2025屆山西省長治市上黨聯盟高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆山西省長治市上黨聯盟高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數，則（）A B.C. D.2．若存在，使得不等式成立，則實數k的取值范圍為（）A. B.C. D.3．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.4．已知空間四個點，，，，則直線AD與平面ABC所成的角為（）A. B.C. D.5．已知半徑為2的圓經過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.136．已知F為橢圓的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.7．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.8．已知集合，，則（）A. B.C. D.9．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.110．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個不同平面.設有兩個命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.11．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.12．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質，它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長為2，則它的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用組成所有沒有重復數字的五位數中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數共有____________個.(結果用數值表示)14．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標；（2）直線BC的方程；15．已知圓錐的母線長為cm，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為____cm.16．某校學生在研究折紙實驗中發(fā)現，當對折后紙張達到一定的厚度時，便不能繼續(xù)對折了．在理想情況下，對折次數與紙的長邊和厚度有關系：．現有一張長邊為30cm，厚度為0.05cm的矩形紙，根據以上信息，當對折完4次時，的最小值為________；該矩形紙最多能對折________次．（參考數值：，）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個經銷鮮花產品的微店，為保障售出的百合花品質，每天從云南鮮花基地空運固定數量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應商處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進價1.6元，本地供應商處百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量（單位：支）依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數和眾數，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）預計四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進貨價格與售價均不變，請根據（Ⅰ）中頻率分布直方圖判斷（同一組中的需求量數據用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率），微店每天從云南固定空運250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會更大？18．（12分）已知數列滿足，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式;（2）設數列的前項和為，求的最小值及此時的值.19．（12分）在棱長為的正方體中，、分別為線段、的中點.（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線到平面的距離.20．（12分）已知直線：，直線：（1）若，之間的距離為3，求c的值：（2）求直線截圓C：所得弦長21．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由.22．（10分）已知拋物線C：，經過的直線與拋物線C交于A，B兩點（1）求的值（其中為坐標原點）；（2）設F為拋物線C的焦點，直線為拋物線C的準線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點M，與直線相交于點N，證明：點P在拋物線C上移動時，恒為定值，并求出此定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據復數的乘法運算即可求解.【詳解】由，故選：A2、C【解析】根據題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，令，利用導數討論函數的單調性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當，單調遞增，當，單調遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C3、D【解析】應用兩點式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D4、A【解析】根據向量法求出線面角即可.【詳解】設平面的法向量為，直線AD與平面ABC所成的角為令，則則故選：A【點睛】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.5、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B6、D【解析】根據題意表示出點的坐標，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當時，，得，由題意可得點在第一象限，所以，因為直線AB的斜率為，所以，化簡得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D7、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A8、B【解析】根據根式、分式的性質求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【詳解】∵，，∴故選：B9、C【解析】根據直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，所以，因為，所以，因為直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C10、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關系判斷2個命題的真假，再利用復合命題的真值表判斷選項的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：11、D【解析】設橢圓的方程為，根據題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設橢圓的方程為，因為橢圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因為橢圓的面積為，可得，即，聯立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.12、C【解析】由幾何關系先求出一個正四面體的高，再結合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設底面中心為，連接，由幾何關系知，，則正八面體體積為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因為滿足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數有.故答案為：14、（1）；（2）.【解析】（1）設出點C的坐標，進而根據點C在中線上及求得答案；（2）設出點B的坐標，進而求出點M的坐標，然后根據中線的方程及求出點B的坐標，進而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設C點的坐標為，則由題知，即.【小問2詳解】設B點的坐標為，則中點M坐標代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.15、【解析】根據題意可知圓錐側面展開圖的半圓的半徑為cm，再根據底面圓的周長等于側面的弧長，即可求出結果.【詳解】設底面圓的半徑為，由于側面展開圖是一個半圓，又圓錐的母線長為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.16、①.64②.6【解析】利用即可求解，利用和換底公式進行求解.【詳解】令，則，則，即，即當對折完4次時，最小值為；由題意，得，，則，所以該矩形紙最多能對折6次.故答案為：64，6.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）四月后20天總利潤更大【解析】（Ⅰ）根據眾數的定義直接可求出眾為255.利用平均數的公式可以求出平均數．根據給定的分組，通過計算完成頻率分布直方圖（Ⅱ）設訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可以求出可能取值、每個可能取值相應頻率，每個可能取值相應的天數．分別求出空運250支，255支百合花時，銷售總利潤的大小，進行比較，得出結論【詳解】解：（Ⅰ）四月前10天訂單中百合需求量眾數為255，平均數頻率分布直方圖補充如下：（Ⅱ）設訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可能取值為235，245，255，265，相應頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中相應的天數為2天，6天，8天，4天.①若空運250支，當日利潤為，，當日利潤為，，當日利潤為，，當日利潤為，20天總利潤為元.②若空運255支，當日利潤為，，當日利潤為，，當日利潤為，，當日利潤為，20天總利潤為元.∵，∴每天空運250支百合花四月后20天總利潤更大.【點睛】本題考查了眾數、平均數、頻率分布直方圖；重點考查了學生通過閱讀，提取有用信息，用數學知識解決實際生活問題的能力18、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數列為公差為的等差數列，結合，，成等比數列，列出方程求得，即可得到數列的通項公式；（2）由，得到時，，當時，，當時，，結合等差數列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數列滿足，所以數列為公差為的等差數列，又由，，成等比數列，可得，即，解得，所以數列的通項公式.【小問2詳解】解：由數列的通項公式，令，即，解得，所以當時，；當時，；當時，，所以當或時，取得最小值，最小值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）證明出平面，利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【小問1詳解】解：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、，設平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個法向量為，，因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【小問2詳解】解：，則，所以，，因為平面，所以，平面，，所以，直線到平面的距離為.20、（1）或（2）【解析】（1）根據兩條平行直線的距離公式列方程，化簡求得的值.（2）利用弦長公式求得.【小問1詳解】因為兩條平行直線：與：間的距離為3，所以解得或.【小問2詳解】圓C：，圓心為，半徑為.圓心到直線的距離為，所以弦長21、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系22、（1）