人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專(zhuān)題24.4圓周角特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專(zhuān)題24.4圓周角【名師點(diǎn)睛】1.圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”---圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．【典例剖析】【例1】如圖，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC與（1）求證：AD∥BC；（2）直接寫(xiě)出四邊形BCDE的形狀【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于點(diǎn)D、E，連DE，AD=BE．求證：（1）DE∥AB；（2）DC=EC．【例2】（2021?淅川縣一模）如圖，在△ACE中，AC＝CE，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C且與邊AE，CE分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，點(diǎn)B是上一點(diǎn)，且，連接AB，BC，CD．（1）求證：△CDE≌△ABC；（2）若AC為⊙O的直徑，填空：①當(dāng)∠E＝時(shí)，四邊形OCFD為菱形；②當(dāng)∠E＝時(shí)，四邊形ABCD為正方形．【變式2】（2021秋?諸暨市月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點(diǎn)E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）過(guò)B作AD的平行線(xiàn)，交AC于F，試判斷線(xiàn)段EA，CF，EF之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【滿(mǎn)分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?浦城縣期中）如圖，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，則BC的長(zhǎng)是（）A．4 B． C． D．22．（2021秋?韓城市期中）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若∠AOB＝76°，則∠C的度數(shù)為（）A．24° B．33° C．38° D．76°3．（2021秋?柳江區(qū)期中）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)∠ABC＝35°，則∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．55°4．（2021秋?丹江口市期中）如圖，A、B、C三點(diǎn)都在⊙O上，∠ABO＝43°，則∠ACB＝（）A．43° B．45° C．47° D．50°5．（2021秋?新洲區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．35° D．50°6．（2022春?永豐縣期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，則AD的長(zhǎng)為（）A．3﹣4 B．2 C．6﹣2 D．37．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．8．（2021秋?五華區(qū)校級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（）①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；④圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周角相等．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)9．（2019秋?東海縣期中）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．410．（2021?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若＝，設(shè)∠ABC＝α，則α所在的范圍是（）A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°二．填空題（共8小題）11．（2021秋?濱湖區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠DCE＝55°，則∠BOD＝°．12．（2019秋?江陰市期中）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，＝．若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)等于．13．（2018秋?江都區(qū)校級(jí)期中）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則∠D＝°．14．（2022春?東臺(tái)市期中）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是上的點(diǎn)，若∠AOC＝50°，則∠D的度數(shù)．15．（2022春?定遠(yuǎn)縣期中）如圖，AB是半圓O的直徑，AC＝AD，∠CAB＝20°，OE⊥CD，OE＝，則半圓O的直徑AB是．16．（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，半徑為3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，設(shè)AB＝a，CD＝b，則a2+b2＝．17．（2019?無(wú)錫模擬）AB為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點(diǎn)P在半圓上，斜邊過(guò)點(diǎn)B，一條直角邊交該半圓于點(diǎn)Q．若AB＝6，則線(xiàn)段BQ的長(zhǎng)為．18．（2021?安鄉(xiāng)縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，AC＝BC，AD與CB交于點(diǎn)E．∠DAB＝20°，則∠E＝．三．解答題（共6小題）19．（2020秋?臺(tái)江區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，連接OA、DE、BE．（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半徑長(zhǎng)．20．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D在AB上，且AD＝AC，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)E．（1）求證：∠CAB＝2∠BCE；（2）若AB＝4，CE＝2，求∠BCE的度數(shù)．21．（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，AB＝AC，AB為⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于點(diǎn)E、D，連接ED、BE．（1）試判斷DE與DC是否相等，并說(shuō)明理由；（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直徑．22．（2021?黃岡一模）如圖，在⊙O中，B是⊙O上的一點(diǎn)，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，連接MA，MC．