人教版九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題24.4圓周角特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.4圓周角【名師點睛】1.圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”---圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．【典例剖析】【例1】如圖，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC與（1）求證：AD∥BC；（2）直接寫出四邊形BCDE的形狀【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于點D、E，連DE，AD=BE．求證：（1）DE∥AB；（2）DC=EC．【例2】（2021?淅川縣一模）如圖，在△ACE中，AC＝CE，⊙O經(jīng)過點A，C且與邊AE，CE分別交于點D，F(xiàn)，點B是上一點，且，連接AB，BC，CD．（1）求證：△CDE≌△ABC；（2）若AC為⊙O的直徑，填空：①當∠E＝時，四邊形OCFD為菱形；②當∠E＝時，四邊形ABCD為正方形．【變式2】（2021秋?諸暨市月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?浦城縣期中）如圖，⊙O的直徑AB＝4，點C在⊙O上，∠ABC＝30°，則BC的長是（）A．4 B． C． D．22．（2021秋?韓城市期中）如圖，點A，B，C是⊙O上的三個點，若∠AOB＝76°，則∠C的度數(shù)為（）A．24° B．33° C．38° D．76°3．（2021秋?柳江區(qū)期中）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點，設(shè)∠ABC＝35°，則∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．55°4．（2021秋?丹江口市期中）如圖，A、B、C三點都在⊙O上，∠ABO＝43°，則∠ACB＝（）A．43° B．45° C．47° D．50°5．（2021秋?新洲區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．35° D．50°6．（2022春?永豐縣期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，則AD的長為（）A．3﹣4 B．2 C．6﹣2 D．37．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（）A．4 B． C． D．8．（2021秋?五華區(qū)校級期中）下列語句中不正確的有（）①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等弧；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個9．（2019秋?東?？h期中）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．410．（2021?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若＝，設(shè)∠ABC＝α，則α所在的范圍是（）A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°二．填空題（共8小題）11．（2021秋?濱湖區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠DCE＝55°，則∠BOD＝°．12．（2019秋?江陰市期中）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，＝．若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)等于．13．（2018秋?江都區(qū)校級期中）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則∠D＝°．14．（2022春?東臺市期中）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點，若∠AOC＝50°，則∠D的度數(shù)．15．（2022春?定遠縣期中）如圖，AB是半圓O的直徑，AC＝AD，∠CAB＝20°，OE⊥CD，OE＝，則半圓O的直徑AB是．16．（2021秋?海陵區(qū)校級月考）如圖，半徑為3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，設(shè)AB＝a，CD＝b，則a2+b2＝．17．（2019?無錫模擬）AB為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點P在半圓上，斜邊過點B，一條直角邊交該半圓于點Q．若AB＝6，則線段BQ的長為．18．（2021?安鄉(xiāng)縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，AC＝BC，AD與CB交于點E．∠DAB＝20°，則∠E＝．三．解答題（共6小題）19．（2020秋?臺江區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點D，點E在⊙O上，連接OA、DE、BE．（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半徑長．20．（2021秋?海淀區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D在AB上，且AD＝AC，CD的延長線與⊙O交于點E．（1）求證：∠CAB＝2∠BCE；（2）若AB＝4，CE＝2，求∠BCE的度數(shù)．21．（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，AB＝AC，AB為⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于點E、D，連接ED、BE．（1）試判斷DE與DC是否相等，并說明理由；（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直徑．22．（2021?黃岡一模）如圖，在⊙O中，B是⊙O上的一點，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于點D，連接MA，MC．（1）求⊙O半徑的長；（2）試探究線段AB，BC，BM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.4圓周角【名師點睛】1.圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”---圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．