2025屆河北省普通高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2025屆河北省普通高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為C上一點(diǎn)，且，，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.2．下列說(shuō)法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.03．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于A(yíng)，B兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.6．若拋物線(xiàn)焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.7．復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．若，則（）A. B.C. D.9．在的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.810．已知全集，，（）A. B.C. D.11．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線(xiàn)C.線(xiàn)段 D.不能確定12．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)l，交拋物線(xiàn)與A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F為，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)A，與該拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則______14．已知點(diǎn)，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)_________.15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)公式______16．拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則的值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓()與橢圓的焦點(diǎn)相同，且橢圓C過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由；（3）P是橢圓C上異于上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)，，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線(xiàn)OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線(xiàn)段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值18．（12分）已知的展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中含的項(xiàng)19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，直線(xiàn)過(guò)與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8（1）求的方程；（2）過(guò)作直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且向量與方向相同，求四邊形面積的取值范圍20．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導(dǎo)演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點(diǎn)8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來(lái)了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因?yàn)橛捌心概g的這份簡(jiǎn)單、純粹、誠(chéng)摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動(dòng)了萬(wàn)千觀(guān)眾，才贏(yíng)得了良好的口碑，不少觀(guān)眾都流下了感動(dòng)的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當(dāng)日隨機(jī)抽查了100名觀(guān)看《你好，煥英》的觀(guān)眾，詢(xún)問(wèn)他們?cè)谟^(guān)看影片的過(guò)程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀(guān)眾女性觀(guān)眾合計(jì)流淚20沒(méi)有流淚520合計(jì)（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為觀(guān)眾在觀(guān)看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒(méi)有流淚的觀(guān)眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機(jī)抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，滿(mǎn)足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，求的值；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)中，因?yàn)?，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.2、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線(xiàn)定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對(duì)于①，與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，故不一定成立，故①正確；對(duì)于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以?xún)蓤A相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A3、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因?yàn)?，所以?xún)蓤A相交.故選：A.4、A【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得，最后計(jì)算，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)觀(guān)察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時(shí)，取最小值為-10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，難點(diǎn)在于三點(diǎn)共線(xiàn)，審清題干，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線(xiàn)定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計(jì)算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)，由雙曲線(xiàn)定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線(xiàn)半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率的方法：(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.6、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D7、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C.8、D【解析】用基本量表示可得基本量的關(guān)系式，從而可得，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，而，此時(shí)，這與題設(shè)不合，故，故，故，而，故，此時(shí)不確定，故選：D.9、B【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第和項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B10、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C11、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：A12、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求解【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，則，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義得到答案.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，∴.∵，∴，由拋物線(xiàn)的定義得，∴.故答案為：.14、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線(xiàn)斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線(xiàn)的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線(xiàn)的斜率為，故可得所求直線(xiàn)的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、【解析】利用當(dāng)時(shí)，，可求出此時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不適合上式，∴，故答案為:.16、【解析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線(xiàn)的定義將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將拋物線(xiàn)化為，由拋物線(xiàn)定義得點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，即，解得故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，；（3）證明見(jiàn)解析，定值2【解析】(1)根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)解方程組即可得到C的方程；(2)設(shè)出AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，代入由確定方程內(nèi)即可得到結(jié)果；(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求出M和N坐標(biāo)，設(shè)出圓G的圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑，由垂徑定理求得切線(xiàn)長(zhǎng)|OT|，結(jié)合P在橢圓上可證|OT|為定值﹒【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓C的方程為將點(diǎn)代入橢圓方程有點(diǎn)解得，(舍)∴橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)，代入，整理得，由得，即，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即，設(shè)存在圓與直線(xiàn)相切，則，解得，∴圓的方程為；又若AB斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)知滿(mǎn)足條件，故存在圓心在原點(diǎn)的圓符合題意；【小問(wèn)3詳解】如圖：，，設(shè)，直線(xiàn)，令，得；直線(xiàn)，令，得；解法一：設(shè)圓G的圓心為，則，，，而，∴，∴，∴，即線(xiàn)段OT長(zhǎng)度為定值2解法二：，而，∴，∴由切割線(xiàn)定理得．∴，即線(xiàn)段OT的長(zhǎng)度為定值218、（1）10；（2）；【解析】(1)利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求出的值；(2)求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為即可求解【小問(wèn)1詳解】∵的展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開(kāi)后一共有11項(xiàng)，則，解得；【小問(wèn)2詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，∴展開(kāi)式中含的項(xiàng)為19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件直接求出半焦距，及長(zhǎng)半軸長(zhǎng)即可作答.(2)根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得四邊形為平行四邊形，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，橢圓半焦距，由橢圓定義知，的周長(zhǎng)，解得，，因此橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，由消去并整理得：，則，，因與方向相同，即，又橢圓是以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，于是得，即四邊形為平行四邊形，其面積，則，令，則，則，顯然在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，從而可得，所以四邊形面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)l：y=kx+b交圓錐曲線(xiàn)于點(diǎn)，，則面積；過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)l：x=ty+a交圓錐曲線(xiàn)于點(diǎn)，，則面積20、（1）填表見(jiàn)解析；有99.9%的把握認(rèn)為觀(guān)眾在觀(guān)看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒(méi)有流淚的觀(guān)眾人數(shù)并編號(hào)，用列舉法寫(xiě)出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】解：（1）男性觀(guān)眾女性觀(guān)眾合計(jì)流淚206080沒(méi)有流淚15520合計(jì)3565100所以有99.9%的把握認(rèn)為觀(guān)眾在觀(guān)看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒(méi)有流淚的觀(guān)眾中抽取5人，則流淚的觀(guān)眾抽到人，記為，，，，沒(méi)有流淚的觀(guān)眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)，求出是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，求出的公差，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）分組求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②，①－②得：，即③，令得：，滿(mǎn)足③，綜上：是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，設(shè)的公差為d，則，因?yàn)?，所以，解得：?（舍去），所以【小問(wèn)2詳解】，則22、（1）；（2）.【解析】（1）