（1）求⊙O半徑的長(zhǎng)；（2）試探究線(xiàn)段AB，BC，BM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專(zhuān)題24.4圓周角【名師點(diǎn)睛】1.圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”---圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．【典例剖析】【例1】如圖，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC與（1）求證：AD∥BC；（2）直接寫(xiě)出四邊形BCDE的形狀【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）菱形【解析】【分析】（1）利用同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等證明即可；（2）利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，等腰三角形的性質(zhì)，證明一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可.【詳解】（1）連接BD，∵AB=∴∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC；（2）如圖，連接OB，OD，∵AB=∴AB=BC=CD，∠ADB=∠BDC，∵OB=OD，∴OC是線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)，∴BD⊥EC，∵∠ADB=∠BDC，∴DE=DC，∴DE=BC，∵DE∥BC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∵BC=CD，∴四邊形DEBC是菱形，故答案為：菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，靈活運(yùn)用菱形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于點(diǎn)D、E，連DE，AD=BE．求證：（1）DE∥AB；（2）DC=EC．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接BD，AE，利用圓周角定理證明∠AED=∠EAB，即可證明DE∥AB；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角相等以及鄰補(bǔ)角性質(zhì)得到∠CDE=∠ABE，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得到∠CED=∠CDE，即可證明DC=EC．【詳解】（1）證明：連接BD，AE，∵AD=BE，∴AD=BE．∴∠ABD=∠EAB，∵AD=AD，∴∠ABD=∠AED，∴∠AED=∠EAB，∴DE∥AB；（2）∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EDA＋∠ABE=180°，又∠EDA＋∠CDE=180°，∴∠CDE=∠ABE，∵DE∥AB，∴∠CED=∠ABE．∴∠CED=∠CDE．∴DC=EC．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【例2】（2021?淅川縣一模）如圖，在△ACE中，AC＝CE，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C且與邊AE，CE分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，點(diǎn)B是上一點(diǎn)，且，連接AB，BC，CD．（1）求證：△CDE≌△ABC；（2）若AC為⊙O的直徑，填空：①當(dāng)∠E＝60°時(shí)，四邊形OCFD為菱形；②當(dāng)∠E＝45°時(shí)，四邊形ABCD為正方形．【分析】（1）先判斷出∠BAC＝∠DCE，進(jìn)而得出∠CDE＝∠ABC，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，再利用DF∥AC，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，即可得出AC＝AE，即可得出結(jié)論；②先判斷出AD＝CD，∠ADC＝90°，進(jìn)而得出∠ACD＝45°，再判斷出∠DCE＝∠ACD＝45°，即可得出∠ACE＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如圖，①連接AF，∵AC是直徑，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四邊形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)平行于一邊的直線(xiàn)必平分第三邊），∵DF∥AC，∴CF＝EF（經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)平行于一邊的直線(xiàn)必平分第三邊），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等邊三角形，∴∠E＝60°；故答案為：60°；②∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案為：45°．【變式2】（2021秋?諸暨市月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點(diǎn)E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）過(guò)B作AD的平行線(xiàn)，交AC于F，試判斷線(xiàn)段EA，CF，EF之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；（2）線(xiàn)段EA，CF，EF之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，先證明α+β＝45°，再過(guò)B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，將相關(guān)線(xiàn)段代入即可得出結(jié)論；【解析】（1）如圖1，∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）線(xiàn)段EA，CF，EF之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，過(guò)B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；【滿(mǎn)分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?浦城縣期中）如圖，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，則BC的長(zhǎng)是（）A．4 B． C． D．2【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半，求出即可．【解析】∵直徑AB＝4，∴∠ACB＝90°，∵點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，∴BC＝＝＝2，故選：C．2．（2021秋?韓城市期中）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若∠AOB＝76°，則∠C的度數(shù)為（）A．24° B．33° C．38° D．76°【分析】利用圓周角定理直接求解即可．【解析】∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝76°，∴∠C＝38°，故選：C．3．（2021秋?柳江區(qū)期中）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)∠ABC＝35°，則∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．