天津市重點名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

天津市重點名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元2．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.3．橢圓的長軸長是（）A.3 B.4C.6 D.84．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.5．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.256．已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.808．某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.749．已知實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或10．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.411．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.12．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為________14．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務(wù)獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數(shù)為__________.(結(jié)果用數(shù)值表示)15．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________16．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求取值范圍.18．（12分）已知關(guān)于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍.19．（12分）數(shù)列{}的首項為，且（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和20．（12分）一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標(biāo)記在長方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個條件：①；②，請選擇其中一個條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論21．（12分）已知等差數(shù)列中，（1）分別求數(shù)列的通項公式和前項和；（2）設(shè)，求22．（10分）在2016珠海航展志愿服務(wù)開始前，團珠海市委調(diào)查了北京師范大學(xué)珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)和賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的情況，數(shù)據(jù)如下表：單位：人參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)88未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)430（1）從該班隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個培訓(xùn)的概率；（2）在既參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A，A，A，A，A名女同學(xué)B，B，B現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數(shù)列的實際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解2、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.3、D【解析】根據(jù)橢圓方程可得到a，從而求得長軸長.【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長軸長為，故選:D.4、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故選：C5、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.6、B【解析】由拋物線知識得出準(zhǔn)線方程，再由點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離求出，從而得出方程.【詳解】由題意知，則準(zhǔn)線為，點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，∴，則故選：B.7、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.8、D【解析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【點睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題9、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為實數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時，表示焦點在軸上的橢圓，此時；當(dāng)時，表示焦點在軸上的雙曲線，此時.故選：C.10、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A11、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.12、C【解析】根據(jù)向量線性運算法則計算即可.【詳解】故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直線，向下平移過點時，取得最大值，求出點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】作出可行域如圖（圖中陰影部分），由，得，作出直線，向下平移過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：114、18【解析】由題設(shè)，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應(yīng)用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.15、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.16、【解析】結(jié)合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)時,在是單調(diào)遞增；時,在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解析】（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）的定義域為,,若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a取值范圍是.考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想.18、（1）（2）【解析】（1）因式分解后可求不等式的解集.（2）就分類討論后可得的取值范圍.【小問1詳解】時，原不等式即為，其解為.【小問2詳解】不等式的解集為R，當(dāng)時，則有，解得，綜上，.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】(1)利用給定的遞推公式變形，再利用等比數(shù)列定義直接判斷并求出通項得解.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法計算作答.【小問1詳解】數(shù)列{}中，，則，由得：，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列{}的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，，則，所以數(shù)列{}的前n項和.20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）由展開圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖，【小問2詳解】若選擇①，若此時有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因為，則平面，由平面可得，故此時矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.21、（1），（2）【解析】（1）利用可以求出公差，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）通過（1）判斷符號，進而分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為,，，，【小問2詳解】解：由（1）可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個培訓(xùn)的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學(xué)和3名女