【典例剖析】【例1】如圖，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC與（1）求證：AD∥BC；（2）直接寫出四邊形BCDE的形狀【答案】（1）見解析；（2）菱形【解析】【分析】（1）利用同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等證明即可；（2）利用線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，證明一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可.【詳解】（1）連接BD，∵AB=∴∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC；（2）如圖，連接OB，OD，∵AB=∴AB=BC=CD，∠ADB=∠BDC，∵OB=OD，∴OC是線段BD的垂直平分線，∴BD⊥EC，∵∠ADB=∠BDC，∴DE=DC，∴DE=BC，∵DE∥BC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∵BC=CD，∴四邊形DEBC是菱形，故答案為：菱形．【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，線段的垂直平分線，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握圓的性質(zhì)，靈活運用菱形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于點D、E，連DE，AD=BE．求證：（1）DE∥AB；（2）DC=EC．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接BD，AE，利用圓周角定理證明∠AED=∠EAB，即可證明DE∥AB；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角相等以及鄰補角性質(zhì)得到∠CDE=∠ABE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠CED=∠CDE，即可證明DC=EC．【詳解】（1）證明：連接BD，AE，∵AD=BE，∴AD=BE．∴∠ABD=∠EAB，∵AD=AD，∴∠ABD=∠AED，∴∠AED=∠EAB，∴DE∥AB；（2）∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EDA＋∠ABE=180°，又∠EDA＋∠CDE=180°，∴∠CDE=∠ABE，∵DE∥AB，∴∠CED=∠ABE．∴∠CED=∠CDE．∴DC=EC．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．【例2】（2021?淅川縣一模）如圖，在△ACE中，AC＝CE，⊙O經(jīng)過點A，C且與邊AE，CE分別交于點D，F(xiàn)，點B是上一點，且，連接AB，BC，CD．（1）求證：△CDE≌△ABC；（2）若AC為⊙O的直徑，填空：①當∠E＝60°時，四邊形OCFD為菱形；②當∠E＝45°時，四邊形ABCD為正方形．【分析】（1）先判斷出∠BAC＝∠DCE，進而得出∠CDE＝∠ABC，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出點D是AE的中點，再利用DF∥AC，點F是CE的中點，即可得出AC＝AE，即可得出結(jié)論；②先判斷出AD＝CD，∠ADC＝90°，進而得出∠ACD＝45°，再判斷出∠DCE＝∠ACD＝45°，即可得出∠ACE＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如圖，①連接AF，∵AC是直徑，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四邊形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（經(jīng)過三角形一邊的中點平行于一邊的直線必平分第三邊），∵DF∥AC，∴CF＝EF（經(jīng)過三角形一邊的中點平行于一邊的直線必平分第三邊），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分線上的點到兩端點的距離相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等邊三角形，∴∠E＝60°；故答案為：60°；②∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案為：45°．【變式2】（2021秋?諸暨市月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由直徑所對的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，先證明α+β＝45°，再過B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，將相關(guān)線段代入即可得出結(jié)論；【解析】（1）如圖1，∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，過B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?浦城縣期中）如圖，⊙O的直徑AB＝4，點C在⊙O上，∠ABC＝30°，則BC的長是（）A．4 B． C． D．2【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，進而利用直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊一半，求出即可．【解析】∵直徑AB＝4，∴∠ACB＝90°，∵點C在⊙O上，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，∴BC＝＝＝2，故選：C．2．（2021秋?韓城市期中）如圖，點A，B，C是⊙O上的三個點，若∠AOB＝76°，則∠C的度數(shù)為（）A．24° B．33° C．38° D．76°【分析】利用圓周角定理直接求解即可．【解析】∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝76°，∴∠C＝38°，故選：C．3．（2021秋?柳江區(qū)期中）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點，設(shè)∠ABC＝35°，則∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．55°【分析】由AB是直徑可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝35°可知∠CAB＝55°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC的度數(shù)，即可得出答案．【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝55°，∴∠BDC＝∠CAB＝55°，故選：D．4．（2021秋?丹江口市期中）如圖，A、B、C三點都在⊙O上，∠ABO＝43°，則∠ACB＝（）A．