2025屆安徽省六安市青山中學高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆安徽省六安市青山中學高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若橢圓的短軸為,一個焦點為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.2．設、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．已知f(x)為R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且對于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)5．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與圓相切于點，交雙曲線的右支于點，且點是線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.58．已知角的終邊經(jīng)過點，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，9．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形10．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（）A. B.C. D.12．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.14．無窮數(shù)列滿足：只要必有則稱為“和諧遞進數(shù)列”.已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，則=_________.15．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號)（1）如圖①所示，開關A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件16．已知等差數(shù)列中，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由18．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.19．（12分）已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，點M在拋物線C的準線上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當λ＝3時，求|AB|的值；（2）當λ∈[]時，求|+|的最大值20．（12分）已知平面直角坐標系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關于直線對稱，求的最大值.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.點P是橢圓上的一動點，且P在第一象限.記的面積為S，當時，.（1）求橢圓E的標準方程；（2）如圖，PF1，PF2的延長線分別交橢圓于點M，N，記和的面積分別為S1和S2.（i）求證：存在常數(shù)λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.22．（10分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經(jīng)濟很快得到復蘇.在餐飲業(yè)恢復營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計了近天內每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計（1）求、、的值，并估計該快餐店在前天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計這家快餐店這天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】因為為等邊三角形,所以.考點：橢圓的幾何性質.點評：橢圓圖形當中有一個特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.2、B【解析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關系，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】選項A.一條直線垂直于一平面內的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項A不正確.選項B.,則正確，故選項B正確.選項C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項C不正確.選項D.若，則與可能相交，可能平行，故選項D不正確.故選：B3、C【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的4、D【解析】通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)確定正確答案.【詳解】構造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D5、A【解析】根據(jù)不等式性質及對數(shù)函數(shù)的單調性判斷命題的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復合命題真假的判斷方法即可得出結論.【詳解】解：若，且，則，當時，，所以，當時，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.6、D【解析】焦點三角形問題，可結合為三角形的中位線，判斷：焦點三角形為直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出關系，從而得到關系，從而求得漸近線方程.【詳解】由題意知，，且點是線段的中點，點是線段的中點，為三角形的中位線故，故，由雙曲線定義有由勾股定理有故則則，故故漸近線方程為：故選：D【點睛】雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的關系7、C【解析】直線l過定點D(1，1)，當時，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點，∵，故D在圓C內部，直線l始終與圓相交，當時，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.8、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點，則,，（為坐標原點），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應用，屬于基礎題9、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【詳解】因為，所以，由余弦定理，因為，所以，又，∴，故為直角三角形.故選：B.10、D【解析】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.11、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個元素相差的取法有、、共3種.故這兩個元素相差的概率為.故選：B.12、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，將代入橢圓方程，結合離心率為以及性質列方程組求得與的值，從而可得結果.【詳解】設直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：514、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：757815、（1）（2）（3）【解析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結果，但結果不一定需要該條件成立；必要條件是有結果必須有這一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結果可以互推；條件和結果沒有互推關系的是既不充分也不必要條件【詳解】（1）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項（1）正確.（2）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項（2）正確.（3）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充要條件，選項（3）正確.（4）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項（4）錯誤.故答案為（1）（2）（3）.16、4【解析】由等差數(shù)列的通項公式求出公差，進而求出.【詳解】設該等差數(shù)列的公差為，則，所以.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.18、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關系；拋物線的標準方程19、（1）（2）【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關系可得的A，B的橫坐標的關系聯(lián)立求出直線AB的斜率，再由拋物線的性質可得焦點弦的值；（2）由（1）的解法類似的求出AB的中點N的坐標，可得直線AB的斜率與λ的關系，再由λ的范圍，求出直線AB的斜率的范圍，由題意設直線MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標，進而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問1詳解】當λ＝3時，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因為拋物線C：x2＝4y的焦點為F（1，0），準線方程為y＝﹣1，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，顯然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，則（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③聯(lián)立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由拋物線的性質可得|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值為；【小問2詳解】由（1）可得AB中點N（2k，2k2+2），由＝λ，則x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④聯(lián)立4k2λ＝（1﹣λ）2，因為λ∈[]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，則函數(shù)y先減后增，所以λ＝2或時，y最大且為2+，此時4k2最大，且為，所以k2的最大值為：，直線MF的方程為：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，即M（2k，﹣1），因為|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，所以|+|的最大值為20、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設點，列方程即可.（2）點關于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心