AB＝5＞3，∴B點(diǎn)在⊙A外，所以A選項(xiàng)不符合題意；∵AC＝5＞3，∴C點(diǎn)在⊙A外，所以C選項(xiàng)不符合題意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直線BC與⊙A相切，所以D選項(xiàng)符合題意，B選項(xiàng)不符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．【變式1-5】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有何位置關(guān)系？為什么？（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．【分析】此題重點(diǎn)是求得圓心到直線的距離，即是求直角三角形斜邊上的高．該高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：AB=AC2+設(shè)AB邊高為h，則h?AB＝AC×BC，h=6×810=（1）當(dāng)r＝4cm，d＞r，則AB與⊙C相離；（2）當(dāng)r＝4.8cm，d＝r，則AB與⊙C相切；（3）當(dāng)r＝6cm，r＞d，則AB與⊙C相交．【點(diǎn)評(píng)】注意直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊；能夠熟練根據(jù)數(shù)量關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型二根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)題型二根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例題2】（2022秋?江夏區(qū)校級(jí)期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線l和⊙O相交，然后根據(jù)相離的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，即圓心O到直線l的距離小于圓的半徑，∴直線l和⊙O相交，∴直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．解題技巧提煉直線和圓的位置關(guān)系與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)間的關(guān)系：1、直線和圓相交?兩個(gè)公共點(diǎn)，2、直線和圓相切?一個(gè)公共點(diǎn)，3、直線和圓相離?沒有公共點(diǎn)．【變式2-1】已知⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為9cm，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線l和⊙O相離，然后根據(jù)相離的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為9cm，即圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，∴直線l和⊙O相離，∴直線l與⊙O沒有公共點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式2-2】（2022秋?武漢期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜邊上的高為：AB?ACBC∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，∴圓與該直線BC的位置關(guān)系是相切，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式2-3】已知⊙O的半徑是3，圓心O到直線l的距離是4，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】欲求直線l與圓O的位置關(guān)系，關(guān)鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵圓半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝4．故r＝3＜d＝4，∴直線與圓的位置關(guān)系是相離．∴直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．【變式2-4】已知⊙O的直徑等于8cm，圓心O到直線l上一點(diǎn)的距離為4cm，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線l和⊙O相離，然后根據(jù)相離的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的直徑等于8cm，圓心O到直線l上一點(diǎn)的距離為4cm，∴⊙O的半徑等于4cm，圓心O到直線l的距離≤4cm即圓心O到直線l的距離≤圓的半徑，∴直線l和⊙O相切或相交，∴直線l與⊙O有1個(gè)或2個(gè)有公共點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．題型三已知直線和圓的位置關(guān)系確定取值范圍題型三已知直線和圓的位置關(guān)系確定取值范圍【例題3】（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5【分析】分別根據(jù)原點(diǎn)O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【解答】解：∵A（4，3），∴OA=3∵原點(diǎn)O在圓A的外部，∴R＜OA，即R＜5，∵圓A與x軸相交，∴R＞3，∴3＜R＜5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，得到圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，然后求其取值范圍即可．【變式3-1】（2022秋?連云港期中）直線l與⊙O相離，且⊙O的半徑r等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【分析】根據(jù)“若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離”即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線l與⊙O相離，⊙O的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，∴d＞3．故答案為：d＞3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d＞r時(shí)，直線l和⊙O相離是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?青龍縣月考）如圖，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以點(diǎn)M為圓心，r為半徑作⊙M，⊙M與線段AC有交點(diǎn)時(shí)，則r的取值范圍是．【分析】過M作MH⊥AC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到HM=12【解答】解：過M作MH⊥AC于H，∵CM＝2，∠ACB＝30°，∴HM=12∵AM＝5，⊙M與線段AC有交點(diǎn)，∴r的取值范圍是1≤r≤5，故答案為：1≤r≤5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式3-3】（2023?前郭縣二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【解答】解：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．故平移的距離d的取值范圍是1＜d＜5．故答案為：1＜d＜5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．【變式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB有唯一公共點(diǎn)，求半徑r的取值范圍．【分析】此題注意兩種情況：（1）圓與AB相切時(shí)；（2）點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)．根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積計(jì)算出其斜邊上的高，再根據(jù)位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理求得AB＝5．∵BC＞AC，∴以C為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)分兩種情況：（1）圓與AB相切時(shí)，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；（2）點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，此時(shí)AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．題型四利用直線與圓的位置關(guān)系求最值題型四利用直線與圓的位置關(guān)系求最值【例題4】（2022秋?涼山州期末）點(diǎn)A是半徑為2的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O到直線MN的距離為3．點(diǎn)P是MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過程中若∠POA＝90°，則線段PA的最小值是．