43° B．45° C．47° D．50°【分析】利用圓周角定理，求出∠AOB即可解決問題．【解析】∵OA＝OB，∴ABO＝∠OAB＝43°，∴∠AOB＝180°﹣43°﹣43°＝94°，∴∠ACB＝∠AOB＝47°，故選：C．5．（2021秋?新洲區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．35° D．50°【分析】如圖，連接OD，BD．利用圓周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得結(jié)論．【解析】如圖，連接OD，BD．∵＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，∴∠OBD＝∠ODB＝20°，∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，故選：B．6．（2022春?永豐縣期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，則AD的長為（）A．3﹣4 B．2 C．6﹣2 D．3【分析】延長BA、DC交于E，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABC+∠D＝180°，求出∠D＝90°，∠EBC＝90°，∠E＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，設(shè)BC＝x，則BE＝x，EC＝2x，求出AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，根據(jù)DE＝AD得出2+2x＝×，求出x，再求出AD即可．【解析】延長BA、DC交于E，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠D＝90°，∠EBC＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠E＝30°，∴EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，設(shè)BC＝x，則BE＝x，EC＝2x，∵AB＝3，CD＝2，∴AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，∵DE＝AD，∴2+2x＝×，解得：x＝3﹣4，即AD＝＝6﹣2，故選：C．7．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（）A．4 B． C． D．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解析】過點C作CH⊥BD于H，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5，∵BD平分∠ABC，∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，∴DH＝＝，∴BD＝BH+DH＝，故選：B．8．（2021秋?五華區(qū)校級期中）下列語句中不正確的有（）①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等?。虎軋A是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】根據(jù)垂徑定理的推論、等弧的概念、軸對稱圖形、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理判斷即可．【解析】①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，本說法錯誤；②在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，本說法錯誤；③能夠完全重合的兩條弧是等弧，本說法錯誤；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，本說法錯誤；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補，本說法正確；⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等或互補，本說法錯誤；故選：A．9．（2019秋?東海縣期中）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝CD；根據(jù)線段中點的定義可得AD＝BD；根據(jù)垂徑定理可作判斷③；延長OD交⊙O于E，連接CE，根據(jù)垂徑定理可作判斷④．【解析】過D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；∴＝，由折疊得：＝，∴+＝；故③正確；延長OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯誤；故選：A．10．（2021?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若＝，設(shè)∠ABC＝α，則α所在的范圍是（）A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°【分析】如圖，連接AC，CD，DE．證明∠CAB＝3α，利用三角形內(nèi)角和定理求出α，可得結(jié)論．【解析】如圖，連接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故選：B．二．填空題（共8小題）11．（2021秋?濱湖區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠DCE＝55°，則∠BOD＝110°．【分析】首先根據(jù)鄰補角的定義求得∠BCD的度數(shù)，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)．【解析】∵∠DCE＝55°，∴∠BCD＝125°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝55°，∴∠BOD＝2∠A＝110°，故答案為：110．12．（2019秋?江陰市期中）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，＝．若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)等于55°．【分析】連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DAB，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB、∠CAB，計算即可．【解析】連接AC，∵四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故答案為：55°．13．（2018秋?江都區(qū)校級期中）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則∠D＝90°．【分析】設(shè)∠A為x，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．