55°【分析】由AB是直徑可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝35°可知∠CAB＝55°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC的度數(shù)，即可得出答案．【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝55°，∴∠BDC＝∠CAB＝55°，故選：D．4．（2021秋?丹江口市期中）如圖，A、B、C三點(diǎn)都在⊙O上，∠ABO＝43°，則∠ACB＝（）A．43° B．45° C．47° D．50°【分析】利用圓周角定理，求出∠AOB即可解決問(wèn)題．【解析】∵OA＝OB，∴ABO＝∠OAB＝43°，∴∠AOB＝180°﹣43°﹣43°＝94°，∴∠ACB＝∠AOB＝47°，故選：C．5．（2021秋?新洲區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．35° D．50°【分析】如圖，連接OD，BD．利用圓周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得結(jié)論．【解析】如圖，連接OD，BD．∵＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，∴∠OBD＝∠ODB＝20°，∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，故選：B．6．（2022春?永豐縣期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，則AD的長(zhǎng)為（）A．3﹣4 B．2 C．6﹣2 D．3【分析】延長(zhǎng)BA、DC交于E，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABC+∠D＝180°，求出∠D＝90°，∠EBC＝90°，∠E＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，設(shè)BC＝x，則BE＝x，EC＝2x，求出AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，根據(jù)DE＝AD得出2+2x＝×，求出x，再求出AD即可．【解析】延長(zhǎng)BA、DC交于E，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠D＝90°，∠EBC＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠E＝30°，∴EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，設(shè)BC＝x，則BE＝x，EC＝2x，∵AB＝3，CD＝2，∴AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，∵DE＝AD，∴2+2x＝×，解得：x＝3﹣4，即AD＝＝6﹣2，故選：C．7．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于H，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5，∵BD平分∠ABC，∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，∴DH＝＝，∴BD＝BH+DH＝，故選：B．8．（2021秋?五華區(qū)校級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（）①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；④圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周角相等．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】根據(jù)垂徑定理的推論、等弧的概念、軸對(duì)稱(chēng)圖形、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理判斷即可．【解析】①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，本說(shuō)法錯(cuò)誤；②在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，本說(shuō)法錯(cuò)誤；③能夠完全重合的兩條弧是等弧，本說(shuō)法錯(cuò)誤；④圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸，本說(shuō)法錯(cuò)誤；⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，本說(shuō)法正確；⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，本說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：A．9．（2019秋?東?？h期中）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝CD；根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義可得AD＝BD；根據(jù)垂徑定理可作判斷③；延長(zhǎng)OD交⊙O于E，連接CE，根據(jù)垂徑定理可作判斷④．【解析】過(guò)D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；∴＝，由折疊得：＝，∴+＝；故③正確；延長(zhǎng)OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯(cuò)誤；故選：A．10．（2021?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若＝，設(shè)∠ABC＝α，則α所在的范圍是（）A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°【分析】如圖，連接AC，CD，DE．證明∠CAB＝3α，利用三角形內(nèi)角和定理求出α，可得結(jié)論．【解析】如圖，連接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故選：B．二．填空題（共8小題）11．（2021秋?濱湖區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠DCE＝55°，則∠BOD＝110°．【分析】首先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得∠BCD的度數(shù)，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)．【解析】∵∠DCE＝55°，∴∠BCD＝125°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝55°，∴∠BOD＝2∠A＝110°，故答案為：110．12．（2019秋?江陰市期中）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，＝．若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)等于55°．【分析】連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DAB，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB、∠CAB，計(jì)算即可．【解析】連接AC，∵四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故答案為：55°．