云南省騰沖縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

云南省騰沖縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，其漸近線(xiàn)上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)滿(mǎn)足，則（）A. B.C.2 D.45．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在截面上（含邊界），則線(xiàn)段的最小值等于（）A. B.C. D.7．已知拋物線(xiàn)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.9．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．下列雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線(xiàn)方程為的是A. B.C. D.11．用3，4，5，6，7，9這6個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個(gè)B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個(gè)C.在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有504個(gè)D.在這樣六位數(shù)中，4個(gè)奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個(gè)12．青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國(guó)瓷器的主流品種之一．如圖，是一青花瓷花瓶，其外形上下對(duì)稱(chēng)，可看成是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面．若該花瓶的瓶口直徑為瓶身最小直徑的2倍，花瓶恰好能放入與其等高的正方體包裝箱內(nèi)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，是雙曲線(xiàn)與橢圓的共同焦點(diǎn)，點(diǎn)P是兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且為等腰三角形，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為_(kāi)_____14．狄利克雷是十九世紀(jì)德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn).狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.15．已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16．曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)的斜率為，該切線(xiàn)的方程為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角的余弦值為.（1）求PD的長(zhǎng)；（2）求異面直線(xiàn)BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線(xiàn)AF與平面BCF所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若在上存在極值點(diǎn)，證明：.19．（12分）求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且焦距為6.20．（12分）已知等比數(shù)列前3項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意恒成立，求m的取值范圍21．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：PB∥面AEC；（2）設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點(diǎn)的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則排除選項(xiàng)、,當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則排除，故選：.2、C【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù)，所以.故選：C3、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離，所以弦長(zhǎng)為.故選：A.4、B【解析】由題意可設(shè)，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故設(shè)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故選：B5、B【解析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則.故選：B.6、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得故選：B7、D【解析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故選：D.8、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項(xiàng)A.故選：A.9、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.10、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線(xiàn)方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)11、A【解析】A選項(xiàng)，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個(gè)數(shù)；B選項(xiàng)，相鄰問(wèn)題捆綁法求解；C選項(xiàng)，不相鄰問(wèn)題插空法求解；D選項(xiàng)，定序問(wèn)題使用倍縮法求解.【詳解】用3，4，5，6，7，9這6個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，個(gè)位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個(gè)數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有個(gè)，A正確；在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進(jìn)行全排列，故共有個(gè)，B錯(cuò)誤；在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進(jìn)行全排列，再?gòu)奈鍌€(gè)位置中任選兩個(gè)將4,6排列，綜上共有個(gè)，C錯(cuò)誤；在這樣的六位數(shù)中，4個(gè)奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：A12、C【解析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a，根據(jù)已知條件點(diǎn)（2a，2a）在雙曲線(xiàn)上，代入雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系可求得離心率e的值【詳解】由題意作出軸截面如圖：M點(diǎn)是雙曲線(xiàn)與截面正方形的交點(diǎn)之一，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：最短瓶口直徑為A1A2＝2a，則由已知可得M是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化簡(jiǎn)后得，解得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件求出兩曲線(xiàn)的共同焦點(diǎn)，再由橢圓、雙曲線(xiàn)定義求出a，b即可計(jì)算作答.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓、雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)榈妊切?，由橢圓的定義知：，則，，由雙曲線(xiàn)定義知：，即，，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線(xiàn)(a>0,b>0)漸近線(xiàn)方程為，而雙曲線(xiàn)(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.14、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè)，，則.故答案：115、【解析】函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)即y=a與g(x)=圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出近似圖象即得a的范圍﹒【詳解】∵函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令，則y=a與g(x)=圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，∴當(dāng)時(shí)，y=a與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)﹒故答案為：﹒16、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線(xiàn)斜率求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解得，即有切點(diǎn)，則切線(xiàn)的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，和求切線(xiàn)方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長(zhǎng)；（2）由空間向量法求異面直線(xiàn)所成的角；（3）由空間向量法求線(xiàn)面角【小問(wèn)1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線(xiàn)，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，，即，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)槎娼怯嘞抑禐?所以，（負(fù)值舍去）所以；【小問(wèn)2詳解】由（1），，，，所以異面直線(xiàn)BF與PA所成角的余弦值為【小問(wèn)3詳解】由（1）平面的一個(gè)法向量為，又，，所以直線(xiàn)AF與平面BCF所成角的正弦值為18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，分類(lèi)討論，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（2）由（1）可知，在存在極值點(diǎn)，則且，求得，再兩次求導(dǎo)即可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，由，得，在，上為增函數(shù)，則，在,上恒成立，滿(mǎn)足命題，當(dāng)時(shí)，由，得，在上為減函數(shù)，，時(shí)，，即，不滿(mǎn)足恒成立，不成立，綜上：的取值范圍為.小問(wèn)2詳解】證明：由（1）可知，在存在極值點(diǎn)，則且即：要證只需證即證又由（1）可知在上為增函數(shù)，且,成立.要證只需證即證：設(shè)則即在上增函數(shù)在為增函數(shù)成立.綜上，成立.19、（1）或（2）【解析】（1）待定系數(shù)法去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）待定系數(shù)法去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，解之得，則所求橢圓方程為當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，解之得，則所求橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】橢圓方程可設(shè)為，則，解之得，則橢圓方程為20、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的基本量，列式，即可求得首項(xiàng)和公比，再求通項(xiàng)公式；（2）由題意轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值，即可求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，①，即，得，即，代入①得，解得：，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，，若對(duì)任意恒成立，即，數(shù)列，,單調(diào)遞增,的最大值無(wú)限趨近于4，所以21、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問(wèn)1詳解】解：以點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線(xiàn)與平面的夾角為，則，直線(xiàn)與平面的正弦值為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樗渣c(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為22、（1）證明見(jiàn)解析；（2