【分析】根據(jù)勾股定理用OP表示出PA，根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA=O當(dāng)OP最小時(shí)，PA取最小值，由題意得：當(dāng)OP⊥MN時(shí)，OP最小，最小值為3，∴PA的最小值為：4+3故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系、垂線段最短、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理表示出PA的長是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題主要考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系中的相切來解決問題，結(jié)合勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．利用“過直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半徑為1，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．【分析】作AE⊥BC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，連接CP、CQ，先由BC＝4，AB＝AC＝3得BE＝CE=12BC＝2，再根據(jù)勾股定理求得AE=5，由12×3CD=12×4×5=S△ABC求得CD=453，由PQ=【解答】解：如圖，作AE⊥BC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，連接CP、CQ，∵BC＝4，AB＝AC＝3，∴BE＝CE=12BC∵∠AEB＝90°，∴AE=A∵12AB?CD=12BC?AE＝S∴12×3CD=1∴CD=4∵PQ切⊙O于點(diǎn)Q，CQ＝1，∴PQ⊥CQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ=C∴當(dāng)CP的值最小時(shí)，PQ的值最小，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，CP的值最小，此時(shí)CP＝CD=4∴PQ最小=(故答案為：713【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、根據(jù)面積等式列方程求線段的長度、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春?市南區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P(m，3m+23)，過點(diǎn)P作該圓的一條切線，切點(diǎn)為A．3 B．2 C．3 D．2【分析】連接PA，OA，由切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，求出PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m【解答】解：連接PO，OA，∵PA切圓于A，∴OA⊥PA，∵點(diǎn)P(m，3∴PO2＝m2+(3m+23)2∵圓的半徑是1，∴OA＝1，∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+3∴PA2的最小值是2，∵PA＞0，∴PA的最小值是2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)【變式4-3】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線y=34x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C（1，0）為圓心，1為半徑的圓上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則△A．5 B．10 C．15 D．20【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PAB的面積最小，求出EH、AB的長即可解決問題【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．∵C（1，0），直線AB的解析式為y=34∴直線CH的解析式為y=?43x由y=?43x+∴H（?45，∴CH=(1+∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，∴EH＝3﹣1＝2，當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PAB的面積最小，最小值=1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關(guān)系解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．題型五切線的判定---連半徑證垂直題型五切線的判定---連半徑證垂直【例題5】（2023春?保德縣校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)D，過D作AC的垂線，垂足為E．求證：DE是⊙O切線．?【分析】連接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易證∠ODB＝90°，從而可證DE是⊙O切線．【解答】證明：連接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴半徑OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形三線合一定理、平行線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定．解題的關(guān)鍵是連接OD、AD，并證明OD∥AC．解題技巧提煉【變式5-1】（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥CD，垂足為D，AC平分∠DAB．求證：DC為⊙O的切線．【分析】由于C是⊙O上一點(diǎn)，連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．【解答】證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．【變式5-2】（2023?義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點(diǎn)D，D是BC的中點(diǎn)．（1）求BC的長；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可；（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO＝90°即可．【解答】解：（1）連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴BD＝23，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BD＝43；（2）連接OD．∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，則∠EDO＝∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°∴DE是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)要注意連接過切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線．【變式5-3】（2022?昭平縣一模）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的長；（2）若C是OP的中點(diǎn)，求證：PB是⊙O的切線．【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，則∠OAD＝30°，所以O(shè)D=12OA＝1，AD=3OD=3，再根據(jù)垂徑定理得AD＝BD，所以（2）由（1）∠BOC＝60°，則△OCB為等邊三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，則∠CBP＝∠P，可計(jì)算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理得PB是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接OA、OB，如圖，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA∴AD=3OD=又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）證明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中點(diǎn)，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考次了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．【變式5-4】（2023?嵐山區(qū)開學(xué)）如圖，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，過點(diǎn)C作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)E，連接CD．