13．（2018秋?江都區(qū)校級(jí)期中）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則∠D＝90°．【分析】設(shè)∠A為x，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．【解析】設(shè)∠A為x，則∠B為2x，∠C為3x，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，則x+3x＝180°，解得，x＝45°，∴∠B＝2x＝90°，∴∠D＝90°，故答案為：90．14．（2022春?東臺(tái)市期中）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是上的點(diǎn)，若∠AOC＝50°，則∠D的度數(shù)115°．【分析】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，∠ABC＝∠AOC＝×50°＝25°，再利用互余計(jì)算出∠A＝65°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)確定∠D的度數(shù)．【解析】連接BC，如圖，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠AOC＝50°，∴∠ABC＝∠AOC＝×50°＝25°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣25°＝65°，∵∠D+∠A＝180°，∴∠D＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115°．15．（2022春?定遠(yuǎn)縣期中）如圖，AB是半圓O的直徑，AC＝AD，∠CAB＝20°，OE⊥CD，OE＝，則半圓O的直徑AB是4．【分析】在等腰△ACD中，頂角∠A＝20°，易求得∠ACD＝80°；根據(jù)等邊對(duì)等角，可得：∠OCA＝∠A＝20°，由此可得，∠OCD＝60°，即可解決問(wèn)題．【解析】∵AC＝AD，∠CAB＝20°，∴∠ACD＝∠ADC＝80°；∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝20°；∴∠OCD＝60°，∴OE＝OC?sin60°．∴＝OC×，∴OC＝2，∴直徑AB＝2OC＝4，故答案為：4．16．（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，半徑為3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，設(shè)AB＝a，CD＝b，則a2+b2＝36．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M交CD于點(diǎn)N．證明△AMO≌△ONC（AAS），推出OM＝CN＝b，再根據(jù)OA2＝AM2+OM2，可得結(jié)論．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M交CD于點(diǎn)N．∵AB∥CD，OM⊥AB，∴ON⊥CD，∴AM＝AB＝a，CN＝CD＝b，∵∠AOC＝∠AMO＝∠CNO＝90°，∴∠AOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，∴∠AOM＝∠OCN，在△AMO和△ONC中，，∴△AMO≌△ONC（AAS），∴OM＝CN＝b，∵OA2＝AM2+OM2，∴32＝（a）2+（b）2，∴a2+b2＝36．故答案為：36．17．（2019?無(wú)錫模擬）AB為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點(diǎn)P在半圓上，斜邊過(guò)點(diǎn)B，一條直角邊交該半圓于點(diǎn)Q．若AB＝6，則線(xiàn)段BQ的長(zhǎng)為3．【分析】連接AQ，BQ，根據(jù)圓周角定理可得出∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】連接AQ，BQ，∵∠P＝45°，∴∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB＝6，∴2BQ2＝36，∴BQ＝3．故答案為：318．（2021?安鄉(xiāng)縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，AC＝BC，AD與CB交于點(diǎn)E．∠DAB＝20°，則∠E＝25°．【分析】在Rt△BDE中，求出∠BDE即可解決問(wèn)題．【解析】∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝∠BDE＝90°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠DAB＝20°，∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°，∴∠DBE＝180°﹣45°﹣70°＝65°，∴∠E＝90°﹣65°＝25°，故答案為：25°．三．解答題（共6小題）19．（2020秋?臺(tái)江區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，連接OA、DE、BE．（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠DEB的度數(shù)；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，根據(jù)垂徑定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，再解方程即可．【解析】（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠AOD＝60°，∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半徑長(zhǎng)為5．20．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D在AB上，且AD＝AC，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)E．（1）求證：∠CAB＝2∠BCE；（2）若AB＝4，CE＝2，求∠BCE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°得出∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和即可推導(dǎo)得解；（2）連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接EF，則CF＝AB＝4，∠CEF＝90°，根據(jù)勾股定理得出EF＝2＝CE，即可得到∠ECF＝∠EFC＝45°，結(jié)合∠ACB＝90°，OA＝OC，進(jìn)而得出∠BCE+CAB＝45°，由（1）知∠CAB＝2∠BCE，據(jù)此即可得解．【解答】（1）證明：∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠CBA＝90°﹣∠CAB，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ADC＝∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB＝180°，∴2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB＝180°，∴2∠BCE+2（90°﹣∠CAB）+∠CAB＝180°，∴2∠BCE﹣∠CAB＝0，∴∠CAB＝2∠BCE；（2）解：如圖所示，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接EF，∵AB與CF都是圓的直徑，AB＝4，∴CF＝AB＝4，∠CEF＝90°，∵CE＝2，∴，∴EF＝CE，∴∠EC