【解析】設(shè)∠A為x，則∠B為2x，∠C為3x，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，則x+3x＝180°，解得，x＝45°，∴∠B＝2x＝90°，∴∠D＝90°，故答案為：90．14．（2022春?東臺市期中）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點，若∠AOC＝50°，則∠D的度數(shù)115°．【分析】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，∠ABC＝∠AOC＝×50°＝25°，再利用互余計算出∠A＝65°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)確定∠D的度數(shù)．【解析】連接BC，如圖，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠AOC＝50°，∴∠ABC＝∠AOC＝×50°＝25°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣25°＝65°，∵∠D+∠A＝180°，∴∠D＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115°．15．（2022春?定遠縣期中）如圖，AB是半圓O的直徑，AC＝AD，∠CAB＝20°，OE⊥CD，OE＝，則半圓O的直徑AB是4．【分析】在等腰△ACD中，頂角∠A＝20°，易求得∠ACD＝80°；根據(jù)等邊對等角，可得：∠OCA＝∠A＝20°，由此可得，∠OCD＝60°，即可解決問題．【解析】∵AC＝AD，∠CAB＝20°，∴∠ACD＝∠ADC＝80°；∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝20°；∴∠OCD＝60°，∴OE＝OC?sin60°．∴＝OC×，∴OC＝2，∴直徑AB＝2OC＝4，故答案為：4．16．（2021秋?海陵區(qū)校級月考）如圖，半徑為3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，設(shè)AB＝a，CD＝b，則a2+b2＝36．【分析】如圖，過點O作OM⊥AB于點M交CD于點N．證明△AMO≌△ONC（AAS），推出OM＝CN＝b，再根據(jù)OA2＝AM2+OM2，可得結(jié)論．【解析】如圖，過點O作OM⊥AB于點M交CD于點N．∵AB∥CD，OM⊥AB，∴ON⊥CD，∴AM＝AB＝a，CN＝CD＝b，∵∠AOC＝∠AMO＝∠CNO＝90°，∴∠AOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，∴∠AOM＝∠OCN，在△AMO和△ONC中，，∴△AMO≌△ONC（AAS），∴OM＝CN＝b，∵OA2＝AM2+OM2，∴32＝（a）2+（b）2，∴a2+b2＝36．故答案為：36．17．（2019?無錫模擬）AB為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點P在半圓上，斜邊過點B，一條直角邊交該半圓于點Q．若AB＝6，則線段BQ的長為3．【分析】連接AQ，BQ，根據(jù)圓周角定理可得出∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】連接AQ，BQ，∵∠P＝45°，∴∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB＝6，∴2BQ2＝36，∴BQ＝3．故答案為：318．（2021?安鄉(xiāng)縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，AC＝BC，AD與CB交于點E．∠DAB＝20°，則∠E＝25°．【分析】在Rt△BDE中，求出∠BDE即可解決問題．【解析】∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝∠BDE＝90°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠DAB＝20°，∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°，∴∠DBE＝180°﹣45°﹣70°＝65°，∴∠E＝90°﹣65°＝25°，故答案為：25°．三．解答題（共6小題）19．（2020秋?臺江區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點D，點E在⊙O上，連接OA、DE、BE．（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半徑長．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠DEB的度數(shù)；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，根據(jù)垂徑定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，再解方程即可．【解析】（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠AOD＝60°，∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半徑長為5．20．（2021秋?海淀區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D在AB上，且AD＝AC，CD的延長線與⊙O交于點E．（1）求證：∠CAB＝2∠BCE；（2）若AB＝4，CE＝2，求∠BCE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是90°得出∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和即可推導(dǎo)得解；（2）連接CO并延長交⊙O于點F，連接EF，則CF＝AB＝4，∠CEF＝90°，根據(jù)勾股定理得出EF＝2＝CE，即可得到∠ECF＝∠EFC＝45°，結(jié)合∠ACB＝90°，OA＝OC，進而得出∠BCE+CAB＝45°，由（1）知∠CAB＝2∠BCE，據(jù)此即可得解．【解答】（1）證明：∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠CBA＝90°﹣∠CAB，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ADC＝∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB＝180°，∴2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB＝180°，∴2∠BCE+2（90°﹣∠CAB）+∠CAB＝180°，∴2∠BCE﹣∠CAB＝0，∴∠CAB＝2∠BCE；（2）解：如圖所示，連接CO并延長交⊙O于點F，連接EF，∵AB與CF都是圓的直徑，AB＝4，∴CF＝AB＝4，∠CEF＝90°，∵CE＝2，∴，∴EF＝CE，∴∠EC