求證：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠ABC，等量代換得到∠ADC＝∠CDE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）連接OC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DCE+∠CDE＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCD＝∠ODC，求得∠OCE＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC，∵∠CDE＝∠CAB，∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠CDE，∴CD平分∠ADE；（2）連接OC，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠ODC＝∠CDE，∴∠OCD＝∠CDE，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型六切線的判定---作半徑證垂直題型六切線的判定---作半徑證垂直【例題6】（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．求證：AC是⊙O的切線．【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OD，OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AB⊥OD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OD，從而證得結(jié)論．【解答】證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OD，OA，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴AC是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉直線與圓沒有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通?！白鞔怪保C半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.【變式6-1】如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上O與BC相切于點(diǎn)M．求證：CD與⊙O相切．【分析】利用正方形的性質(zhì)得出AC平分角∠BCD，再利用角平分線的性質(zhì)得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】證明：如圖所示，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∴OM＝ON，∴ON為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，得出OM＝ON是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2022?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．（2）先證明△BDE≌△DCF（HL），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】證明：（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC與⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等得出EB=FC是解決問題（2）的關(guān)鍵．【變式6-3】如圖，OC平分∠AOB，D是OC上任意一點(diǎn)，⊙D和OA相切于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證：OB與⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半徑為3，求CE的長．【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥OB于點(diǎn)F，先由切線的性質(zhì)得DE⊥OA，則由角平分線的性質(zhì)得DF＝DE，即可證得結(jié)論；（2）過E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面積法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=9【解答】（1）證明：連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥OB于點(diǎn)F，如圖所示：∵⊙D與OA相切于點(diǎn)E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB與⊙D相切；（2）解：過E作EG⊥OD于G，如圖所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=3∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE∴EG=OE×DE∴DG=D∴CG＝CD+DG＝3+9∴CE=E【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．題型七切線判定多結(jié)論問題題型七切線判定多結(jié)論問題【例題七】（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結(jié)論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可判斷出選項(xiàng)①正確；由O為AB中點(diǎn)，得到AO為AB的一半，故AO為AC的一半，選項(xiàng)③正確；由OD為三角形ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD與AC平行，由AC與DE垂直得到OD與DE垂直，即∠ODE為90°，故DE為圓O的切線，選項(xiàng)④正確．【解答】解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，選項(xiàng)①正確；連接OD，如圖，∵D為BC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，∴DO為△ABC的中位線，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE為圓O的切線，選項(xiàng)④正確；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，選項(xiàng)②正確；由D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，選項(xiàng)則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定，及三角形的中位線定理．證明切線時(shí)連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時(shí)需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-1】如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點(diǎn)，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點(diǎn)，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點(diǎn)，且DC＝DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【分析】根據(jù)已知及切線的判定等對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠DCP＝∠APE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵∠OAC+∠APE＝90°，∴∠OCA+∠DCP＝90°，∴CD為⊙O的切線（①正確）；②不一定；連接CO，∵CD是⊙O的切線，∴∠DCP=12∠∵∠DCP=12∠AOC=又∵∠DCP=12（180°﹣∠∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，∴∠CDP＝2∠A，③正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定的理解及運(yùn)用．【變式7-2】如圖，AB是⊙O的直徑，線段BC與⊙O的交點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)圓周角定理和切線的判定，采用排除法，逐條分析判斷．【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，故①正確；連接DO，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD，又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC＝AB，∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是圓O的切線，故④正確；∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵∠ODB＝∠B，∴∠EDA＝∠B，選項(xiàng)②正確；由D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，選項(xiàng)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定，證明切線時(shí)連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．【變式7-3】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點(diǎn)D在⊙O上，連接OD，若∠EAD＝25°，下列說法中不正確的是（）A．D是劣弧BE的中點(diǎn) B．CD是⊙O的切線 C．AE∥OD D．∠OBC＝120°【分析】證出∠BAD＝∠EAD，由圓周角定理得出BD=ED，得出選項(xiàng)A正確；由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADO＝∠BAD＝25°，求出∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝90°，得出CD⊥OD，證出CD是⊙O的切線，選項(xiàng)B正確；由圓周角定理得出∠BOD＝2∠BAD＝50°，證出∠BOD＝∠BAE，得出AE∥OD，選項(xiàng)C正確；由已知條件得出∠OBC＝130°，得出選項(xiàng)【解答】解：∵∠BAD＝25°，∠EAD＝25°，∴∠BAD＝∠EAD，∴BD=∴D是BE的中點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD＝25°，∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝115°﹣25°＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切線，選項(xiàng)B正確；∵∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠BAE＝25°+25°＝50°，∴∠BOD＝∠BAE，∴AE∥OD，選項(xiàng)C正確；∵∠C＝90°，∴∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°≠120°，選項(xiàng)D不正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-4】（2022秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠ABC＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①CE＝CF；②∠E＝30°；③線段EF的最小值為23；④當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【分析】①由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF，從而判斷正誤；②由對(duì)稱性質(zhì)得BC⊥DE，∠BCD＝∠BCE，當(dāng)∠BCD≠60°時(shí)，∠E≠30°，從而判斷正誤；③根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值，從而判斷正誤；④連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO＝90°，從而得到EF與半圓相切，從而判斷正誤．【解答】解：①連接CD，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①的結(jié)論正確；②∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴DE⊥BC，∠BCD＝∠BCE，當(dāng)∠BCD≠60°時(shí)，∠E≠30°，故②的結(jié)論錯(cuò)誤；③當(dāng)CD⊥AB時(shí)，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°．∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD=12BC＝2根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為23．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴線段EF的最小值為43．故③的結(jié)論錯(cuò)誤；③當(dāng)AD＝2時(shí)，連接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2．∴AD＝DO．∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∴∠BCO＝30°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠ECB＝∠DCB＝60°．∴∠ECO＝90°．∴OC⊥EF．∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．故④的結(jié)論正確；故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析．題型八利用切線的性質(zhì)求角度題型八利用切線的性質(zhì)求角度【例題8】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P＝40°，當(dāng)∠B等于（）時(shí)，PA與⊙O相切．A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】先利用切線的性質(zhì)求出∠AOP＝50°，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，∵OB＝OC，∴∠AOP＝2∠B，∴∠B=12∠故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，求出∠AOP是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉已知切線，通常需連接過切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)可得到直角，然后結(jié)合圓周角定理及其推論，找到要求的角與已知角之間的聯(lián)系，從而求出角度.【變式8-1】（2023?李滄區(qū)三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AC交⊙O于D，∠C＝38°．點(diǎn)E在AB右側(cè)的半圓上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），則∠AED的大小是（）A．62° B．52° C．38° D．28°【分析】首先連接BD，由AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，根據(jù)圓周角定理與切線的性質(zhì)，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易證得∠AED＝∠ABD＝∠C．【解答】解：如圖，連接BD，∵AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠C＝38°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式8-2】（2022秋?棲霞市期末）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AC切⊙O于點(diǎn)C，D點(diǎn)在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCA＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A．【解答】解：∵∠D＝25°，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥AC∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線．【變式8-3】（2023?安岳縣二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，EA切⊙O于點(diǎn)A，交CD的延長線于點(diǎn)E．若∠ABC＝75°，則∠E的度數(shù)為．【分析】連接BC、AD，則∠ADC＝∠ABC＝75°，由OA＝OD，得∠OAD＝∠ADC＝75°，則∠AOE＝30°，由切線的性質(zhì)得∠OAE＝90°，則∠E＝90°﹣∠AOE＝60°，于是得到問題的答案．【解答】解：連接BC、AD，則∠ADC＝∠ABC＝75°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC＝75°，∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵EA切⊙O于點(diǎn)A，∴EA⊥OA，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、切線的性質(zhì)定量、直角三角形的兩個(gè)內(nèi)角互余等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（2023?福鼎市模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在BC的延長線上，AD與⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，則∠BAD等于（）A．95° B．100° C．110° D．120°【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOC＝80°，再由等腰三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)可求出∠CAD＝40°＝∠D，由三角形內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：如圖，連接OA、OC，∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=180°?80°∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝40°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和是180°是正確解答的前提．【變式8-5】（2023?臨汾模擬）如圖，已知點(diǎn)D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長線于點(diǎn)C，BE與⊙O相切，交直線CD于點(diǎn)E．（1）判斷BE與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度數(shù)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBE＝∠ODE＝90°，從而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EB＝ED；（2）先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）BE＝DE，理由：連接OD，∵BE與⊙O相切于點(diǎn)B，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED；（2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°，∴∠E＝90°﹣∠C＝70°，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB=180°?∠E∴∠EBD的度數(shù)為55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．題型九利用切線的性質(zhì)求線段長題型九利用切線的性質(zhì)求線段長【例題9】（2023?開州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，BC與⊙O相切于點(diǎn)C，線段BO交⊙O于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC于點(diǎn)D．若CD＝3，AB＝4，則⊙O的半徑等于（）?A．4 B．5 C．6 D．12【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根據(jù)勾股定理得到BD=AB2【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切線，∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BD=A∴BC＝8，∵OC2+BC2＝OB2，∴OA2+82＝（OA+4）2，解得OA＝6，∴⊙O的半徑等于6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用切線的性質(zhì)求線段長度時(shí)，通常利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，抓住題目中的已知條件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量關(guān)系求解.當(dāng)題目中含有特殊角時(shí)，可以含30°或45°的直角三角形的性質(zhì)求解.【變式9-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P為BA延長線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)D，連接BC．若CD＝2，BD＝4，則⊙O的半徑為（）A．3 B．2 C．2.5 D．25【分析】連接OC，作OI⊥BD于點(diǎn)I，由PC與⊙O相切于點(diǎn)C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)D，則∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四邊形OCDI是矩形，則OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝2.5，于是得到問題的答案．【解答】解：∵連接OC，作OI⊥BD于點(diǎn)I，∵PC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴PC⊥OC，∵BD⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)D，∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，∴四邊形OCDI是矩形，∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，∵∠OIB＝90°，BD＝4，∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，∴（4﹣OB）2+22＝OB2，解得OB＝2.5，∴⊙O的半徑為2.5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線并且根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C．22 D．【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠OBD＝90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△OAB為等邊三角形，得到∠AOB＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD=OD2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O是斜邊AB邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點(diǎn)D，連接AD，若AD＝BD，⊙O的半徑為4，則CD的長度為（）?A．23 B．4 C．3 D．5【分析】由切線的性質(zhì)得BC⊥OD，則∠ODB＝∠C＝90°，所以O(shè)D∥AC，則∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因?yàn)锳D＝BD，所以∠BAD＝∠B，則∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以O(shè)B＝2OD＝8，則AD＝BD=OB2?OD2=43【解答】解：∵⊙O與邊BC相切于點(diǎn)D，∠C＝90°，∴BC⊥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴OB＝2OD＝2×4＝8，∴AD＝BD=OB2∴CD=12AD=12×故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、勾股定理等知識(shí)，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2022?瀘縣一模）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的弦，過O作OH⊥AC于點(diǎn)H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半徑和AC的長．【分析】利用切線的性質(zhì)得∠OAB＝90°，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OA＝5，再根據(jù)垂徑定理得到AH＝CH，接著利用勾股定理計(jì)算出AH，從而得到AC的長．【解答】解：∵AB為切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，在Rt△OAB中，OA=O∵OH⊥AC，∴AH＝CH，在Rt△OAH中，AH=O∴AC＝2AH＝8，答：⊙O的半徑為5，AC的長為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理．【變式9-5】（2023?銀川校級(jí)四模）如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．（1）求證：⊙D與AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．【分析】（1）過D作DF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)定理可得BD＝FD即可證明：⊙D與AC相切；（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的長，設(shè)圓的半徑為x，利用切線長定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，進(jìn)而求出AE的長．【解答】（1）證明：過D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，∴BD＝DF，∴⊙D與AC相切；（2）解：設(shè)圓的半徑為x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB=A∵AC，BC，是圓的切線，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x=3∴AE＝4﹣3＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長定理以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．題型十切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型十切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題10】（2022秋?嘉陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，在⊙O中，PA是直徑，PC是弦，PH平分∠APB且與⊙O交于點(diǎn)H，過H作HB⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)B．（1）求證：HB是⊙O的切線；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直徑．【分析】（1）連接OH，由題意可得∠